16. Baireのカテゴリ定理

任意の $x_0\in X$ と $r_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$ B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n\neq\emptyset\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。$x_0\in X=\overline{V_1}$ より $B(x_0,r_0)\cap V_1\neq\emptyset$ である。よって、
$$ \overline{B}(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)\cap V_1,\quad 0< r_1\leq\frac{1}{2} $$
なる閉球 $\overline{B}(x_1,r_1)=\{x\in X:d(x,x_1)\leq r_1\}$ が取れる。$x_1\in X=\overline{V_2}$ より $B(x_1,r_1)\cap V_2\neq\emptyset$ であるから、
$$ \overline{B}(x_2,r_2)\subset B(x_1,r_1)\cap V_2,\quad 0< r_2\leq\frac{1}{2^2} $$
なる閉球 $\overline{B}(x_2,r_2)$ が取れる。同様のことを繰り返せば閉球の列 $(\overline{B}(x_n,r_n))_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ \overline{B}(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_{n},\quad 0< r_n\leq\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(**) $$
を満たすものが取れる。このとき、
$$ \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\subset B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n $$
である。よって $(*)$ を示すためには $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ を示せばよい。$m>n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し $(**)$ より、
$$ d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x_{m-1})+\ldots+d(x_{n+1},x_n)\leq r_{m-1}+\ldots+r_n\leq\frac{2}{2^n} $$
である。これより $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので、完備性よりある $x\in X$ に収束する。$x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$に対し、 $m\geq n$ かつ $d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in \mathbb{N}$ を取れば、 $x_m\in B(x,\epsilon)\cap \overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ である。よって $\epsilon$ の任意性より $x\in \overline{B}(x_n,r_n)$ であり、$n\in \mathbb{N}$ の任意性より $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ である。

任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}=\emptyset$ であると仮定する。このとき $V_n:=X\backslash F_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけば $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ において稠密な開集合からなる列である。よってBaireのカテゴリ定理より $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}V_n$ は $X$ において稠密である。しかし $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n=X\backslash \bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n=\emptyset$ であるから $X$ が空でないことに矛盾する。