9. 汎弱位相
9. 汎弱位相
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上の線形汎関数からなる集合 $\mathcal{F}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X: \forall \varphi\in \mathcal{F},\varphi(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上の線形汎関数からなる集合を $X$ 上の線形汎関数の分離族と呼ぶこととする。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。任意の $\varphi\in \mathcal{F}$ に対しセミノルム $\lvert\varphi(\cdot)\rvert\colon X\ni x\mapsto \lvert\varphi(x)\rvert\in [0,\infty)$ を定義する。このとき、
$$
\mathcal{P}:=\{\lvert\varphi(\cdot)\rvert:\varphi\in \mathcal{F}\}
$$
は $X$ 上のセミノルムの分離族である。$\mathcal{P}$ が誘導する $X$ 上のセミノルム位相を $\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相と言う。（次の
命題1
の $(1)$ で見るように $\mathcal{F}$ から誘導される $X$ の汎弱位相は、$\mathcal{F}$ から誘導される始位相（
ネットによる位相空間論
の7を参照）と同じである。）
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。$\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相について次が成り立つ。
- $(1)$ $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow \quad\varphi(x_{\lambda})\rightarrow\varphi(x)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{F}). $$ - $(2)$ $X$ は位相線形空間である。
- $(3)$ 任意の有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$ V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\} $$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$ \{V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F},\epsilon\in (0,\infty)\} $$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
命題1 による。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ を $X$ 上の線形汎関数とし、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。
$$
\Phi\colon X\ni x\mapsto (\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\in \mathbb{F}^n
$$
なる線形作用素を考えると、$(*)$ より線形汎関数
$$
\Phi(X)\ni \Phi(x)\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}\quad\quad(**)
$$
が定義できる。（注：$g\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \Phi(x)\in \Phi(X)$ は線形同型写像であり、$(*)$ より ${\rm Ker}(\Phi)=\bigcap_{k=1}^{n}{\rm Ker}(\varphi_j)\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから、$h\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}$ はwell-definedである。$(**)$ は $h\circ g^{-1}\colon \Phi(X)\rightarrow \mathbb{F}$ である。）そこで、
$$
\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M
$$
なる部分空間 $M\subset \mathbb{F}^n$ を取り、$(**)$ を $\mathbb{F}^n$ 上の線形汎関数
$$
\psi:\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M\ni \Phi(x)+m\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
に拡張する。$\mathbb{F}^n$ の標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ に対し、
$$
\varphi(x)=\psi(\Phi(x))=\psi\left(\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(x)e_k\right)
=\sum_{k=1}^{n}\psi(e_k)\varphi_k(x)\quad(\forall x\in X)
$$
であるから $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合である。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。このとき $\mathcal{F}$ が誘導する汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $\text{span}(\mathcal{F})$ である。ただし $\text{span}(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の元の線形結合全体である。
$\text{span}(\mathcal{F})$ の元が汎弱位相に関して連続であることは
命題1
の $(1)$ による。（
ネットによる位相空間論
のネットによる連続性の特徴付けを参照。）$\varphi$ を汎弱位相に関して連続な線形汎関数とする。
このとき $\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}$ は $0\in X$ の開近傍であるから、
命題1
の $(3)$ より有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ で、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
なるものが取れる。任意の $x\in X$ と任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\frac{\epsilon x}{\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta}\in \bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
であるから、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}(\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta)
$$
である。よって $\delta\in (0,\infty)$ の任意性より、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)
$$
であるから
補題2
より $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。 よって $\varphi\in \text{span}(\mathcal{F})$ である。
