13. Hahn-Banachの分離定理

明らかに $m(0)=0$ であり、任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \alpha m(x)=\inf\left\{\alpha\lambda\in(0,\infty):\frac{1}{\alpha\lambda}\alpha x\in C\right\}=\inf\left\{\lambda\in(0,\infty):\frac{1}{\lambda}\alpha x\in C\right\}=m(\alpha x) $$
である。また任意の $x,y\in X$ と $\frac{1}{\lambda}x, \frac{1}{\mu}x\in C$ なる任意の $\lambda,\mu\in(0,\infty)$ に対し、 $C$ が凸集合であることから、
$$ \frac{1}{\lambda+\mu}(x+y)=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\frac{1}{\lambda}x+\frac{\mu}{\lambda+\mu}\frac{1}{\mu} y\in C $$
である。よって $m(x+y)\leq \lambda+\mu$ であり、$\lambda,\mu$ の任意性より、$m(x+y)\leq m(x)+m(y)$ が成り立つ。ゆえに $m$ はMinkowski汎関数である。任意の $x\in C$ に対し、$C$ が開集合であることとスカラー倍の連続性より $\lambda\in(0,1)$ で $\frac{1}{\lambda} x\in C$ なるものが取れる。よって $m(x)<1$ である。また $m(x)<1$ ならば、下限の定義より $\frac{1}{\lambda}x\in C$ なる $\lambda\in(0,1)$ が取れ、$C$ は $0$ を含む凸集合なので、
$$ x=\lambda\frac{1}{\lambda}x+(1-\lambda)0\in C $$
である。よって $C=\{x\in X:m(x)<1\}$ が成り立つ。

• $(1)$　$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合。任意の $x_0\in A$ と $y_0\in B$ を取り、$z_0:=y_0-x_0$ とおく。
  $$ C:=A-B+z_0=\bigcup_{y\in B}(A-y+z_0) $$
  は $0$ の凸開近傍であるから、 補題1 よりMinkowski汎関数 $m:X\rightarrow[0,\infty)$ で、
  $$ C=\{x\in X:m(x)<1\} $$
  なるものが取れる。$z_0\notin C$ より $1\leq m(z_0)$ であるから、線形汎関数 $\varphi_0:\mathbb{R}z_0\ni \alpha z_0\mapsto \alpha\in \mathbb{R}$ に対し、$\varphi_0(\alpha z_0)=\alpha\leq m(\alpha z_0)$ $(\forall \alpha\in \mathbb{R})$ である。よってHahn-Banachの拡張定理1より、$X$ 上の線形汎関数 $\varphi$ で、
  $$ \varphi(\alpha z_0)=\alpha\quad(\forall \alpha\in\mathbb{R}),\quad\varphi(x)\leq m(x)\quad(\forall x\in X) $$
  なるものが取れる。$\varphi$ が連続であることを示す。$0\in X$ において連続であることを示せば十分である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\epsilon C)\cap (-\epsilon C)$ は $0$ の開近傍であり、
  $$ \pm\frac{1}{\epsilon}\varphi(x)=\varphi\left(\pm\frac{1}{\epsilon}x\right)\leq m\left(\pm\frac{1}{\epsilon} x\right)<1\quad(\forall x\in (\epsilon C)\cap (-\epsilon C)) $$
  であるから、
  $$ \lvert\varphi(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in (\epsilon C)\cap (-\epsilon C)) $$
  である。よって $\varphi$ は連続である。任意の $x\in A$ と任意の $y\in B$ に対し、
  $$ \varphi(x)-\varphi(y)+1=\varphi(x-y+z_0)\leq m(x-y+z_0)<1 $$
  であるから、
  $$ \varphi(x)<\varphi(y)\quad(\forall x\in A,\forall y\in B) $$
  が成り立つ。$t\colon=\sup(\varphi(A))$ とおけば、
  $$ \varphi(x)\leq t\leq \varphi(y)\quad(\forall x\in A, \forall y\in B) $$
  である。後は $t\notin \varphi(A)$ を示せばよい。$t=\varphi(x)$ なる $x\in A$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$\varphi\neq0$ より $\varphi(w)>0$ なる $w\in X$ が取れる。$A$ は $x$ の開近傍なので十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $x+\delta w\in A$ となる。よって $t< t+\delta\varphi(w)=\varphi(x+\delta w)\in\varphi(A)$ となり、$t=\sup(\varphi(A))$ に矛盾する。
• $(2)$　$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ の場合。$X$ を自然に $\mathbb{R}$ 上の位相線形空間とみなしたものを $X_{\mathbb{R}}$ とおく。このとき $(1)$ より連続線形汎関数 $\psi:X_{\mathbb{R}}\rightarrow\mathbb{R}$ と $t\in \mathbb{R}$ で、
  $$ \psi(x)< t\leq\psi(y)\quad(\forall x\in A,\forall y\in B) $$
  なるものが取れる。$\varphi:X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
  $$ \varphi(x)\colon=\psi(x)-i\psi(ix)\quad(\forall x\in X) $$
  とおけば $\varphi$ は $X$ 上の連続線形汎関数であり、
  $$ \text{Re}(\varphi(x))< t\leq\text{Re}(\varphi(y))\quad(\forall x\in A,\forall y\in B) $$
  である。

$C$ が $\mathcal{O}_1$ に関して閉であるとして $\mathcal{O}_2$ に関しても閉であることを示せばよい。任意の $x_0\in X\backslash C$ に対し 命題1 の $(3)$ より $\mathcal{O}_1$ に関する $x_0$ の凸開近傍で $C$ と交わらないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $\mathcal{O}_1$ に関して連続な線形汎関数 $\varphi$ と $t\in \mathbb{R}$ で、
$$ \text{Re}(\varphi(x_0))< t\leq \text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in C) $$
なるものが取れる。$\varphi$ は $\mathcal{O}_2$ に関しても連続であるので、
$$ V\colon=\{x\in X:\text{Re}(\varphi(x))< t\}\in \mathcal{O}_2 $$
であり、
$$ x_0\in V\subset X\backslash C $$
である。よって $x_0$ は $\mathcal{O}_2$ に関して $X\backslash C$ の内点である。$x_0$ は $X\backslash C$ の任意の点であるので、$X\backslash C\in \mathcal{O}_2$ である。ゆえに $C$ は $\mathcal{O}_2$ に関して閉集合である。

上の注意 で述べたように $X$ の弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $X^*$ と一致する。よって 上の系 より成り立つ。