0-3 複素数と体

$0$ と $0'$ がともに加法単位元なら
$$ 0=0+0'=0' $$
である。ここで最初の等号は $0'$ が単位元であること、二番目の等号は $0$ が単位元であることを使った。
$b,c$ がともに $a$ の加法逆元なら $a+b=0$、$a+c=0$ である。両辺へ $c$ を足して結合則を使うと
$$ b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c. $$
したがって加法逆元は一意である。
$1$ と $1'$ がともに乗法単位元なら
$$ 1=1\cdot1'=1' $$
である。よって三種類の特別な元はすべて一意である。

$a=0$ なら結論は成り立つ。$a\ne0$ とする。このとき $a^{-1}$ が存在するので、$ab=0$ の両辺へ左から $a^{-1}$ を掛けると
$$ b=1b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0. $$
最後に $a^{-1}0=0$ を使った。この等式は
$$ a^{-1}0=a^{-1}(0+0)=a^{-1}0+a^{-1}0 $$
の両辺へ $-(a^{-1}0)$ を足せば従う。

$b,c$ がともに $a$ の逆元なら $ab=1$ と $ac=1$ である。したがって
$$ b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c. $$
よって逆元は一意である。

$z=a+bi$、$w=c+di$ と置く。加法については
$$ \overline{z+w} =\overline{(a+c)+(b+d)i} =(a+c)-(b+d)i =\overline z+\overline w. $$
積は
$$ zw=(ac-bd)+(ad+bc)i $$
だから
$$ \overline{zw}=(ac-bd)-(ad+bc)i. $$
一方、
$$ \overline z\,\overline w =(a-bi)(c-di) =(ac-bd)-(ad+bc)i $$
なので一致する。また
$$ z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2. $$
したがって
$$ |zw|^2=(zw)\overline{zw} =(z\overline z)(w\overline w) =|z|^2|w|^2. $$
両辺は非負の実数であるから、非負の平方根を取って $|zw|=|z||w|$ を得る。

$a\in\{1,\ldots,p-1\}$ を取る。$a,2a,\ldots,(p-1)a$ を $p$ で割った余りを考える。この中に同じ余りをもつ $ra,sa$ があるとすると
$$ p\mid(r-s)a. $$
$p$ は素数で $p\nmid a$ だから $p\mid(r-s)$ である。しかし $1\le r,s\le p-1$ なので $|r-s|< p$ であり、これは $r=s$ を意味する。したがって $a,2a,\ldots,(p-1)a$ の余りはすべて異なる。
零でない余りは $p-1$ 個しかないので、これらの余りは $1,\ldots,p-1$ をちょうど一度ずつ含む。特に、ある $r$ が存在して $ra$ の余りが1になる。すなわち $ra=1$ が $\mathbb{F}_p$ で成り立ち、$r$ が $a$ の逆元である。
よって零でないすべての元が逆元をもち、他の体の公理と合わせて $\mathbb{F}_p$ は体である。

$\overline z=2+3i$、$|z|^2=2^2+(-3)^2=13$ だから
$$ z^{-1}=\frac{2+3i}{13}. $$
実際、
$$ (2-3i)\frac{2+3i}{13} =\frac{4+9}{13}=1. $$

$2x+3=1$ は $2x=-2=3$ と同値である。$\mathbb{F}_5$ では $2\cdot3=6=1$ なので、2の逆元は3である。両辺へ3を掛けて
$$ x=3\cdot3=9=4 $$
を得る。検算すると
$$ 2\cdot4+3=11=1 $$
である。

有理数 $a,b$ について $a+b\sqrt2=0$ とする。$b\ne0$ なら $\sqrt2=-a/b$ は有理数となり、無理数であることに反する。したがって $b=0$ であり、続いて $a=0$ である。よって $\mathbb{Q}$ 上では独立である。
一方、実数係数を許すと
$$ (-\sqrt2)\cdot1+1\cdot\sqrt2=0 $$
という非自明な関係があるため、$\mathbb{R}$ 上では従属である。