剰余類と商空間

$\Bu+W=\Bv+W$ のとき、$\Bu+\Bw_1=\Bv+\Bw_2$ となるベクトル $\Bw_1, \Bw_2\in W$ がとれるから、
$\Bv-\Bu=\Bw_1-\Bw_2\in W$ となる。
逆に$\Bv-\Bu=\Bw_0\in W$ となるとき、
$$\Bv+W=\{\Bv+\Bw: \Bw\in W\}=\{\Bu+\Bw_0+\Bw: \Bw\in W\}$$
となるが、$\Bw_0\in W$ だから、$\Bw\in W$ のとき $\Bw_0+\Bw\in W$ となり、逆に $\Bw_0+\Bw\in W$ のとき
$\Bw=(\Bw_0+\Bw)-\Bw_0\in W$ となるから、
$$\Bv+W=\{\Bu+\Bw_0+\Bw: \Bw\in W\}=\{\Bu+\Bw: \Bw\in W\}=\Bu+W$$
となる。

$\Bu_1+W=\Bu_2+W$ かつ $\Bv_1+W=\Bv_2+W$ のとき、 命題1 より
$$(\Bu_2+\Bv_2)-(\Bu_1+\Bv+1)=(\Bu_2-\Bu_1)+(\Bv_2+\Bv_1)\in W$$
となる。よって
$$(\Bu_1+\Bv_1)+W=(\Bu_2+\Bv_2)+W$$
が成り立つ。これにより剰余類の和が、剰余類に属するベクトルのとりかたによらずに定まる。
また、$k\in \K$ について
$$k\Bu_1+W=k\Bu_2+W$$
が成り立つから、剰余類のスカラー倍も、剰余類に属するベクトルのとりかたによらずに定まる。

$m=\dim W$, $n=\dim V$ とおいて、$W$ の基底を一組とり、 $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ とする。
線形独立性とベクトル空間の基底:定理9 より、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ を含む $V$ の基底
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ をとることができる。

このとき $\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は $V/W$ の基底となる。実際、任意の $\Bv+W\in V/W$ は $\Bv=k_1 \Bv_1+\cdots +k_n \Bv_n$ とおくことで、
$$\Bv+W=k_{m+1}\Bv_{m+1}+\cdots +k_n\Bv_n+W\in \angleb{\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W}$$
となる。また、
$$\sum_{i=m+1}^n k_i(\Bv_i+W)=\Bzr+W$$
とすると、
$$\left(\sum_{i=m+1}^n k_i\Bv_i\right)+W=\Bzr+W$$
より、$k_1, \ldots, k_m\in\K$ をうまくとれば
$$\left(\sum_{i=1}^n k_i\Bv_i\right)+W$$
となるが、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ は線形独立だから $k_1=\cdots =k_n=0$ となる。とくに $k_{m+1}=\cdots =k_n=0$ でなければならない。よって、$\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は線形独立。

よって、$\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は $V/W$ の基底なので
$$\dim V/W=n-m=\dim V-\dim W$$
となる。