数ベクトル空間上の2次形式

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\K$ 上の $n$ 次対称行列 $A=(a_{ij})$ に対して、
$$f_A(X)=^t XAX$$
と定めると、
$$\Bv=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$$
に対して
$$f_A(\Bv)=\begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n \end{pmatrix} =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_ia_{ij}x_j=\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i< j\leq n}2a_{ij}x_i x_j$$
は、$x_1, \ldots, x_j$ の斉次$2$次式を与える。$f_A$
$$g(\Be_i, \Be_j)=a_{ij}$$
による定まる、$\K^n$ 上の$2$次形式となる。それで、$f_A(X)$$A$ に対応する$2$次形式という。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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