3-4 同型と座標空間
読み始める前の問い
多項式と係数ベクトルは別の対象なのに、線形代数の立場では同じと言ってよいだろうか。
このページでできるようになること
線形同型を通して、見た目の違う空間が同じ構造をもつことを判定できるようになる。
多項式と数ベクトルは見た目が違いますが、基底を選ぶと加法と数倍を完全に保って対応します。この意味で線形代数的には同じです。
全単射な線形写像を線形同型という。$V$ と $W$ の間に線形同型があるとき $V\cong W$ と書く。
証明を読む前の見取り図
基底を座標ベクトルへ送る写像が線形かつ全単射であることを、表示の存在と一意性から示す。
全単射な線形写像 $T\colon V\to W$ の逆写像は線形である。
$y_1=T(x_1),y_2=T(x_2)$ とする。線形性から
$$
a y_1+b y_2=T(ax_1+bx_2).
$$
両辺に $T^{-1}$ を適用して
$$
T^{-1}(ay_1+by_2)=aT^{-1}(y_1)+bT^{-1}(y_2).
$$
全射性で任意の $y_i$ がこの形になり、単射性で逆像が一意である。
証明を読む前の見取り図
基底を座標ベクトルへ送る写像が線形かつ全単射であることを、表示の存在と一意性から示す。
有限次元の二つの $K$ ベクトル空間が同型であることと、次元が等しいことは同値である。
同型 $T$ があれば基底 $v_1,\ldots,v_n$ の像は、線形性・単射性・全射性により $W$ の基底になるので次元が等しい。
逆に両方が $n$ 次元なら、基底 $v_i$ と $w_i$ を選び
$$
T\left(\sum_i a_iv_i\right)=\sum_i a_iw_i
$$
と定める。座標の一意性によりwell-definedで線形。逆対応も同じ式で構成できるので同型である。
多項式と座標
$$
\Phi\colon K[t]_{\le2}\to K^3,
\qquad
a+bt+ct^2\mapsto(a,b,c)
$$
は線形同型です。多項式の問題を係数ベクトルの問題へ移し、計算後に逆写像で多項式へ戻せます。
$K[t]_{\le2}$ と $K^3$ は同型だが、元は一方では多項式、他方では数の列であり集合として同じではない。また同型は基底の選択に依存し、一般に一意でない。
対称 $2\times2$ 行列全体が $K^3$ と同型であることを示せ。
$$
\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\mapsto(a,b,c)
$$
は線形で全単射。逆写像は $(a,b,c)$ を表示された対称行列へ送る。
次は線形写像を基底について行列として記録します。
このページで回収したもの
抽象空間の問題を座標空間へ移して計算し、答えを元へ戻す道筋が保証された。
次へ持ち越す問い
この見方を、次のページではより広い対象またはより計算しやすい形へ移す。
参考文献
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