正規変換

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

対称行列、Hermite行列、ユニタリー行列や対応する線形変換は、正規変換へと一般化される。

正規行列

複素行列 $A$正規行列 (normal matrix) であるとは、
$$AA^*=A^* A$$
が成り立つことである。

正規変換

複素ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$正規 (normal) であるとは、$f$$f^*$ が可換となる、すなわち、任意の $\Bv\in V$ について
$$f(f^*(\Bv))=f^*(f(\Bv))$$
が成り立つことである。

$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底でこの基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと 随伴変換と随伴行列:定理3 より、この基底に関する $f^*$ の表現行列は $A^*$ に一致するから、つぎのことがすぐにわかる。

$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底であるとき、$f$ が正規変換であることは、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで $f$ の表現行列が正規行列であることと同値である。

Hermite変換 $f$$f^*=f$ より、明らかに正規変換である。同様に、ユニタリー変換 $f$ も、$f^*(f(\Bv))=f(f^*(\Bv))=\Bv$ より、明らかに正規変換である。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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