$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
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\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
対称行列、Hermite行列、ユニタリー行列や対応する線形変換は、正規変換へと一般化される。
正規行列
複素行列 $A$ が正規行列 (normal matrix) であるとは、
$$AA^*=A^* A$$
が成り立つことである。
正規変換
複素ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ が正規 (normal) であるとは、$f$ と $f^*$ が可換となる、すなわち、任意の $\Bv\in V$ について
$$f(f^*(\Bv))=f^*(f(\Bv))$$
が成り立つことである。
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底でこの基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと
随伴変換と随伴行列:定理3
より、この基底に関する $f^*$ の表現行列は $A^*$ に一致するから、つぎのことがすぐにわかる。
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底であるとき、$f$ が正規変換であることは、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで $f$ の表現行列が正規行列であることと同値である。
Hermite変換 $f$ は $f^*=f$ より、明らかに正規変換である。同様に、ユニタリー変換 $f$ も、$f^*(f(\Bv))=f(f^*(\Bv))=\Bv$ より、明らかに正規変換である。