次元定理

$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形独立 とする。
$$k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=\Bzr$$
が成り立つとき、
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n)=k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=\Bzr$$
となるが、$f$ は単射なので、$k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n=\Bzr$ となるから
$k_1=\cdots =k_n=0$ でなければならない。よって、$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ も線形独立。
逆は 前ページの定理4 で示した通り。

$\dim \im f\leq \dim V$ となることは、 前ページの定理4 の後に示したから、$\im f$ の基底を一組とることができるので、これを $\Bw_1, \ldots, \Bw_r$ とする。
各 $i=1, \ldots, r$ について、$\Bw_i\in \im f$ だから、$f(\Bv_i)=\Bw_i$ となる $\Bv_i$ をとることができる。$\Ker f$ の基底を一組とり、これを $\Bv_{r+1}, \ldots, \Bv_{r+s}$ とする。このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ が $V$ の基底となることを示す。まず $V=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$ を示す。$\Bu\in V$ について、
$$f(\Bu)=a_1\Bw_1+\cdots +a_r\Bw_r$$
とおくと、
$$f(\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r))=f(\Bu)-f(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=\Bzr$$
となるから、$\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)\in \Ker f$. よって
$$\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=a_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +a_{r+s}\Bv_{r+s}$$
となる $a_{r+1}, \ldots, a_{r+s}\in\K$ がとれるから、
$$\Bu=a_1\Bv_1+\cdots +a_{r+s}\Bv_{r+s}\in \langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$$
となる。よって、$V=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$ となる。

つぎに、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ が線形独立であることを示す。
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s}=\Bzr$$
と仮定する。このとき
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r=-(k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s})$$
より、
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r)=-f(k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s})=\Bzr$$
つまり
$$k_1 \Bw_1+\cdots +k_r\Bw_r=k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_r f(\Bv_r)=\Bzr$$
となるが、$\Bw_1, \ldots, \Bw_r$ は線形独立だから、$k_1=\cdots =k_r=0$,
よって
$$k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s}=-(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r)=\Bzr$$
となるが、$\Bv_{r+1}, \ldots, \Bv_{r+s}$ は線形独立だから、$k_{r+1}=\cdots =k_{r+s}=0$.
よって $k_1=\cdots =k_{r+s}=0$ でなければならないから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ は線形独立。
これらのことから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ は $V$ の基底なので、
$$\dim V=s+r=\dim \Ker f + \dim \im f.$$