位相空間論16：Tychonoffの定理

$X$ が極大元をもたなかったとして矛盾を導こう。このとき、$X$ の任意の全順序部分集合 $A$ に対して、$A$ は $X$ において真の上界をもつ。実際、仮定により $A$ には上界 $x$ が存在するが、$X$ に極大元がないとしているから $x< y$ となる $y\in X$ が存在し、この $y$ は $A$ の真の上界を与える。そこで、各全順序部分集合 $A\subset X$ に対してその真の上界 $u(A)$ を一つ選んでおく。
$C\subset X$ と $x\in C$ に対して、$C_x=\{y\in C\,|\,y< x\}$ とおき、$C_x$ を $C$ の $x$ における切片と呼ぶ。$C$ が以下の条件を満たすとき、$C$ を $X$ における鎖であると呼ぶことにする。

• 1. $C$ は $X$ の整列部分集合である。
• 2. 各 $x\in C$ に対して、$x=u(C_x)$ である。
     このとき、次の主張が成り立つ。
     :主張 $\;\; X$ における任意の鎖 $C, C'$ に対して、$C=C'$ であるか、または $C$ と $C'$ の一方は他方のある切片に一致する。
     この主張の証明は後で行う。この主張が成り立つとして証明を続けよう。$X$ における鎖全体の集合を $\{C_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ と表し、$C=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} C_\lambda$ とおく。
     このとき、$C$ が鎖であることを証明しよう。まず、$C$ が $X$ の整列部分集合であることを示すため、$A\subset C$ を空でない部分集合とする。すると、ある $\lambda\in\Lambda$ に対して $A\cap C_\lambda\neq\emptyset$ である。よって、$C_\lambda$ が $X$ の整列部分集合であったことから、$A\cap C_\lambda$ は最小元 $x_0$ をもつ。$x_0$ が $A$ の最小元であることを示すため、$x\in A$ とする。ある $\mu\in\Lambda$ に対して、$x\in C_\mu$ である。もし、$C_\mu=C_\lambda$ であれば、$x\in A\cap C_\lambda$ であるから $x_0\leq x$ である。$C_\mu\neq C_\lambda$ であれば、主張により、(i) ある $y\in C_\mu$ に対して $C_\lambda=(C_\mu)_y$ であるか、(ii) ある $z\in C_\lambda$ に対して $C_\mu=(C_\lambda)_z$ であるかのどちらかである。(i) の場合、(i-a) $y\leq x$ であるか (i-b) $x< y$ であるかの二通りの場合に分けて考えよう。(i-a) の場合は、$x_0\in C_\lambda=(C_\mu)_y$ により $x_0< y\leq x$ であり、よって $x_0< x$ である。(i-b) の場合は、$x\in (C_\mu)_y=C_\lambda$ であるから、$x\in A\cap C_\lambda$ であり、よって $x_0\leq x$ である。次に、(ii) の場合は $C_\mu\subset C_\lambda$ なので、$x\in C_\lambda$ となり、よって $x\in A\cap C_\lambda$ となるから $x_0\leq x$ である。以上から、いずれの場合も $x_0\leq x$ であることが分かり、$x_0$ が $A$ の最小元であることが示され、$C$ が $X$ の整列部分集合であることが分かった。
     次に、各 $x\in C$ に対して $x=u(C_x)$ であることを示そう。$x\in C$ とすると、ある $\lambda\in\Lambda$ に対して $x\in C_\lambda$ である。このとき $C_x=(C_\lambda)_x$ であることを示そう。$C_\lambda\subset C$ であることから $(C_\lambda)_x\subset C_x$ は明らかだから、$C_x\subset (C_\lambda)_x$ であることを示す。そこで $y\in C_x$ であるとする。つまり、$y\in C$ かつ $y< x$ とする。このとき、ある $\mu\in\Lambda$ に対して $y\in C_\mu$ である。$C_\lambda=C_\mu$ であれば、$y\in C_\lambda$ だから $y\in(C_\lambda)_x$ である。そうでないときは、(i) ある $z\in C_\mu$ に対して $C_\lambda=(C_\mu)_z$ であるか、(ii) ある $w\in C_\lambda$ に対して $C_\mu=(C_\lambda)_w$ であるかのどちらかである。(i) の場合、$x\in C_\lambda=(C_\mu)_z$ により $x< z$ であり、$y\in C_x$ により $y< x$ であるから $y< z$ である。$y\in C_\mu$ であったから、$y\in (C_\mu)_z=C_\lambda$ であり、よって $y\in (C_\lambda)_x$ である。(ii) の場合は、$C_\mu\subset C_\lambda$ なので $y\in C_\lambda$ であり、よって $y\in (C_\lambda)_x$ である。以上で、$C_x\subset (C_\lambda)_x$ であることが示され、よって $C_x=(C_\lambda)_x$ であることが分かった。$C_\lambda$ は鎖であるから $u(C_x)=u((C_\lambda)_x)=x$ である。これで、$C$ が鎖であることが証明された。
     $\tilde{C}=C\cup \{u(C)\}$ とおくと、すぐに確かめられるように $\tilde{C}$ は鎖となる。$C$ の定義により、$\tilde{C}\subset C$ でなければならないが、一方で $u(C)\in\tilde{C},$ $u(C)\notin C$ であるから、これは矛盾である。この矛盾により、$X$ が極大元をもつことが証明された。$\square$

主張の証明
$C, C'$ を $X$ における鎖とする。$C\neq C'$ とすると、$C$ と $C'$ の一方が他方のある切片に一致することを示そう。$C\not\subset C'$ が成り立つとして一般性を失わない。このとき、ある $x_1\in C$ に対して $C'=C_{x_1}$ であることを示せばよい。まず、$C\setminus C'\neq\emptyset$ であり $C$ が整列集合であることから、$C\setminus C'$ の最小元 $x_1$ が存在する。このとき
$$ C_{x_1}\subset C'\quad(\star) $$
である。もし、これが真の包含関係であれば、$C'$ が整列集合であることから $C'\setminus C_{x_1}$ の最小元 $x_2$ が存在する。すると、
$$ C'_{x_2}\subset C_{x_1}\quad(\star\star) $$
である。もし、これが真の包含関係であれば、$C$ が整列集合であることから $C_{x_1}\setminus C'_{x_2}$ の最小元 $x_3$ が存在する。すると、
$$ C_{x_3}\subset C'_{x_2}\quad(\sharp) $$
である。
ところが、この包含関係 $(\sharp)$ は実際には等号となり $C_{x_3}=C'_{x_2}$ が成り立つ。それを示すため、$x\in C'_{x_2}$ としよう。いま $(\star)$ により $x_3\in C_{x_1}\subset C'$ である。よって $x, x_3$ はともに $X$ の整列（とくに全順序）部分集合 $C'$ に属しているから、(i)$x< x_3$ と (ii)$x_3\leq x$ のどちらかが成り立つ。いま、(ii)が成り立ったとすれば、$x< x_2$ であることにより $x_3< x_2$ である。よって、$x_3\in C'_{x_2}$ であるが、これは $x_3$ の取り方に反する。よって、(i)が成り立つ。$(\star\star)$ により $x\in C'_{x_2}\subset C_{x_1}\subset C$ であるから、(i) が成り立つことは $x\in C_{x_3}$ を意味する。これで、$(\sharp)$ の逆向きの包含関係 $C'_{x_2}\subset C_{x_3}$ が示されたから、$C_{x_3}=C'_{x_2}$ が証明された。
したがって、$C, C'$ がともに鎖であることにより、$x_3=u(C_{x_3})=u(C'_{x_2})=x_2$ を得る。すると $x_2=x_3\in C_{x_1}$ となり、これは $x_2$ の取り方に反する。この矛盾は、包含関係 $(\star\star)$ が実際には等号であること、つまり $C'_{x_2}=C_{x_1}$ であることを意味する。再び、$C, C'$ が鎖であることにより、$x_2=u(C'_{x_2})=u(C_{x_1})=x_1$ を得る。すると $x_1=x_2\in C'$ となり、$x_1$ の取り方に反する。この矛盾は、包含関係 $(\star)$ が実際には等号であること、つまり $C'=C_{x_1}$ を意味する。これが示したいことであった。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2)は明らかである。
(2)$\Rightarrow$(1)を示す。(2)で存在が主張されているような $X$ の準開基 $\mathcal{S}$ を取る。$X$ がコンパクトでないと仮定しよう。すると、$X$ の開被覆 $\mathcal{U}_0$ であって有限部分被覆をもたないようなものが存在する。そこで、
$$ \Phi=\{\mathcal{U}\,|\,\mathcal{U}\text{ は }X\text{ の開被覆であって有限部分被覆をもたない}\} $$
とおく。$\mathcal{U}, \mathcal{V}\in\Phi$ に対して $\mathcal{U}\leq\mathcal{V}$ であるとは $\mathcal{U}\subset\mathcal{V}$ であることと定義すれば、$(\Phi, \leq)$ は順序集合となる。この順序集合にZornの補題の 注意 で述べたバージョンを適用したい。まず、$\mathcal{U}_0\in \Phi$ なので $\Phi\neq\emptyset$ である。
$\Phi'\subset\Phi$ を $\Phi$ の空でない全順序部分集合とする。$\Phi'=\{\mathcal{U}_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ と表せば、$\Lambda\neq\emptyset$ である。
$$ \mathcal{U}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} \mathcal{U}_\lambda $$
とおく。$\mathcal{U}\in\Phi$ を示そう。まず、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して $\mathcal{U}_\lambda$ が $X$ の開被覆であることと $\Lambda\neq\emptyset$ により $\mathcal{U}$ は $X$ の開被覆である。次に、$\mathcal{U}$ の有限部分集合 $\{U_1,\ldots, U_n\}$ を任意に与える。すると、各 $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $\lambda_i\in\Lambda$ が存在して $U_i\in\mathcal{U}_{\lambda_i}$ である。$\{\mathcal{U}_{\lambda_1},\ldots,\mathcal{U}_{\lambda_n}\}\subset \Phi'$ であり $\Phi'$ は $\Phi$ の全順序部分集合であるから、$\{\mathcal{U}_{\lambda_1},\ldots,\mathcal{U}_{\lambda_n}\}$ には最大元が存在する。番号を付け替えることで、その最大元が $\mathcal{U}_{\lambda_1}$ であるとしてよい。すると、各 $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $U_i\in\mathcal{U}_{\lambda_i}\subset\mathcal{U}_{\lambda_1}$ であり、よって $\{U_1,\ldots, U_n\}\subset\mathcal{U}_{\lambda_1}$ である。いま $\mathcal{U}_{\lambda_1}\in\Phi'\subset\Phi$ なので、$\Phi$ の定義により $\{U_1\ldots, U_n\}$ は $X$ の被覆ではない。これで、$\mathcal{U}\in\Phi$ であることが示された。$\mathcal{U}$ の定義により、任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $\mathcal{U}_\lambda\subset\mathcal{U}$ つまり $\mathcal{U}_\lambda\leq\mathcal{U}$ であるから、$\mathcal{U}$ は $\Phi'$ の $\Phi$ における上界である。
したがって、順序集合 $(\Phi, \leq)$ はZornの補題の 注意 で述べたバージョン $(\heartsuit)$ の仮定を満たすので、$(\Phi, \leq)$ には極大元が存在する。そこで、その極大元の一つを $\mathcal{V}=\{V_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ とする。すると、もちろん $\mathcal{V}\cap\mathcal{S}\subset\mathcal{S}$ である。よって、もし $\mathcal{V}\cap\mathcal{S}$ が $X$ の被覆であれば、$\mathcal{S}$ の取り方により $\mathcal{V}\cap\mathcal{S}$ は有限部分被覆をもつから、$\mathcal{V}$ が有限部分被覆をもつことになり、$\mathcal{V}\in\Phi$ であることに反する。よって、$\mathcal{V}\cap\mathcal{S}$ は $X$ の被覆ではない。すなわち、$\mathcal{V}\cap\mathcal{S}=\{V_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda'\}$（ここで $\Lambda'\subset\Lambda$）と表すとき、$\bigcup_{\lambda\in\Lambda'} V_\lambda\neq X$ である。よって、点 $x\in X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda'} V_\lambda$ が存在する。$\mathcal{V}\in\Phi$ により $\mathcal{V}$ は $X$ の被覆なので、$\lambda_0\in\Lambda$ であって $x\in V_{\lambda_0}$ となるものが存在する。$\mathcal{S}$ は $X$ の準開基であるから、$S_1,\ldots, S_n\in\mathcal{S}$ であって、$x\in \bigcap_{i=1}^n S_i \subset V_{\lambda_0}$ となるものが存在する。もし、ある $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $S_i\in\mathcal{V}$ であったとすれば、$S_i\in\mathcal{V}\cap\mathcal{S}$ であるから、ある $\lambda\in\Lambda'$ に対して $S_i=V_\lambda$ となるから、$x\in S_i\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda'} V_\lambda$ となり、$x$ の取り方に反する。よって、すべての $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $S_i\notin\mathcal{V}$ である。したがって、$\mathcal{V}$ の $(\Phi, \leq)$ における極大性により、各 $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $\mathcal{V}\cup\{S_i\}$ は有限部分被覆 $\mathcal{V}_i$ をもつことが分かる。もし、$\mathcal{V}_i\subset\mathcal{V}$ であれば、$\mathcal{V}$ が有限部分被覆 $\mathcal{V}_i$ をもつことになり $\mathcal{V}\in\Phi$ に反するので、$S_i\in\mathcal{V}_i$ である。よって、各 $i\in\{1,\ldots,n\}$ に対して $\mathcal{V}_i=\{S_i, V_{\lambda_{i,1}},\ldots, V_{\lambda_{i,k_i}}\}$ という形に書くことができる。このとき、
$$ X\setminus\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^{k_i} V_{\lambda_{i,j}}=\bigcap_{i=1}^n\left(X\setminus\bigcup_{j=1}^{k_i} V_{\lambda_{i,j}}\right)\subset\bigcap_{i=1}^n S_i\subset V_{\lambda_0} $$
であるから、結局、
$$ \mathcal{V}_0=\{V_{\lambda_0}\}\cup\{V_{\lambda_{i,j}}\,|\,i=1,\ldots,n,\,j=1,\ldots, k_i\} $$
とおくとき $\mathcal{V}_0$ は $\mathcal{V}$ の有限部分被覆となる。これは、$\mathcal{V}\in\Phi$ であることに反する。$\square$
Alexanderの準開基定理を用いて、Tychonoffの定理が次のように証明される。

$X=\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$ とし、$p_\lambda\colon X\to X_\lambda$ を射影とする。$X$ 上の直積位相は、次のような $\mathcal{S}$ を準開基にもつのであった（ 定義2 ）。
$$ \mathcal{S}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{S}_\lambda,\quad\text{ただし }\mathcal{S}_\lambda=\{p_\lambda^{-1}(U)\,|\,U\text{ は }X_\lambda\text{ の開集合 }\} $$
Alexanderの準開基定理（ 定理2 ）を用いて、$X$ がコンパクトであることを証明しよう。そこで、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆であって $\mathcal{U}\subset\mathcal{S}$ であるようなものとする。$\mathcal{U}$ が有限な部分被覆をもつことを示せばよい。このとき、$\mathcal{U}_\lambda=\mathcal{U}\cap\mathcal{S}_\lambda$ とおけば、$\mathcal{U}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} \mathcal{U}_\lambda$ となる。さらに、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して $X_\lambda$ の開集合からなる族 $\mathcal{V}_\lambda$ を
$$ \mathcal{U}_\lambda=\{p_\lambda^{-1}(V)\,|\,V\in\mathcal{V}_\lambda\}\quad(\sharp) $$
となるように取れる。いま、いかなる $\lambda\in\Lambda$ に対しても $\mathcal{V}_\lambda$ が $X_\lambda$ の開被覆でなかったと仮定しよう。すると、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して点 $x_\lambda\in X_\lambda\setminus\bigcup_{V\in\mathcal{V}_\lambda} V$ が選べる。そこで、点 $x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X$ を考えると、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して、$(\sharp)$ により $x\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}_\lambda} U$ である。ところが、$\mathcal{U}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} \mathcal{U}_\lambda$ であったから、これは $x\notin\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U$ を意味する。これは、$\mathcal{U}$ が$X$ の被覆であったことに反する。したがって、ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して、$\mathcal{V}_\lambda$ は $X_\lambda$ の開被覆である。いま、$X_\lambda$ はコンパクトであるから、ある有限個の $V_1,\ldots, V_n\in\mathcal{V}_\lambda$ であって $X_\lambda=\bigcup_{i=1}^n V_i$ となるものが存在する。したがって、$X=\bigcup_{i=1}^n p_\lambda^{-1}(V_i)$ である。$p_\lambda^{-1}(V_i)\in\mathcal{U}_\lambda\subset\mathcal{U}$ であるから、これは $\mathcal{U}$ が有限な部分被覆をもつことを示している。これで、$X$ がコンパクトであることが示された。$\square$