位相空間論10：連結性

$X$ を空でない位相空間とする。
(1) $\Rightarrow$ (2) を示す。対偶を示すため、(2) の否定が成り立つとすると $X=F\cup H,$ $F\cap H=\emptyset$ となるような $X$ の空でない閉集合 $F,$ $H$ が存在する。このとき、$U=X\setminus F$, $V=X\setminus H$ とすると $U,$ $V$ は開集合であるが、$U=H,$ $V=F$ なので $X=U\cup V,$ $U\cap V=\emptyset$ であり $U,$ $V$ は空でない。よって、$X$ は連結でない。
(2) $\Rightarrow$ (3) を示す。対偶を示すため、(3) の否定が成り立つとすると、$\emptyset\neq A\neq X$ であるような $X$ の開かつ閉集合 $A$ が存在する。このとき、$F=A,$ $H=X\setminus A$ とおけば、$F,$ $H$ は空でない閉集合で、$F\cup H=X,$ $F\cap H=\emptyset$ となる。よって (2) の否定が成り立つ。
(3) $\Rightarrow$ (4) を示す。対偶を示すため、定値写像でない $f\colon X\to\{0, 1\}$ が存在すると仮定する。$A=f^{-1}(\{0\})=\{x\in X\,|\,f(x)=0\}$ とおこう。$\{0\}$ は $\{0, 1\}$ の開かつ閉集合であるので、$A=f^{-1}(\{0\})$ は $X$ の開かつ閉集合となる。もし $A=X$ なら $f$ は $0$ への定値写像となり $f$ の取り方に反するので、$A\neq X$ である。また、もし $A=\emptyset$ なら $f$ は $1$ への定値写像となり、やはり $f$ の取り方に反するので $A\neq\emptyset$ である。以上により、(3) の否定が成り立つ。
(4) $\Rightarrow$ (1) を示す。対偶を示すため、$X$ が連結でないとすると、$X$ の空でない開集合 $U,$ $V$ で $X=U\cup V,$ $U\cap V=\emptyset$ となるものが存在する。写像 $f\colon X\to \{0,1\}$ を $x\in U$ のとき $f(x)=0$ とし、$x\in V$ のとき $f(x)=1$ とすることで定義すれば、$f^{-1}(\{0\})=U$ と $f^{-1}(\{1\})=V$ はともに開集合である。これと $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset,$ $f^{-1}(\{0,1\})=X$ により、$f$ による $\{0, 1\}$ のすべての開集合の逆像が $X$ の開集合となるので、$f$ は連続である。しかも、$f$ は定値写像ではない。よって、(4) の否定が成り立つ。$\square$
上の証明ですべて対偶をとって示していたことからも分かるように、連結性よりもむしろその否定の方が、論証の上ではしばしば扱いやすい。以後では、写像 $f\colon X\to Y$ と $y\in Y$ に対して、一点集合 $\{y\}$ の逆像 $f^{-1}(\{y\})$ を $f^{-1}(y)$ と略記する。この記法によれば上の証明での $f^{-1}(\{0\}),$ $f^{-1}(\{1\})$ はそれぞれ $f^{-1}(0),$ $f^{-1}(1)$ となる。

1. $\Rightarrow$ (2) を示す。対偶を示すため、(2) の否定が成り立つこと、つまり $A$ の空でない部分集合 $B,$ $C$ であって ($\star$) を満たすものが存在することを仮定しよう。すると、$A=B\cup C$ および $B\cap C=\emptyset$ が成り立つ。さらに、 命題12 を用いると
   $$ \operatorname{Cl}_A B=A\cap \operatorname{Cl}_X B=(B\cup C)\cap\operatorname{Cl}_X B=(B\cap\operatorname{Cl}_X B)\cup (C\cap\operatorname{Cl}_X B)=B\cup\emptyset=B $$
   となるから、$B$ は $A$ の閉集合である。同様に、$C$ は $A$ の閉集合である。以上から、 命題1 (2) の条件により、$A$ は連結でないことが分かる。
2. $\Rightarrow$ (1) を示す。やはり対偶を示すため、$A$ が連結でないと仮定する。すると、 命題1 (2) の条件により、$A$ の空でない閉集合 $B,$ $C$ であって $A=B\cup C,$ $B\cap C=\emptyset$ となるものが存在する。いま、$B$ が $A$ の閉集合であることと 命題12 により $B=\operatorname{Cl}_A B=A\cap\operatorname{Cl}_X B$ である。これと $B\cap C=\emptyset$ により、
   $$ C\cap \operatorname{Cl}_X B=(C\cap A)\cap\operatorname{Cl}_X B=C\cap(A\cap\operatorname{Cl}_X B)=C\cap B=\emptyset $$
   となる。同様に、$B\cap\operatorname{Cl}_X C=\emptyset$ であることも分かる。以上から $B,$ $C$ は条件 $(\star)$ を満たすので、(2) の否定が示された。$\square$

$a\in[a, b]$ であるから、$[a, b]$ は空でない。$[a, b]$ が連結でなかったとしよう。すると、$[a, b]$ の空でない閉集合 $F,$ $H$ であって、$F\cup H=[a,b],$ $F\cap H=\emptyset$ であるようなものが存在する（ 命題1 (2)の条件を用いた）。$[a, b]$ は $\mathbb{R}$ の閉集合であるから、$F,$ $H$ は $\mathbb{R}$ の閉集合でもあることに注意する。
$a\in F$ または $a\in H$ であるが、必要なら $F,$ $H$ を入れ換えて、$a\in F$ であるとしてよい。いま $H\neq\emptyset$ であるので、下限 $\inf H$ が存在する。そこで、$c=\inf H$ と定義しよう。$a$ は $H$ の下界であるから、下限の定義により $a\leq c$ である。また、$H$ は $[a, b]$ の空でない部分集合だから $b$ より大きい数は $H$ の下界になり得ないが、いま $c$ は $H$ の一つの下界なのだから $c\leq b$ である。結局、$c\in [a, b]$ である。
$c\in H$ となることを示そう。$H$ は $\mathbb{R}$ の閉集合であったから、そのためには $c\in\operatorname{Cl}_\mathbb{R} H$ を言えばよい。そこで、$\varepsilon>0$ を任意に与える。$c$ は $H$ の下界で $c+\varepsilon$ は $H$ の下界でないから、$u\in H$ で $c\leq u< c+\varepsilon$ を満たすものが存在する。したがって、$[c, c+\varepsilon)\cap H\neq\emptyset$ であり、よって $(c-\varepsilon, c+\varepsilon)\cap H\neq\emptyset$ である。これが任意の $\varepsilon>0$ に対して成り立つので、 命題3 により、$c\in \operatorname{Cl}_\mathbb{R} H$ である。これで $c\in H$ が示された。
次に、$c\in F$ となることを示そう。もし、$c=a$ なら、$a\in F$ だからこれは成り立っている。そこで、$a< c\leq b$ とする。この場合、$c$ が $H$ の下界であることから $[a, c)\cap H=\emptyset$ である。よって、$[a, c)\subset [a, b]\setminus H=F$ である。したがって、$[a, c]=\operatorname{Cl}_\mathbb{R} [a, c)\subset\operatorname{Cl}_\mathbb{R} F=F$ であり、よって、$c\in F$ である。
以上により、$c\in H$ かつ $c\in F$ であるから、$c\in F\cap H$ である。これは、$F\cap H=\emptyset$ であることに反する。これで、$[a, b]$ が連結であることが示された。$\square$

点 $p\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ を一つ取り固定する。$A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ とおく。各 $\lambda\in\Lambda$ に対して、$A_\lambda$ は連結であるから空でない。このことと $\Lambda\neq\emptyset$ により、$A$ は空でない。$A$ の連結性を示すため、 命題1 (4)の条件を用いる。そこで、$f\colon A\to\{0,1\}$ を連続写像とする。$f$ が定値写像であることを言えばよい。それを言うには、任意の $x, y\in A$ に対して $f(x)=f(y)$ を示せばよい。そこで、$x, y\in A$ とする。ある $\lambda, \mu\in\Lambda$ に対して、$x\in A_\lambda,$ $y\in A_\mu$ である。いま $A_\lambda$ と $A_\mu$ は連結だから、 命題1 (1)$\Rightarrow$(4) により、制限 $f|_{A_\lambda},$ $f|_{A_\mu}$ はそれぞれ定値写像である。よって、$x, p\in A_\lambda$ であることから $f(x)=f(p)$ を得て、$p, y\in A_\mu$ であることから $f(p)=f(y)$ を得る。以上から、$f(x)=f(y)$ が得られる。これで $f$ が定値写像であることが分かり、命題 10,2(4)$\Rightarrow$(1) により $A$ は連結であることが分かった。$\square$
実数直線 $\mathbb{R}$ の部分集合が連結であることは、それが区間であることと同値である。正確に述べれば、次が成り立つ。

1. $\Rightarrow$ (2) を示す。$A$ を $\mathbb{R}$ の連結な部分集合とする。連結性の定義から $A$ は空ではない。そこで、$a=\inf A,$ $b=\sup A$ とすると、$a\leq b$ である。ただし、$A$ が下に有界でないときは $a=-\infty$ とし、$A$ が上に有界でないときは $b=+\infty$ とする。すると $A\subset [a, b]$ である。$a=b$ のときは $A=\{a\}$ となるから (i) の場合となる。$a< b$ であるとき、ある $c\in (a, b)$ に対して $c\notin A$ であれば、$U=A\cap (-\infty, c),$ $V=A\cap (c,+\infty)$ とおくとき $U,$ $V$ は $A$ の空でない開集合で、$A=U\cup V,$ $U\cap V=\emptyset$ となるから $A$ の連結性に反する。よって、$(a, b)\subset A$ である。あとは、$a,$ $b$ が $A$ に属するか否かに応じて、(i)-(iv) のどれかの場合になる。すなわち、$a\in A,$ $b\in A$ のときは (i) が成り立ち、$a\in A,$ $b\notin A$ のときは (ii) が成り立ち、$a\notin A,$ $b\in A$ のときは (iii) が成り立ち、$a\notin A,$ $b\notin A$ のときは (iv) が成り立つ。
2. $\Rightarrow$ (1) を示す。(i) の場合は 定理3 により $A$ は連結である。(ii) の場合、各 $c\in (a, b)$ に対して 定理3 により $[a,c]$ は連結であって $a\in \bigcap_{c\in (a,b)} [a,c],$ $[a,b)=\bigcup_{c\in (a, b)} [a,c]$ であるから、 命題4 により $A=[a, b)$ は連結である。(iii) の場合も同様に $A=(a,b]$ は連結であると分かる。(iv) の場合は、$a< c_0< b$ となる $c_0$ を一つ選べば、
   $$ (a, b)=\bigcup_{c\in (a, c_0),\,c'\in (c_0, b)} [c, c'] $$
   と表されることから、やはり 命題4 により $A=(a, b)$ は連結であることが分かる。$\square$

$f\colon X\to Y$ を連結な位相空間 $X$ からの連続写像とする。連結性の定義により $X$ は空でないから、$f(X)$ は空でない。$f(X)$ が連結であることを示すため、 命題1 (4)の条件を使おう。$g\colon f(X)\to\{0,1\}$ を連続写像とする。$\hat{f}\colon X\to f(X)$ を $f$ の終域を $f(X)$ に制限して得られる連続写像とすると、$g\circ\hat{f}\colon X\to\{0,1\}$ は $X$ の連結性と 命題1 (1)$\Rightarrow$(4)により定値写像である。このことから、$g$ は定値写像であることが分かる。実際、$y, y'\in f(X)$ とすると、$y=f(x)$, $y'=f(x')$ となる $x, x'\in X$ が存在するが、このとき $g(y)=g(f(x))=g\circ \hat{f}(x)=g\circ \hat{f}(x')=g(f(x'))=g(y')$ である。よって、$g$ は定値写像であり、したがって 命題1 (4)$\Rightarrow$(1)により $f(X)$ は連結である。$\square$

連結性の定義から $A$ は空でないから、$B$ も空でないことに注意する。まず、$B=\operatorname{Cl}_X A$ である特別な場合に命題を証明する。 命題1 (4)を用いて $\operatorname{Cl}_X A$ の連結性を示すため、$f\colon \operatorname{Cl}_X A\to\{0, 1\}$ を連続写像とする。$f|_A\colon A\to\{0,1\}$ は $A$ の連結性と 命題1 により定値写像である。例えば、$f|_A$ が $0$ への定値写像であるとしよう（$1$ への定値写像であっても同様である）。このとき、$A\subset f^{-1}(0)$ であり、$f^{-1}(0)$ は $\operatorname{Cl}_X A$ の閉集合であるから $X$ の閉集合でもある。よって、 命題1 により$\operatorname{Cl}_X A\subset f^{-1}(0)$ であるが、これは $f\colon\operatorname{Cl}_X A\to\{0,1\}$ が $0$ への定値写像であることを意味する。したがって 命題1 により、$\operatorname{Cl}_X A$ は連結である。
次に、一般の $A\subset B\subset\operatorname{Cl}_X A$ を満たす $B$ について、$B$ が連結であることを示す。いま 命題12 により
$$ \operatorname{Cl}_B A=B\cap \operatorname{Cl}_X A=B $$
であることに注意しよう。さきほど示したことで $X$ を $B$ とすれば、$\operatorname{Cl}_B A$ は連結と分かる。したがって、$B$ は連結である。$\square$
連結な位相空間の直積は連結となる。これは任意個の直積について成立するが、まず比較的簡単な有限個の直積の場合を証明してから、一般の場合を証明する。

$n=1$ の場合は明らかである。$n=2$ の場合を考える。連結性の定義により、$X_1\neq\emptyset$ であるから、$x_{1,0}\in X_1$ を取って固定する。各 $x_2\in X_2$ に対して、
$$ Y_{x_2}=(X_1\times\{x_2\})\cup (\{x_{1,0}\}\times X_2) $$
とおく。$X_1\times\{x_2\},$ $\{x_{1,0}\}\times X_2$ はそれぞれ $X_1,$ $X_2$ と同相だから、それぞれ連結であり、$(X_1\times\{x_2\})\cap(\{x_{1,0}\}\times X_2)=\{(x_{1,0}, x_2)\}\neq\emptyset$ なので、 命題4 により $Y_{x_2}$ は連結である。連結性の定義により $X_2\neq\emptyset$ であって $\{x_{1,0}\}\times X_2\subset \bigcap_{x_2\in X_2} Y_{x_2}$ であるから、$\bigcap_{x_2\in X_2} Y_{x_2}\neq\emptyset$ である。さらに、$X_1\times X_2=\bigcup_{x_2\in X_2} Y_{x_2}$ であるから、 命題4 により $X_1\times X_2$ は連結である。これで、$n=2$ の場合が示された。
$n\geq 3$ の場合は、$X_1\times\cdots\times X_n$ と $(X_1\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$ が同相であることを使えば、$n=2$ の場合を用いて帰納法によって示される。$\square$

$X=\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$ とおき、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して $p_\lambda\colon X\to X_\lambda$ を射影とする。各 $\lambda\in\Lambda$ に対して、
連結性の定義により $X_\lambda\neq\emptyset$ だから点 $x_{\lambda,0}\in X_\lambda$ を一つ選び固定する。$x_0=(x_{\lambda,0})_{\lambda\in\Lambda}\in X$ とする。とくに $X$ は $x_0$ を要素にもつから空ではない。$\Lambda$ の空でない有限部分集合全体の集合を $\mathcal{F}$ と書くことにしよう。各 $F\in\mathcal{F}$ に対して、
$$ X_F=\{(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X\,|\,\text{ 任意の }\lambda\in \Lambda\setminus F\text{ に対して }x_\lambda=x_{\lambda_0}\} $$
とする。すると $X_F$ は有限個の連結な空間の直積 $\prod_{\lambda\in F} X_\lambda$ と同相であるから、 命題8 により $X_F$ は連結である。さらに、$x_0\in\bigcap_{F\in\mathcal{F}} X_F$ であるから、$\bigcap_{F\in\mathcal{F}} X_F\neq\emptyset$ である。よって、$X'=\bigcup_{F\in\mathcal{F}} X_F$ とおくと $X'$ は 命題4 により連結である。
最後に、$X'$ が $X$ において稠密であること、すなわち $X=\operatorname{Cl}_X X'$ であることを示そう。これが言えれば、 命題7 により $X$ が連結であることが示される。そこで、$x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X$ を任意に与え、$x$ の近傍 $V$ を任意に与える。すると、有限個の相異なる $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Lambda\,(n\in\mathbb{N})$ と $x_{\lambda_i}$ の $X_{\lambda_i}$ における開近傍 $U_i$ が存在して $\bigcap_{i=1}^n p_{\lambda_i}^{-1}(U_i)\subset V$ となる。このとき $F=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}\in\mathcal{F}$ とおき、$x'\in X$ を
$$ p_\lambda(x')= \begin{cases} x_\lambda & \lambda\in F\text{ のとき}\\ x_{\lambda,0} & \lambda\in\Lambda\setminus F\text{ のとき} \end{cases} $$
によって定義すれば、$x'\in X_F\cap \bigcap_{i=1}^n p_{\lambda_i}^{-1}(U_i)\subset X'\cap V$ である。よって、$X'\cap V\neq\emptyset$ である。$V$ は $x$ の任意の近傍であったから、$x\in\operatorname{Cl}_X X'$ となる。これで $X\subset \operatorname{Cl}_X X'$ が示された。逆の包含 $\operatorname{Cl}_X X'\subset X$ は明らかだから、これで $X=\operatorname{Cl}_X X'$ が分かり、$X$ が連結であることが示された。$\square$
連結性は、位相空間が「つながっている」ことを、いわば「二つの離れた部分に切り離せない」こととして定式化したものであった。これとは別の方法として、「つながっている」ことを「どの二つの点の間もその空間の中の曲線で結ぶことができる」こととして定式化することもできる。それが次に説明する弧状連結性である。
一般に位相空間 $X$ に対して、連続写像 $f\colon [0, 1]\to X$ を $X$ における道といい、$f(0),$ $f(1)$ をそれぞれ道 $f$ の始点、終点と呼ぶのであった（ 例1 ）。

$X$ を弧状連結な位相空間とする。弧状連結性の定義から $X$ は空集合ではない。$X$ が連結でなかったとすると、$X$ の空でない開集合 $U,$ $V$ であって $X=U\cup V,$ $U\cap V=\emptyset$ となるものが存在する。点 $x\in U$ および $y\in V$ をそれぞれ一つ取り固定する。$X$ は弧状連結であったから、$X$ 内の道 $f\colon [0,1]\to X$ であって $f(0)=x,$ $f(1)=y$ となるものが存在する。このとき、$U'=f^{-1}(U),$ $V'=f^{-1}(V)$ とおけば、$U',$ $V'$ は $[0,1]$ の開集合である。しかも、$0\in U',$ $1\in V'$ であるから $U',$ $V'$ は空でなく、$U'\cup V'=[0,1],$ $U'\cap V'=\emptyset$ である。これは、 定理3 により $[0,1]$ が連結であることに反する。$\square$
連結性について成り立つ性質の中には、弧状連結性についても同様に成り立つものもある。次の二つの命題はそのようなものである。

$f\colon X\to Y$ を弧状連結な空間 $X$ からの連続写像とする。$X$ は弧状連結性の定義から空でないので、$f(X)$ も空でない。$f(X)$ の弧状連結性を示すため、$y, y'\in f(X)$ を任意に与える。すると $x, x'\in X$ であって $f(x)=y,$ $f(x')=y'$ となるものが存在する。$X$ は弧状連結だから、連続写像 $\alpha\colon [0,1]\to X$ で $\alpha(0)=x,$ $\alpha(1)=x'$ となるものが存在する。このとき、$f$ の終域を $f(X)$ に制限した連続写像を $\hat{f}\colon X\to f(X)$ とすれば $\hat{f}\circ\alpha\colon [0,1]\to f(X)$ は連続写像で、$\hat{f}\circ \alpha(0)=f(x)=y,$ $\hat{f}\circ \alpha(1)=f(x')=y$ となる。これで、$f(X)$ の弧状連結性が示された。$\square$

点 $p\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ を一つ取り固定する。$A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ とおき、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して、$i_\lambda\colon A_\lambda\to A$ を包含写像とする。各 $\lambda\in\Lambda$ に対して、$A_\lambda$ は弧状連結であるから空でない。このことと $\Lambda\neq\emptyset$ により、$A$ は空でない。$A$ の弧状連結性を示すため、任意に $x, y\in A$ を与える。ある $\lambda, \mu\in \Lambda$ が存在して、$x\in A_\lambda,$ $y\in A_\mu$ となる。すると $x, p\in A_\lambda$ であるから、$A_\lambda$ 内の道 $f\colon [0,1]\to A_\lambda$ が存在して、$f(0)=x,$ $f(1)=p$ となる。また、$p, y\in A_\mu$ であるから、$A_\mu$ 内の道 $g\colon [0,1]\to A_\mu$ が存在して、$g(0)=p,$ $g(1)=y$ となる。$i_\lambda\circ f\colon [0,1]\to A$ を再び $f$ で表す。同様に、$i_\mu\circ g\colon [0,1]\to A$ も再び $g$ で表す。このとき、$f(1)=p=g(0)$ なので、 例1 で見たように、$A$ 内の道 $f, g\colon [0,1]\to A$ をつなぐことで、一つの道 $h\colon[0,1]\to A$ を
$$ h(t)= \begin{cases} f(2t) & 0\leq t\leq 1/2\text{ のとき}\\ g(2t-1) & 1/2\leq t\leq 1\text{ のとき} \end{cases} $$
により定義できる。$h$ は $x$ を始点とし $y$ を終点とする $A$ 内の道だから、これで $A$ の弧状連結性が示された。$\square$

1. 定義3 で用いた記号を用いる。上で見たように $\Lambda\neq\emptyset$ であり、しかも $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda } A_\lambda$ であるから、$x\in C_X(x)$ であって、 命題4 により $C_X(x)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ は連結である。また、$x$ を要素にもつ $X$ の任意の連結部分集合は、ある $\lambda\in\Lambda$ について $A_\lambda$ の形となるので、$C_X(x)$ に含まれる。したがって、$C_X(x)$ は $x$ を要素にもつ $X$ の連結部分集合のうち最大のものである。
2. $x, y\in X,$ $C_X(x)\cap C_X(y)\neq\emptyset$ とする。(1)により、$C_X(x)$ と $C_X(y)$ は連結だから、 命題4 により、$C_X(x)\cup C_X(y)$ は連結である。ところが、$x\in C_X(x)\cup C_X(y)$ なので、(1)における最大性から、$C_X(x)\cup C_X(y)\subset C_X(x)$ である。よって、$C_X(y)\subset C_X(x)$ である。同様に、$C_X(x)\subset C_X(y)$ も成り立つので、$C_X(x)=C_X(y)$ である。
3. (1)により $C_X(x)$ は連結だから、 命題7 により閉包 $\operatorname{Cl} C_X(x)$ は連結である。よって(1)における最大性から、$\operatorname{Cl} C_X(x)\subset C_X(x)$ である。よって、$\operatorname{Cl} C_X(x)=C_X(x)$ なので、$C_X(x)$ は $X$ の閉集合である。$\square$
   命題13 (1)-(3)により、$X$ の連結成分の全体は、$X$ を互いに交わらない連結閉集合に分割する。

(1)$\Rightarrow$(2) を示す。$X$ を連結とする。$X$ は空でないから $x\in X$ が存在する。$C_X(x)$ は $X$ の連結成分だから、$X$ は少なくとも一個の連結成分をもつ。次に、$X$ の連結成分が高々一個であることを示すため、$x, y\in X$ とする。$C_X(x)=C_X(y)$ であることを示したい。$X$ の連結性と 命題13 (1)により $X\subset C_X(x)$ なので、$C_X(x)=X$ である。まったく同様に $C_X(y)=X$ も分かるから、$C_X(x)=C_X(y)$ である。これで、$X$ の連結成分が高々一個であることも分かったので、$X$ の連結成分はちょうど一個存在することが示された。
(2)$\Rightarrow$(1) を示す。$X$ の連結成分がちょうど一個存在するとする。その連結成分を $C$ としよう。$X$ は連結成分の互いに交わりのない和集合に分割されるのだから、$C$ がただ一つの連結成分であることにより $X=C$ である。よって、$X$ は連結である。$\square$
位相空間の連結成分への分割は、簡単な場合には次の命題によって求められる。

まず、$X$ の任意の連結成分が $\{A_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ に属していることを示す。そのため、$X$ の連結成分 $C$ を任意に与える。ある $x\in X$ に対して、$C=C_X(x)$ である。$X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$ なので、ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して、$x\in A_\lambda$ である。$A_\lambda$ は連結なので、 命題14 (1)により、$A_\lambda\subset C_X(x)$ である。もし、$A_\lambda\neq C_X(x)$ であれば、$U=A_\lambda,$ $V=C_X(x)\setminus A_\lambda$ とおくとき $U,$ $V$ は空でなく、$U\cup V=C_X(x),$ $U\cap V=\emptyset$ である。また、$U=A_\lambda$ は $X$ の開集合なので $C_X(x)$ の開集合でもあり、また
$$ V=C_X(x)\cap\bigcup_{\mu\in\Lambda\setminus\{\lambda\}} A_\mu $$
となることから $V$ も $C_X(x)$ の開集合である。このような $U,$ $V$ が存在することは $C_X(x)$ の連結性に反する。よって、$A_\lambda=C_X(x)$ である。
次に、$\{A_\lambda\,|\,\lambda\in\Lambda\}$ の各要素が $X$ の連結成分であることを示す。任意に $\lambda\in\Lambda$ を与える。$A_\lambda$ は連結であるから、とくに空ではない。そこで、$x\in A_\lambda$ を一つとり固定する。$A_\lambda$ は連結なので、 命題14 (1)により、$A_\lambda\subset C_X(x)$ である。この後は、前段落とまったく同じ議論により、$A_\lambda=C_X(x)$ でなければならないことが言える。よって、$A_\lambda$ は $X$ の連結成分である。$\square$

まず、反射律を示すため、$x\in X$ とする。$f\colon [0,1]\to X$ を $f(t)=x\,(t\in [0,1])$ で定めれば $f$ は $x$ を始点かつ終点とする $X$ 内の道である。よって、$x\sim x$ である。
次に、対称律を示すため、$x, y\in X$ とし、$x\sim y$ とする。すると、$X$ 内の道 $f\colon [0,1]\to X$ で $x$ を始点とし $y$ を終点とするものが存在する。このとき、$X$ 内の道 $g\colon [0,1]\to X$ を $g(t)=f(1-t)\,(t\in [0,1])$ で定義すれば、$g$ は $y$ を始点とし $x$ を終点とする。よって、$y\sim x$ である。
最後に、推移律を示すため、$x, y, z\in X$ とし、$x\sim y,$ $y\sim z$ とする。すると、$X$ 内の道 $f\colon [0,1]\to X$ で $x$ を始点とし $y$ を終点とするものが存在する。また、$X$ 内の道 $g\colon [0,1]\to X$ で $y$ を始点とし $z$ を終点とするものが存在する。このとき、$f$ と $g$ とをつないでできる道 $h\colon [0,1]\to X$ が
$$ h(t)= \begin{cases} f(2t) & 0\leq t\leq 1/2\text{ のとき}\\ g(2t-1) & 1/2\leq t\leq 1\text{ のとき} \end{cases} $$
により定義され（ 例1 ）、$h$ は $x$ を始点とし $z$ を終点とする。よって、$x\sim z$ である。$\square$

$P_X(x)$ は弧状連結、したがって 命題10 により連結である。このことと $x\in P_X(x)$ から、 命題13 (1)により $P_X(x)\subset C_X(x)$ が成り立つ。$\square$
連結成分への分割が分かっている場合、弧状連結成分への分割を求めるには、次が手掛かりとなる。

$X$ の連結成分 $C$ が弧状連結であるとする。任意の $x\in C$ に対して、 命題18 により $P_X(x)\subset C_X(x)=C$ である。したがって、
$$ C=\bigcup_{x\in C} P_X(x) $$
となる。このとき、任意の $x, y\in C$ に対して $P_X(x)=P_X(y)$ でなければならない。実際、ある $x, y\in C$ に対して $P_X(x)\neq P_X(y)$ であれば、$x$ を始点とし $y$ を終点とする $X$ 内の道は（よって $C$ 内の道も）存在せず、これは $C$ の弧状連結性に反するからである。したがって、$x\in C$ を一つ固定すれば $C=P_X(x)$ であり、これは $C$ が $X$ の弧状連結成分であることを意味する。$\square$