2-1 Frobenius写像

1　写像の性質

標数 $p$ の体では二項係数 $\binom pi$ が $0< i< p$ で $p$ の倍数なので
$$(x+y)^p=x^p+y^p,\qquad (xy)^p=x^py^p.$$
従って $\varphi:x\mapsto x^p$ は体準同型。$x^p=y^p$ なら $(x-y)^p=0$ であり、体に非零の冪零元はないので $x=y$。有限体ではこの単射は全射でもあり、Frobeniusは自己同型となる。$\mathbb F_p$ の元は全て $x^p=x$ を満たす。逆に多項式 $X^p-X$ は次数 $p$ で、それら $p$ 元が全根だから、どの拡大体内でもFrobeniusの固定元はちょうど $\mathbb F_p$。
$F$ が $q=p^n$ 元体なら、位数 $q-1$ の乗法群にLagrangeの定理を使って非零元には $a^{q-1}=1$ を得る。零も含めて全元で $a^q=a$ が成立する。従ってFrobeniusを $n$ 回施すと恒等写像になる。もし $0< r< n$ 回で既に恒等なら、$F$ の $p^n$ 個の元が次数 $p^r$ の非零多項式 $X^{p^r}-X$ の根となり矛盾する。したがって Frobeniusの位数はちょうど $n$。これは後の逆写像の演習で使う事実である。

2　四元体の冪表

第1章の $K$ では

よってFrobeniusは $\alpha$ と $\alpha+1$ を交換し、二回作用すると恒等写像。$x^4=x$ は四元全てで成立する。

3　八元体と九元体の軌道

第1章の八元体では $\beta^3=\beta+1$。$\beta$ の二乗Frobenius軌道は
$$\beta\longmapsto\beta^2\longmapsto\beta^4=\beta^2+\beta\longmapsto\beta^8=\beta.$$
三点の軌道なので、$\beta$ の最小多項式は $\prod_{j=0}^{2}(X-\beta^{2^j})=X^3+X+1$。実際、この積の係数は二乗Frobeniusで固定され、$\mathbb F_2$ に属する。$\beta$ を根に持つ三次既約式は第1章の定義式である。
$\eta=\beta+1=\beta^3$ の軌道は $\eta=\beta^3$、$\eta^2=\beta^6=\beta^2+1$、$\eta^4=\beta^5=\beta^2+\beta+1$。$\eta^3=\beta^2$ なので $\eta^3+\eta^2+1=\beta^2+(\beta^2+1)+1=0$。$\eta$ の軌道長は3だから、その最小多項式は $X^3+X^2+1$ である。第1章の別表示の生成元 $\delta$ と $\eta$ は同じ関係式を満たす。
同じく第1章の九元体では $\gamma^2=2$。三乗Frobeniusで $\gamma\mapsto\gamma^3=2\gamma\mapsto(2\gamma)^3=\gamma$ となる。$\gamma$ と $2\gamma$ の軌道積は $(X-\gamma)(X-2\gamma)=X^2+1$。四元体・九元体では軌道長2、八元体では軌道長3であり、拡大次数と一致する。
演習。 $\alpha^5$ を求めよ。
解答。 $\alpha^3=1$ なので $\alpha^5=\alpha^2=\alpha+1$。
演習。 $p^n$ 元体のFrobenius $a\mapsto a^p$ の逆写像を冪で表せ。
解答。 全元で $a^{p^n}=a$ だからFrobeniusの $n$ 乗は恒等。よって逆は $(n-1)$ 乗、すなわち $a\mapsto a^{p^{n-1}}$ である。
演習。 標数 $p$ の任意の体で、$a^{p^r}=a$ を満たす元は高々何個か。
解答。 その元は次数 $p^r$ の非零多項式 $X^{p^r}-X$ の根なので高々 $p^r$ 個である。
部分体の一般判定と有限体拡大の自己同型群は、『体とGalois理論』の有限体の章と同書のGalois対応の章へ接続する。