特性部分群

特性部分群

特性部分群（とくせいぶぶんぐん、characteristic subgroup）とは、群のどのような同型によってもおなじ部分群に移るようなもののことを指す。

定義

群 $G$ の部分群 $H$ が特性部分群であるとは、任意の自己同型 $f:G\to G$ ($f \in \mathrm{Aut}_{\mathsf{Grp}}(F)$)について、$f(H):=\{f(h)|h \in H\}=H$ が成り立つことをいう。

例

• 群 $G$ の中心 $Z(G)$ は $G$ の特性部分群である。
• 有限群 $G$ について、$G$ の $p$-Sylow部分群全体の共通集合は特性部分群である。
• $5$ 次対称群 $S_5$ について、$S_5$ の部分群として $5$ 次交代群 $A_5$ を取ることができるが、これは $S_5$ の特性部分群である。