代数的集合とイデアル
つぎの定理は、代数的集合とイデアルの基本的な関係を与える。
$\K$ を体とし、$L$ を $\K$ の部分集合、$S$ を $\K$ 上の多項式からなる集合とする。
(1) $S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ ならば $V(T/L)\subset V(S/L)$ となる。
(2) $I$ を $S$ により生成される $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ 上のイデアルとすると、$V(S/L)=V(I/L)$ となる。
(3) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V((I+J)/L)=V(I/L)\cap V(J/L)$ となる。
また、$F, G\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のとき、
(4) $V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
(5) $V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)=V(S/L)\cup V(T/L)$
が成り立つ。とくに
(6) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。
また、特殊な場合として、以下のことがいえる。
(7) $V(0/L)=L^n$.
(8) $c$ が $0$ でない定数のとき $V(c/L)=\emptyset$.
(9) $a_1, a_2, \ldots, a_n\in L$ のとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ となる。一方 $a_i\not\in L$ となる $a_i$ が存在するとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\emptyset$ となる。 とくに$1$点だけからなる集合 $\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ は代数的集合となる。
それで、(5) から、代数的集合の和集合も代数的集合であり、(9) とあわせて、有限個の点からなる集合は代数的集合であることがわかる。
$S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ で $P\in V(T/L)$ ならば $P\in V(S/L)$ となることは明らか。
実際 $F\in S$ のとき $F\in T$ となるから $F(P)=0$ となる。$P\in L^n$ なので $P\in V(S/L)$ となる。
よって $V(T/L)\subset V(S/L)$ である。$I$ が $S$ により生成されるイデアルならば、$S\subset I$ であるから、
$V(I/L)\subset V(S/L)$ となる。$F\in I$ のとき、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2+\cdots +G_r H_r$$
となる、$G_1, G_2, \ldots, G_r\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ および $H_1, H_2, \ldots, H_r\in I$
がとれるので、$P\in V(S/L)$ ならば
$$F(P)=G_1 H_1(P)+G_2 H_2(P)+\cdots +G_r H_r(P)=0$$
となるから、$P\in V(I/L)$ となる。つまり、$V(S/L)\subset V(I/L)$ となる。$I, J\subset I+J$ だから
$V((I+J)/L)\subset V(I/L)\cap V(J/L)$ は明らかである。逆に $P\in V(I/L)\cap V(J/L)$ とする。
$F\in I+J$ ならば、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2$$
となる $H_1\in I$, $H_2\in J$, および $G_1, G_2\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$
がとれるが、$H_1(P)=H_2(P)=0$ となるから $F(P)=0$ となる。
よって $V(I/L)\cap V(J/L)\subset V((I+J)/L)$ となる。$\K$ は体なので、
$$FG(P)=0\Longleftrightarrow F(P)=0\lor G(P)=0$$
となるから、
$V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
は明らかに成り立つ。$F\in S$ のとき、$F(P)=0$ となるならば、$FG(P)=0$ となるから、
$$V(S/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
は明らかに成り立つ。同様に
$$V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
も明らかに成り立つ。したがって
$$V(S/L)\cup V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
となる。また、
任意の $F\in S, G\in T$ に対して $FG(P)=0$ が成り立つ点 $P\in L^n$ をとる。
$P\not\in V(T/L)$ とすると、ある $G_0\in T$ について $G_0(P)\neq 0$ となる。
よって任意の $F\in S$ に対して $FG_0(P)=0$ より $F(P)=0$ となるから、$P\in V(F/L)$ となる。
つまり $P\in V(S/L)$ となる。-
- において $S=I$, $T=J$ とおくと、左辺の集合は $IJ$ に一致するから、$V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。
$\A^n(\K)$ の部分集合 $V$ について、$I(V)$ を、$V$ 上で値が $0$ となる $\K$ 上の多項式全体とする。つまり、$V\subset \A^n(\K)$ について
$$I(V)=\{f\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とすると、$I(V)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。
$\A^2(\C)$ の部分集合 $V=\{(\sqrt{2}, \sqrt{2})\}$ について、
$I(V)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})\subset \C[X, Y]$ は $\C[X, Y]$ のイデアルとなる。
I(V) を $\K$ の部分集合 $L$ 上に係数をもつ多項式に制限したものを
$$I(V/L)=\{f\in L[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とかくことにすると、
$$I(V/L)=I(V)\cap L[X_1, X_2, \ldots, X_n]$$
となる。$R$ が $\K$ の部分環ならば、$I(V/R)$ は $R[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。
$I(V/\R)$ は $\R[X, Y]$ 上のイデアルとして、$I(V/\R)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})$ となる。
また、
$I(V/\Z)$ も $\Z[X, Y]$ のイデアルだが、
$$I(V/\Z)=(X^2-2, X-Y)\subset \Z[X, Y]$$
とあらわされる。実際、
$P(X, Y)\in I(V/\Z)$ に対して、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+G_1(Y)X+G_0(Y), G_0(Y), G_1(Y)\in\Z[Y], F_0(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とおくと、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+G_1(X)X+G_0(X), F_1(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とあらわされる。ここで
$$G_1(X)X+G_0(X)=H(X)(X^2-2)+aX+b, H(X), aX+b\in \Z[X]$$
とおくと
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+H(X)(X^2-2)+aX+b$$
となるが、
$$P(\sqrt{2}, \sqrt{2})=a\sqrt{2}+b=0$$
より $a=b=0$ つまり
$$P(X, Y)=(F_0(X, Y)+H(X))(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)\in (X^2-2, X-Y)$$
となる。
$S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $F\in S$ ならば、$V(S)$ の任意の点 $P$ において $F(P)=0$ となるから、$F\in I(V(S))$ となる。
また、$U\subset \A^n(\K)$, $P\in U$ ならば、$I(U)$ の任意の多項式 $F$ について、$F(P)=0$ となるから、$U\subset V(I(U))$ となる。
よって、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $U\subset \A^n(\K)$ について $S\subset I(V(S))$, $U\subset V(I(U))$ がそれぞれ成り立つ。
逆の包含関係は一般には成り立たない。仮に $S\subset \K[X_1, \ldots, X_n]$ 自身がイデアルとしても、$S=I(V(S))$ となるとは限らない。
たとえば、$I=((X-Y)^2)$ とおくと、$V(I)=\{(x, x): x\in\K\}$ となるから、$I(V(I))=(X-Y)\neq I$ となる。
また、$V(I(U))=U$ も一般には成り立たない。$\K=\R$ または $\C$ で、$U=\{(x, 0): 0\leq x\leq 1\}$ とすると、$[0, 1]$ でつねに $0$ をとる $1$ 変数多項式は、零多項式しか存在しないから、$I(U)=(Y)$, $V(I(U))=\{(x, 0): x\in\R\}$ となり、$U$ とは一致しない。
しかし、$S$ 自身が $I(U)$ の形のイデアルならば、逆の包含関係が成り立つし、$U$ 自身が代数的集合ならば、やはり逆の包含関係が成り立つ。つまり、つぎの定理が成り立つ。
任意の $U\subset \A^n(\K)$ について $I(U)=I(V(I(U)))$ が成り立つ。
また、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ について $V(S)=V(I(V(S)))$ が成り立つ。
$V_0=V(I(U))$ とおくと、$U\subset V(I(U))=V_0$ であるから、$I(V(I(U)))=I(V_0)\subset I(U)$ となる。
また $I_0=I(V(S))$ とおくと、$S\subset I(V(S))=I_0$ であるから、$V(I(V(S)))=V(I_0)\subset V(S)$ となる。
後半より、$U$ が代数的集合ならば $V=V(I(U))$ となることがわかる。
$V, W$ が $\A^n(\K)$ 上の代数的集合であるとき、
$$V=W \Longleftrightarrow I(V)=I(W).$$
$V=W$ ならば $I(V)=I(W)$ であることは明らか。
$I(V)=I(W)$ とすると、$V, W$ はともに代数的集合だから、
定理2
より $V(I(V))=V$, $V(I(W))=W$ がそれぞれ成り立つので、
$$V=V(I(V))=V(I(W))=W.$$
一方、逆に、$V(I)=V(J)$ のとき、$I=J$ となることは一般にはいえない。
たとえば $I=(X-Y), J=I^2=((X-Y)^2)$ とおくと、$I\neq J$ であるが、$V(I)=V(J)=\{(x, x): x\in\K\}$ となる。
さて、点はつぎのように極大イデアルに対応することがわかる。
$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ の極大イデアルである。
多項式環:定理3
より
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1}, a_n)\Mod{X_n-a_n}$$
となるから、帰納的に
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\Mod{(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)}$$
が成り立つ。よって、$F\not\in (X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ ならば $F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\neq 0$ となる。
$\K$ は体だから
$$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n, F)=(F(a_1, a_2, \ldots, a_n))=(1)=\K$$
が成り立つ。
代数的集合については、つぎのような形で分離可能性が成り立つ。
$\K$ を体、$V$ を $\A^n(\K)$ の代数的集合とし、$P\in \A^n(\K)$ が $V$ 上の点ではないとすると、
$F(P)=1$ となる多項式 $F\in I(V)$ がとれる。
より一般に、$P_1, \ldots, P_r\in \A^n(\K)$ が、互いに相異なり、かついずれも $V$ 上にはない点とすると、
$i=1, \ldots, r$ について $F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる
$F_1, F_2, \ldots, F_r\in I(V)$ がとれる。
各 $P_i$ は $V$ 上の点ではないので、
定理1
より、$V_0=V\cup \{P_j:j=1, \ldots, r\}$ は、$V_i=V\cup \{P_j:j\neq i\}$ とは異なる代数的集合となる。
定理3
より、$I(V_0)\subsetneq I(V_i)$ となるから、
$I(V_i)$ に含まれるが $I(V_0)$ に含まれない多項式 $G_i$ がとれる。
$G_i\in I(V_i)$ だから $G_i\in I(V)$ かつ $j\neq i$ のとき $G_i(P_j)=0$ となる。
しかし $G_i(P_i)=0$ とすると、$G_i$ は $I(V_0)$ に含まれてしまうから、$G_i(P_i)=c_i\neq 0$ となる。
$F_i=G_i/c_i$ とおくと、$F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる。
任意の代数的集合は有限個の超曲面の共通部分としてあらわされる。
$V=V(S)$ を集合 $S\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ によって定まる代数的集合とする。
$S$ によって生成されるイデアルを $I$ とおくと $V=V(I)$ となる。
$\K$ は体なのでNoether環である。
Hilbertの基底定理
より、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ もNoether環となるから、
$$I=(F_1, \ldots, F_r)=(F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r)$$ は有限生成である。よって
$$V=V((F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r))=\bigcap_{i=1}^r V(F_i)$$
となる。
$\A^3$ 上の曲線
$$C: X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
は
$$C=V(\{X^3+Y^3+Z^3-2, X+Y=2\})=V(X^3+Y^3+Z^3-2)\cap V(X+Y=2)$$
とアフィン代数曲面の共通部分としてあらわされる。実際、$Y=2-X$ のとき
$$Z^3=2-(X^3+Y^3)=2-X^3-(2-X)^3=-6(X-1)^2$$
より
$Z=-6u^2$ とおくと、$X=1+6u^3, Y=2-X=1-6u^3$ あるいは $X=1-6u^3, Y=1+6u^3$ となるので
$t$ を$\pm u$ から、うまく選ぶと
$$X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
となる。
参考文献
