アフィン代数的集合の一般的な性質について解説する。

アフィン代数的集合

本章では、代数幾何学の基本的な定理を証明するために必要な可換環の理論について解説する。

可換環の理論

# 定義

体 $\K$ 上有限個の要素で生成される環、すなわち $v_1, v_2, \ldots, v_n$ を用いて
$\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とあらわされる環を $\K$ 上**有限生成** (*finitely generated*) な環という。
$R=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ が $\K$ 上有限生成であるとき、[[多項式環]] $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ から $R$ への準同型が
$\phi(X_i)=v_i\ (i=1, 2, \ldots, n)$ により自然に定まる。このとき、
$$R=\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/\Ker\phi$$
とあらわされる。すなわち、体上有限生成環は多項式環の剰余環として得られる。
体上有限生成環の理論はアフィン代数多様体の理論において重要である。

もちろん、上記の事実と逆に、多項式環の剰余環 $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/I$ は $X_i\Mod{I}$ により生成されるから、
$\K$ 上有限生成環となる。一方、関数体は環としては有限生成でない。

&&&thm [th1]
関数体 $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体としては$\K$ 上有限生成だが、$\K$ 上の環としては有限生成ではない。
&&&

&&&prf
$\K(t_1, \ldots, t_n)$ が $\K$ 上の環として有限生成とすると、
$$\K(t_1, \ldots, t_n)=\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]$$
となる $X_1, \ldots, X_r\in\K(t_1, \ldots, t_n)$ が存在する。それで
$$X_i=\frac{f_i(t_1, \ldots, t_n)}{g_i(t_1, \ldots, t_n)}\ (i=1, 2, \ldots, r)$$
となる $f_i, g_i\in \K[t_1, \ldots, t_n]$ が存在する。
$\K$ の[[代数閉包]]（たとえば[入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論](textbooks/KeS9MzLh8lzuCrpardOw/r69FraV2VMfHEg5W63Lm)の定義10を参照）を $\overline{\K}$ とすると、どの $i=1, 2, \ldots, r$ についても $g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$ となる $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in\overline{\K}$ が存在する。
実際、たとえば各方程式 $g_i(x, 0, \ldots, 0)=0$ は有限個の解しかもたないが、$\overline{\K}$ は無限個の要素からなる（仮に $\K=\F_p$ が有限体でも、[「有限体入門」有限体の構造](/textbooks/xuhVoKvxpmo3Lp1Hi5NH/5J7x9RRIKELRvH5yVsMs)で記したように、$\overline{\K}=\cup_{e\geq 1}\F_{p^e}$ は無限個の要素からなる）。
このとき
$$\varphi(X_i)=\frac{f_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)}{g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)}\ (i=1, 2, \ldots, r)$$
により、$\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]$ から $\overline{\K}$ への環準同型が定まる。
しかし$\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]=\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体だから、[「環論の基礎2：イデアルと剰余環」の命題4 (体から環への準同型は単射)](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/jQa7OU1HJ6MRiOJYo8hC#体から環への準同型は単射)より $\varphi$ は単射である。すると $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は $\K$ 上代数的であることになってしまい、矛盾する。
&&&


体上有限生成環

# アフィン空間

$\K$ を任意の体とする。$\K$ の $n$ 個の直積
$$\A^n(\K)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n): a_1, a_2, \ldots, a_n\in\K\}$$
を$\K$ 上の $n$ 次元アフィン空間 ($n$-dimensional affine space) という（もちろん集合としては、$\A^n(\K)$ は $\K$ の $n$ 個の直積 $\K^n$ と同一である）。

# アフィン代数的集合

$\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ を $\K$ 上の $n$ 変数[[多項式環]]とする。
$\K$ 上の $n$ 変数多項式 $F\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ と、$n$ 次元アフィン空間 $\A^n(\K)$ 上の点 $P=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ について、$F(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ を点 $P$ における $F$ の値と定め、これを単に $F(P)$ であらわす。$F(P)=0$ となる 点 $P$ を $F$ の**零点** (*zero*) という。

$F$ の零点全体の集合を
$$V(F)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n): a_1, a_2, \ldots, a_n\in\K, F(a_1, a_2, \ldots, a_n)=0\}$$
によりあらわし、$F$ により定まる**アフィン超曲面** (*affine hypersurface*) という。とくに $n=3$ で $F(X, Y, Z)$ が定数でないときは**アフィン曲面** (*affine surface*) という。$n=2$ で $F(X, Y)$ が定数でない場合、$V(F)$ を**アフィン平面代数曲線** (*affine plane algebraic curve*) という。
$F$ が$1$次式のとき、$V(F)$ を$\A^n(\K)$ における**超平面** (*hyperplane*) といい、とくに $n=3$ のときは**平面** (*plane*)、$n=2$ のときは**直線** (*line*) という。

さらに一般に、$\K$ 上の $n$ 変数多項式からなる集合 $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ について、
$S$ の多項式すべての零点となる点全体の集合
$$V(S)=\bigcap_{F\in S}V(F)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n): a_1, a_2, \ldots, a_n\in\K, \forall F\in S[F(a_1, a_2, \ldots, a_n)=0]\}$$
を $S$ により定まる**アフィン代数的集合** (*affine algebraic set*) という。また、本書ではアフィン代数的集合を単に代数的集合 (algebraic set)という。

&&&ex [ex1]
正の整数 $n\geq 1$ について、$F_n(X, Y)=X^n+Y^n-1$ とすると、$V(F_n)$ はアフィン平面代数曲線を与える。

以下、$V=V(S)$ が $S$ により定まるアフィン代数的集合であるとき、これを $\K$ の部分集合 $L\subset \K$ に制限したものを
$$V(L)=V(S/L)=V\cap L^n=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n): a_1, a_2, \ldots, a_n\in L, \forall F\in S[F(a_1, a_2, \ldots, a_n)=0]\}$$
とかくことにすると、$V(F_1/\R)$ は直線 $Y=1-X$ に一致し、$V(F_2/\R)$ は原点を中心とする半径 $1$ の円となる。
また、Fermatの最終定理は、
$n$ が $3$ 以上の奇数のとき $V(F_n/\Q)=\{(1, 0), (0, 1)\}$ に、$n$ が $4$ 以上の偶数のとき $V(F_n/\Q)=\{(\pm 1, 0), (0, \pm 1)\}$
に一致すると言い換えることができる。
&&&

&&&ex [ex2]
正の整数 $n\geq 1$ について、$F_n(X, Y, Z)=X^n+Y^n-Z^n$ とすると、$V(F_n)$ は $\A^3(\K)$ におけるアフィン代数曲面を与える。
$V(F_1/\R)$ は平面 $Z=1-X-Y$ に一致し、$V(F_2/\R)$ は円錐面 $X^2+Y^2-Z^2=0$ をあたえる。
また、Fermatの最終定理は、$n\geq 3$ のとき
$$V(F_n/\Z)=\begin{cases}
\{(0, t, \pm t): t\in\Z\}\cup \{(\pm t, 0, t): t\in\Z\}\cup \{(t, \pm t, 0): t\in \Z\} & (n\equiv 0\Mod{2}) \\
\{(0, t, t): t\in\Z\}\cup \{(t, 0, t): t\in\Z\}\cup \{(t, -t, 0): t\in \Z\} & (n\equiv 1\Mod{2}) \\
\end{cases}$$
と言い換えることができる。
&&&


&&&thm [th1]
$V_1=V(S/K), V_2=V(T/L)\in \A^n(\K)$ が代数的集合ならば、その共通部分 $V_1\cap V_2$ も代数的集合で、
$$V_1\cap V_2=V((S\cup T)/(K\cap L))$$
とあらわされる。
&&&

&&&prf
$V_1=V(S/K), V_2=V(T/L)$ となる集合 $S, T, K, L$ をとると、
$$P\in V_1\cap V_2\Longleftrightarrow P\in (K\cap L)^n, \forall(F\in S\cup T)[F(P)=0]$$
より
$$V_1\cap V_2=V((S\cup T)/(K\cap L))$$
となる。
&&&


アフィン代数的集合の定義

$T$ を体 $\K$ 上の不定元とするとき、$\K$ 係数の $T$ の有理式の全体
$$\K(T)=\left\{ \dfrac{f(T)}{g(T)}~\middle|~f(T), g(T) \in\K[T],~g(T) \neq 0 \right\}$$
は体をなす。この体を $\K$ 上の**有理関数体** (*The field of rational functions*) と呼ぶ。

一般に、$n$ 変数の有理関数体を次のように定める。体 $\K$ 上の代数独立な要素 $T_1, \ldots, T_n$ について、
$$\K(T_1, \ldots, T_n)=\left\{ \dfrac{f(T_1, \ldots, T_n)}{g(T_1, \ldots, T_n)}~\middle|~f, g\in\K[T_1, \ldots, T_n],~g(T_1, \ldots, T_n) \neq 0 \right\}$$
は体をなす。この体を $\K$ 上の$n$変数有理関数体と呼ぶ。

それで、$\K(T_1, \ldots, T_n)$ は、多項式環 $\K[T_1, \ldots, T_n]$ の局所化として実現される。

[前節の定理](./jPgEPA3EBdIDio0e18nJ)より、有理関数体は、環としては有限生成でない。

有理関数体に関して、次の2つの事実が成り立つ。とくに後者の事実はHilbertの零点定理の証明に用いられる（[[Ful]]の1.9節および1.10節を参照）。

&&&lem Fulton [[Ful]], 1.49a [lem1]
$\K$ が体で、$\L=\K(X)$ が $\K$ 上の有理関数体とする。
$z\in \L$ が $\K[X]$ 上整ならば、$z\in \K[X]$ である。
&&&

&&&prf
$z$ は $\K[X]$ 上整なので、
$$z^d+a_1 z^{d-1}+\cdots a_d=0$$
となる $a_1, \ldots, a_d\in \K[X]$ がとれる。
$z=F/G, F, G\in \K[X], \gcd(F, G)=1$ とあらわされるから、
$$F^d+a_1 F^{d-1} G+\cdots +a_d G^d=0$$
とある。よって、
$$F^d=-G(a_1 F^{d-1}+\cdots +a_d G^{d-1})$$
より、$\K[X]$ において $G$ は $F^d$ を割り切る。
しかし $\gcd(F, G)=1$ だから、$\gcd(F^n, G)=1$ となる。よって $G$ は定数でなければならず、$z=F/G\in \K[X]$ となる。
&&&

&&&lem Fulton [[Ful]], 1.49b [lem2]
「任意の $z\in \K(X)$ について、$F^n z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $n>0$ が存在する」ような多項式 $F\in \K[X]$ は $F=0$ しか存在しない。
&&&

&&&
$0$ でない多項式 $F\in \K[X]$ をとり、任意の $z\in \K(X)$ について、$F^n z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $n>0$ が存在すると仮定する。
$F$ が定数多項式でないとき、$G=F+1$ とし、$F$ が $0$ でない定数多項式のとき $G=F+X$ とおくと、
$G$ は定数ではない多項式で、かつ $\gcd(F, G)=1$ となる。ここで $z=1/G$ とおく。
ある自然数 $n>0$ をとれば、$F^n/G$ が $\K[X]$ 上整となるから、
$$(F^n/G)^d+a_1 (F^n/G)^{d-1}+\cdots a_d=0$$
となる $a_1, \ldots, a_d\in \K[X]$ がとれる。よって
$$F^{nd}+a_1 F^{n(d-1)} G+\cdots +a_d G^d=0$$
となるので、$G$ は $F^{nd}$ を割り切る。$\gcd(F, G)=1$ だから、$\gcd(F^{nd}, G)=1$ なので、$G$ は定数でなければならないが、これは$G$ のとり方に反する。
&&&

有理関数体

つぎの定理は、代数的集合とイデアルの基本的な関係を与える。

&&&thm [th1]
$\K$ を体とし、$L$ を $\K$ の部分集合、$S$ を $\K$ 上の多項式からなる集合とする。
(1) $S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ ならば $V(T/L)\subset V(S/L)$ となる。
(2) $I$ を $S$ により生成される $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ 上のイデアルとすると、$V(S/L)=V(I/L)$ となる。
(3) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V((I+J)/L)=V(I/L)\cap V(J/L)$ となる。

また、$F, G\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のとき、
(4) $V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
(5) $V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)=V(S/L)\cup V(T/L)$
が成り立つ。とくに
(6) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。

また、特殊な場合として、以下のことがいえる。
(7) $V(0/L)=L^n$.
(8) $c$ が $0$ でない定数のとき $V(c/L)=\emptyset$.
(9) $a_1, a_2, \ldots, a_n\in L$ のとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ となる。一方 $a_i\not\in L$ となる $a_i$ が存在するとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\emptyset$ となる。 とくに$1$点だけからなる集合 $\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ は代数的集合となる。
&&&

それで、(5) から、代数的集合の和集合も代数的集合であり、(9) とあわせて、有限個の点からなる集合は代数的集合であることがわかる。

&&&prf
(1) $S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ で $P\in V(T/L)$ ならば $P\in V(S/L)$ となることは明らか。
実際 $F\in S$ のとき $F\in T$ となるから $F(P)=0$ となる。$P\in L^n$ なので $P\in V(S/L)$ となる。
よって $V(T/L)\subset V(S/L)$ である。

(2) $I$ が $S$ により生成されるイデアルならば、$S\subset I$ であるから、
$V(I/L)\subset V(S/L)$ となる。$F\in I$ のとき、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2+\cdots +G_r H_r$$
となる、$G_1, G_2, \ldots, G_r\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ および $H_1, H_2, \ldots, H_r\in I$
がとれるので、$P\in V(S/L)$ ならば
$$F(P)=G_1 H_1(P)+G_2 H_2(P)+\cdots +G_r H_r(P)=0$$
となるから、$P\in V(I/L)$ となる。つまり、$V(S/L)\subset V(I/L)$ となる。

(3) $I, J\subset I+J$ だから
$V((I+J)/L)\subset V(I/L)\cap V(J/L)$ は明らかである。逆に $P\in V(I/L)\cap V(J/L)$ とする。
$F\in I+J$ ならば、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2$$
となる $H_1\in I$, $H_2\in J$, および $G_1, G_2\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$
がとれるが、$H_1(P)=H_2(P)=0$ となるから $F(P)=0$ となる。
よって $V(I/L)\cap V(J/L)\subset V((I+J)/L)$ となる。

(4) $\K$ は体なので、
$$FG(P)=0\Longleftrightarrow F(P)=0\lor G(P)=0$$
となるから、
$V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
は明らかに成り立つ。

(5) $F\in S$ のとき、$F(P)=0$ となるならば、$FG(P)=0$ となるから、
$$V(S/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
は明らかに成り立つ。同様に
$$V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
も明らかに成り立つ。したがって
$$V(S/L)\cup V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
となる。また、
任意の $F\in S, G\in T$ に対して $FG(P)=0$ が成り立つ点 $P\in L^n$ をとる。
$P\not\in V(T/L)$ とすると、ある $G_0\in T$ について $G_0(P)\neq 0$ となる。
よって任意の $F\in S$ に対して $FG_0(P)=0$ より $F(P)=0$ となるから、$P\in V(F/L)$ となる。
つまり $P\in V(S/L)$ となる。

(6) (5) において $S=I$, $T=J$ とおくと、左辺の集合は $IJ$ に一致するから、$V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。
&&&

$\A^n(\K)$ の部分集合 $V$ について、$I(V)$ を、$V$ 上で値が $0$ となる $\K$ 上の多項式全体とする。つまり、$V\subset \A^n(\K)$ について
$$I(V)=\{f\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とすると、$I(V)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。

&&&ex [ex1]
$\A^2(\C)$ の部分集合 $V=\{(\sqrt{2}, \sqrt{2})\}$ について、
$I(V)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})\subset \C[X, Y]$ は $\C[X, Y]$ のイデアルとなる。

I(V) を $\K$ の部分集合 $L$ 上に係数をもつ多項式に制限したものを
$$I(V/L)=\{f\in L[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とかくことにすると、
$$I(V/L)=I(V)\cap L[X_1, X_2, \ldots, X_n]$$
となる。$R$ が $\K$ の部分環ならば、$I(V/R)$ は $R[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。

$I(V/\R)$ は $\R[X, Y]$ 上のイデアルとして、$I(V/\R)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})$ となる。
また、
$I(V/\Z)$ も $\Z[X, Y]$ のイデアルだが、
$$I(V/\Z)=(X^2-2, X-Y)\subset \Z[X, Y]$$
とあらわされる。実際、
$P(X, Y)\in I(V/\Z)$ に対して、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+G_1(Y)X+G_0(Y), G_0(Y), G_1(Y)\in\Z[Y], F_0(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とおくと、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+G_1(X)X+G_0(X), F_1(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とあらわされる。ここで
$$G_1(X)X+G_0(X)=H(X)(X^2-2)+aX+b, H(X), aX+b\in \Z[X]$$
とおくと 
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+H(X)(X^2-2)+aX+b$$
となるが、
$$P(\sqrt{2}, \sqrt{2})=a\sqrt{2}+b=0$$
より $a=b=0$ つまり
$$P(X, Y)=(F_0(X, Y)+H(X))(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)\in (X^2-2, X-Y)$$
となる。
&&&

$S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $F\in S$ ならば、$V(S)$ の任意の点 $P$ において $F(P)=0$ となるから、$F\in I(V(S))$ となる。
また、$U\subset \A^n(\K)$, $P\in U$ ならば、$I(U)$ の任意の多項式 $F$ について、$F(P)=0$ となるから、$U\subset V(I(U))$ となる。

よって、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $U\subset \A^n(\K)$ について $S\subset I(V(S))$, $U\subset V(I(U))$ がそれぞれ成り立つ。

逆の包含関係は一般には成り立たない。仮に $S\subset \K[X_1, \ldots, X_n]$ 自身がイデアルとしても、$S=I(V(S))$ となるとは限らない。
たとえば、$I=((X-Y)^2)$ とおくと、$V(I)=\{(x, x): x\in\K\}$ となるから、$I(V(I))=(X-Y)\neq I$ となる。

また、$V(I(U))=U$ も一般には成り立たない。$\K=\R$ または $\C$ で、$U=\{(x, 0): 0\leq x\leq 1\}$ とすると、$[0, 1]$ でつねに $0$ をとる $1$ 変数多項式は、零多項式しか存在しないから、$I(U)=(Y)$, $V(I(U))=\{(x, 0): x\in\R\}$ となり、$U$ とは一致しない。

しかし、$S$ 自身が $I(U)$ の形のイデアルならば、逆の包含関係が成り立つし、$U$ 自身が代数的集合ならば、やはり逆の包含関係が成り立つ。つまり、つぎの定理が成り立つ。

&&&thm [th2]
任意の $U\subset \A^n(\K)$ について $I(U)=I(V(I(U)))$ が成り立つ。
また、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ について $V(S)=V(I(V(S)))$ が成り立つ。
&&&

&&&prf
$V_0=V(I(U))$ とおくと、$U\subset V(I(U))=V_0$ であるから、$I(V(I(U)))=I(V_0)\subset I(U)$ となる。
また $I_0=I(V(S))$ とおくと、$S\subset I(V(S))=I_0$ であるから、$V(I(V(S)))=V(I_0)\subset V(S)$ となる。
&&&

後半より、$U$ が代数的集合ならば $V=V(I(U))$ となることがわかる。

&&&thm [th3]
$V, W$ が $\A^n(\K)$ 上の代数的集合であるとき、
$$V=W \Longleftrightarrow I(V)=I(W).$$
&&&

&&&
$V=W$ ならば $I(V)=I(W)$ であることは明らか。
$I(V)=I(W)$ とすると、$V, W$ はともに代数的集合だから、[定理2](#th2)より $V(I(V))=V$, $V(I(W))=W$ がそれぞれ成り立つので、
$$V=V(I(V))=V(I(W))=W.$$
&&&

一方、逆に、$V(I)=V(J)$ のとき、$I=J$ となることは一般にはいえない。
たとえば $I=(X-Y), J=I^2=((X-Y)^2)$ とおくと、$I\neq J$ であるが、$V(I)=V(J)=\{(x, x): x\in\K\}$ となる。

さて、点はつぎのように極大イデアルに対応することがわかる。

&&&thm [th4]
$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ の極大イデアルである。
&&&

&&&prf
[多項式環:定理3](/glossaries/XdtFqe3Kh3rAYfLlJaIY#th3)より
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1}, a_n)\Mod{X_n-a_n}$$
となるから、帰納的に
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\Mod{(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)}$$
が成り立つ。よって、$F\not\in (X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ ならば $F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\neq 0$ となる。
$\K$ は体だから
$$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n, F)=(F(a_1, a_2, \ldots, a_n))=(1)=\K$$
が成り立つ。
&&&

代数的集合については、つぎのような形で分離可能性が成り立つ。

&&&thm [th5]
$\K$ を体、$V$ を $\A^n(\K)$ の代数的集合とし、$P\in \A^n(\K)$ が $V$ 上の点ではないとすると、
$F(P)=1$ となる多項式 $F\in I(V)$ がとれる。
より一般に、$P_1, \ldots, P_r\in \A^n(\K)$ が、互いに相異なり、かついずれも $V$ 上にはない点とすると、
$i=1, \ldots, r$ について $F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる
$F_1, F_2, \ldots, F_r\in I(V)$ がとれる。
&&&

&&&prf
各 $P_i$ は $V$ 上の点ではないので、
[定理1](#th1)より、$V_0=V\cup \{P_j:j=1, \ldots, r\}$ は、$V_i=V\cup \{P_j:j\neq i\}$ とは異なる代数的集合となる。
[定理3](#th3)より、$I(V_0)\subsetneq I(V_i)$ となるから、
$I(V_i)$ に含まれるが $I(V_0)$ に含まれない多項式 $G_i$ がとれる。
$G_i\in I(V_i)$ だから $G_i\in I(V)$ かつ $j\neq i$ のとき $G_i(P_j)=0$ となる。
しかし $G_i(P_i)=0$ とすると、$G_i$ は $I(V_0)$ に含まれてしまうから、$G_i(P_i)=c_i\neq 0$ となる。
$F_i=G_i/c_i$ とおくと、$F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる。
&&&

&&&thm [th6]
任意の代数的集合は有限個の超曲面の共通部分としてあらわされる。
&&&

&&&prf
$V=V(S)$ を集合 $S\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ によって定まる代数的集合とする。
$S$ によって生成されるイデアルを $I$ とおくと $V=V(I)$ となる。
$\K$ は体なので[[Noether環]]である。[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th2)より、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ もNoether環となるから、
$$I=(F_1, \ldots, F_r)=(F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r)$$ は有限生成である。よって
$$V=V((F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r))=\bigcap_{i=1}^r V(F_i)$$
となる。
&&&

&&&ex [ex1]
$\A^3$ 上の曲線
$$C: X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
は
$$C=V(\{X^3+Y^3+Z^3-2, X+Y=2\})=V(X^3+Y^3+Z^3-2)\cap V(X+Y=2)$$
とアフィン代数曲面の共通部分としてあらわされる。実際、$Y=2-X$ のとき
$$Z^3=2-(X^3+Y^3)=2-X^3-(2-X)^3=-6(X-1)^2$$
より
$Z=-6u^2$ とおくと、$X=1+6u^3, Y=2-X=1-6u^3$ あるいは $X=1-6u^3, Y=1+6u^3$ となるので
$t$ を$\pm u$ から、うまく選ぶと 
$$X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
となる。
&&&


代数的集合とイデアル

体上有限生成環についてとくに重要な事実として、次のように、環として有限生成な体の拡大は代数拡大しかないことがわかる。この事実はHilbertの零点定理の証明にも用いられる（Fulton [[Ful]], 1.7節から1.10節を参照）。

&&&thm [th1]
体 $\L$ が体 $\K$ の拡大体、かつ $\K$ 上環として有限生成であるとき、
$\L$ は $\K$ の有限次拡大体である。すなわち $\L$ は $\K$ 上加群として有限生成である。

とくに、$\K$ が代数閉体ならば、$\L=\K$ となるから、$\K$ 上環として有限生成である体は $\K$ 自身しかない。
&&&

&&&prf
$\L=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とおく。$n$ に関する帰納法で証明する。

$1.$ まず、$n=1$ のとき、$\varphi(X)=v_1$ となる準同型 $\varphi\colon \K[X] \to \L$ をとる。[多項式環:既約多項式](/glossary_drafts/HpcceyF9p5RdZuK9lTum#既約多項式)あるいは[入門テキスト「環論の基礎」多項式環の命題10](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/NrfMQIQq7e3wqVfSskl2)より $\K[X]$ はPIDだから、$\Ker\ \varphi=(f)$ となる $f\in \K[X]$ が存在する。
$f=0$ のとき、$\K[v_1]$ は $\K[X]$ と同型なので、$\L=\K(v_1)$ は $\K(X)$ と同型であるが、これは[体上有限生成環](jPgEPA3EBdIDio0e18nJ#th1)より環として有限生成でないので仮定に反する。
よって、$f\neq 0$ となる。$\K[X]/(f)$ は $\L=\K[v_1]$ と同型だが、これは整域なので、$(f)$ は素イデアルとなる。よって $f$ は既約であるが、$\K[X]$ はPIDなので、[「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.6](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)より、$(f)$ は極大イデアルとなる。
よって、$\K[v_1]$ は体だから、$\L=\K(v_1)=\K[v_1]$ は $\K[X]/(f)$ と同型である。これは、$\L=\K(v_1)$ が $\K$ の有限次拡大体であること、つまり$\K$ 上加群として有限生成であることを示している。

$2.$ $n\leq m-1$ について正しいとし、$n=m$ のとき証明する。
$\K_1=\K(v_m)$ とおく。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体である。$v_m$ が $\K$ 上代数的ならば、$\K_1$ は $\K$ の有限次拡大体だから、拡大次数の連鎖律（たとえば[入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論の命題5](/textbooks/KeS9MzLh8lzuCrpardOw/r69FraV2VMfHEg5W63Lm#拡大次数の連鎖律)）より $\L$ も $\K$ の有限次拡大体である。

そこで、$v_m$ が $\K$ 上代数的ではないとする。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体であり、$v_m\in \K_1$ だから、各 $v_i$ は $\K_1$ 上代数的である。
$$g_i(X)=X^{d_i}+a_{i, 1}X^{d_i-1}+\cdots +a_{i, d_i}$$
を $v_i$ の $\K_1$ 上の最小多項式とする。すべての係数 $a_{i, j}\ (1\leq i\leq m, 0\leq j\leq d_i-1)$ の分母の最小公倍数を $A$ とおくと、
$$(Av_i)^{d_i}+Aa_{i, 1}(Av_i)^{d_i-1}+\cdots +A^{d_i} a_{i, d_i}=A^{d_i}g_i(v_i)=0$$
となるが、$A$ のとり方から、$a_{i, j}\in \K[v_m]$ となるから、各 $Av_i$ は $\K[v_m]$ 上整である。
よって、任意の $z\in \K[v_1, \ldots, v_m]$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。とくに、
$$\K(v_m)\subset \K(v_1, \ldots, v_m)=\K[v_1, \ldots, v_m]$$
だから、任意の $z\in \K(v_m)$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。
$v_m$ は $\K$ 上代数的ではないので、$\K[v_m]$ は多項式環 $\K[X]$ と同型、$\K(v_m)$ は有理関数体 $\K(X)$ と同型であるから、任意の $z\in \K(X)$ について、$A^N z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $N$ がとれることになるが、これは[前節の補題2](PcY8Nr5tzo0FovfmF2ZC#lem2)に矛盾する。

これらのことから、数学的帰納法により、定理が $\K$ の任意の有限生成環について証明できる。
&&&


環として有限生成な体の拡大は代数拡大

$$\sqrt{I}=\{x: \exists(n\in \N_{>0})[x^n\in I]\}$$を $I$ の根基 (radical) とする（[「環論の基礎」素イデアル・極大イデアルの定義3](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/kxRMms5uTPwR5SG8mYvf#根基)以下を参照）と、$V(I)$ は $V(\sqrt{I})$ に一致することがわかる。

&&&thm [th1]
$V(I)=V(\sqrt{I})$.
&&&

&&&prf
$I\subset\sqrt{I}$ だから、$V(\sqrt{I})\subset V(I)$ は明らか。

$P\in V(I)$ かつ $F\in\sqrt{I}$ とすると、$F^n\in I$ となる整数 $n>0$ が存在するので、$F^n(P)=0$ より、$F(P)=0$ となって、結局、$P\in V(\sqrt{I})$ となる。つまり、$V(I)\subset V(\sqrt{I})$ も成り立つ。
&&&

&&&thm [th2]
$\sqrt{I}\subset I(V(I))$.
&&&

&&&prf
先述のように、$F\in\sqrt{I}$ とすると、$V(I))$ 上の点 $P$ について、つねに $F(P)=0$ となるから、$F\in I(V(I))$ となる。よって $\sqrt{I}\subset I(V(I))$ となる。
&&&

$\K$ が代数閉体ならば、この逆の包含関係が成り立つ、つまり $I(V(I))=\sqrt{I}$ となるというのが、Hilbertの零点定理である。

代数的集合とイデアルの根基

代数的集合 $V$ が $V$ とは異なる $2$ つの代数的集合 $W_1, W_2$ によって $V=W_1\cup W_2$ とあらわされないとき、
$V$ を**既約** (*irreducible*) という。既約なアフィン代数的集合を**アフィン代数多様体** (*affine algebraic variety*) という。


&&&thm [th1]
代数的集合 $V$ が既約 $\Longleftrightarrow$ $I(V)$ が素イデアル。
&&&

&&&prf
代数的集合 $V$ が既約でないとし、$V$ とは異なる $2$ つの代数的集合 $W_1, W_2$ によって $V=W_1\cup W_2$ とあらわされるとすると、$I(W_1), I(W_2)$ は $I(V)$ より真に大きいイデアルとなる。$F_1\in I(W_1), F_2\in I(W_2)$ がともに $I(V)$ に含まれないとする。
$P\in V$ に対して、$P\in W_i$ となる $i$ をとると、$F_i(P)=0$ だから、必ず $F_1 F_2(P)=0$ となる。よって、$F_1 F_2\in I(V)$ となるが、$F_1, F_2$ はともに $I(V)$ には含まれないから、$I(V)$ は素イデアルではない。

逆に、$I(V)$ が素イデアルでないとすると、$F_1 F_2\in I(V)$ となるが、いずれも $I(V)$ に属さない多項式 $F_1, F_2$ がとれる。
$V\cap V(F_1)$, $V\cap V(F_2)$ も代数的集合で、$F_1, F_2$ は $I(V)$ に属さないから、$F_1(P)\neq 0, F_2(Q)\neq 0$ となる $P, Q\in V$ がとれる。よって $V\cap V(F_1)$, $V\cap V(F_2)$ はともに $V$ より真に小さい代数的集合で
$$V=(V\cap V(F_1))\cup (V\cap V(F_2))$$
となるから、$V$ は既約ではない。
&&&

さらに、任意の代数的集合が、有限個の既約代数的集合の和集合に、本質的には一意的に分解される。正確にいうと、次の定理が成り立つ。

&&&thm [th2]
任意の代数的集合 $V$ は有限個の既約代数的集合の和集合
$$V=V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_r$$
としてあらわされ、かつ、どの $2$つの $V_i, V_j$ も互いに包含関係にないという条件の下では、順序を除いて一意的にあらわされる。
&&&

このような $V_i$ を $V$ の**既約成分** (*irreducible component*) といい、上記のようにあらわすことを、$V$ の既約成分への**分解** (*decomposition*) という。

&&&prf
まず、任意の代数的集合 $V$ は有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされることを示す。

$\A^n(\K)$ の代数的集合で、有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされないものが存在すると仮定し、それら全体の集合を $\SS$ とおく。また、$\SS$ に対応するイデアルの集合を $\TT=\{I(V), V\in\SS\}$ とおく。
[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th2)より、$\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ はNoether環なので、[Noether環の性質](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th1)から、$\TT$ は極大元 $I_0$ をもつ。$I_0=I(V_0)$ となる $V_0$ をとると、$V_0$ は $\SS$ の極小元となる。
$\SS$ に属する代数的集合は、当然それ自体既約ではありえないので、$V_0=W_1\cup W_2$ となる、$W_1, W_2\subsetneq V_0$ がとれる。
$V_0$ は $\SS$ の極小元だから、$W_1, W_2$ は有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされるので、$V_0=W_1\cup W_2$ も有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされる。これは矛盾である。

よって、任意の代数的集合 $V$ は
$$V=V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_r$$
と有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされるので、そのようなあらわし方が（定理に記した条件のもとで）一意的であることを示す。
$V_i\subset V_j$ となるときに $V_i$ をすべて取り除いても、和集合に変化はないので、$V$ は、どの $2$つの $V_i, V_j$ も互いに包含関係にないようにあらわすことができる。そこで
$$V=W_1\cup W_2\cup \cdots \cup W_s$$
なおかつ、どの $2$つの $W_i, W_j$ も互いに包含関係にないように有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされたとする。
各 $i=1, \ldots, r$ について
$$V_i=\bigcup_{j=1}^s (V_i\cap W_j)$$
となるが、$V_i$ は既約だから $V_i\cap W_{j(i)}=V_i$ つまり $V_i\subset W_{j(i)}$ となる $j(i)$ が存在する。同様にして、$W_{j(i)}\subset V_{k(i)}$ となる $k(i)$ が存在するが、$V_i\subset V_{k(i)}$ となるので、仮定より $i=k(i)$ でなければならず、 $V_i=W_{j(i)}$ となる。このことから $s\geq r$ となる。
同様にして、各 $j=1, \ldots, s$ について $W_j=V_{i(j)}$ となる $i(j)$ が存在するから、$r\geq s$ となるので、結局 $s=r$ で、$W_j$ は $V_i$ の順序を並び替えたものとなる。
&&&

&&&ex [ex31]
$$XY^2=0\Longleftrightarrow X=0\lor Y=0$$
だが、$(X), (Y)$ は素イデアルなので、$V(X), V(Y)$ はともに既約な代数的集合となる。よって
$$V(XY^2)=V(X)\cup V(Y)$$
と既約成分に分解される。
&&&

既約な代数的集合

[代数的集合とイデアルの根基](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE)の節で述べたように、$\K$ が代数閉体のときには[同節の定理2](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE#th2)の逆の包含関係が成り立ち、$I(V(I))=\sqrt{I}$ となるというのが、**Hilbertの零点定理** (*Hilbert's Nullstellensatz*) である。
この節では、Hilbertの零点定理を証明する。この節での証明はFulton, 1.7節から1.10節を参考としている。証明の本質的部分は[体上有限生成環](jPgEPA3EBdIDio0e18nJ)の理論によるので、詳しくは可換環の理論の章を参照されたい。

まず、特殊な場合に相当する、次の定理を示す。

&&&thm 弱い零点定理 [th1]
$\K$ が代数閉体とする。このとき $\K[X_1, \ldots, X_n]$ 上のイデアル $I$ について
$$V(I)=\emptyset \Longleftrightarrow I=\K[X_1, \ldots, X_n].$$
&&&

$I(V(I))=\K[X_1, \ldots, X_n]$ ならば、$1\in I(V(I))$ より、$V(I)=\emptyset$ となるので、
$I=\K[X_1, \ldots, X_n]$ となる。つまり、この定理はHilbertの零点定理の特殊な場合を与える。

&&&prf
$I=\K[X_1, \ldots, X_n]$ のとき、$1\in I$ より、$V(I)=\emptyset$ となる。

そこで、$I\neq \K[X_1, \ldots, X_n]$ と仮定する。
[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0)より $\K[X_1, \ldots, X_n]$ はNoether環だから、[[Noether環]]の性質より $I$ を含む $\K[X_1, \ldots, X_n]$ の極大イデアル $J$ が存在する。
$\L=\K[X_1, \ldots, X_n]/J$ は $\K$ の拡大体に同型であるが、$\K$ 上環として有限生成で、一方 $\K$ は代数閉体だから[環として有限生成な体の拡大は代数拡大](lNePjHahjdItO3WxeRFX#th1)であることから $\L=\K$ となる。よって、各 $i=1, \ldots, n$ について
$$X_i\equiv a_i\Mod J$$
となる $a_i\in\K$ が存在する。このとき $X_i-a_i\in J$ となるから、
$$(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)\subset J$$
となる。しかし、[代数的集合とイデアル:定理4](U3j7Znb28V98TK3gBQMY#th4)より $(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ は極大イデアルであるから、
$J=(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ でなければならない。
よって、$(a_1, \ldots, a_n)\in V(J)\subset V(I)$ となって、
$V(I)\neq\emptyset$ となることがわかる。
&&&

これを利用して、一般的な零点定理を示す。

&&&thm Hilbertの零点定理 (Hilbert's Nullstellensatz) [th2]
$\K$ が代数閉体ならば、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ 上のイデアル $I$ について、$I(V(I))=\sqrt{I}.$
&&&

&&&prf
$\sqrt{I}\subset I(V(I))$ は[代数的集合とイデアルの根基](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE#th2)で既に示しているので、$I(V(I))\subset\sqrt{I}$ を示す。

$I=(F_1, \ldots, F_r), F_i\in\K[X_1, \ldots, X_n]$ とおき、多項式 $G\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ が $I(V(F_1, \ldots, F_r))$ に属するとする。
$$J=(F_1, \ldots, F_r, X_{n+1}G-1)$$
とおくと、これは $\K[X_1, \ldots, X_{n+1}]$ のイデアルである。
どの $i$ についても $F_i(a_1, \ldots, a_n)=0$ となるとき、$X_{n+1}G-1=-1\neq 0$ となる。よって、$V(J)=\emptyset$ となるから、[定理1](#th1)より $1\in J$ となる。
$$1=\sum_{i=1}^r A_i(X_1, \ldots, X_{n+1}) F_i+B(X_1, \ldots, X_{n+1})(X_{n+1}G-1)$$
となる $A_1, \ldots, A_r, B\in\K[X_1, \ldots, X_{n+1}]$ がとれる。
$Y=1/X_{n+1}$ とおくと、
$$1=Y^{-N}\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, Y) F_i+D(X_1, \ldots, Y)(G-Y)$$
つまり
$$Y^N=\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, Y) F_i+D(X_1, \ldots, Y)(G-Y)$$
となる整数 $N\geq 0$ と、$C_1, \ldots, C_r, D\in\K[X_1, \ldots, X_n, Y]$ がとれる。たとえば
$$B(X_1, \ldots, X_{n+1})=\sum_{i=0}^d H_i(X_1, \ldots, X_n)X_{n+1}^i$$
に対して、
$$D(X_1, \ldots, X_n, Y)=\sum_{i=0}^d H_i(X_1, \ldots, X_n)Y_{n+1}^{d-i}$$
とおくとよい。とくに$Y=G(X_1, \ldots, X_n)$ とおくと
$$G^N=\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, X_n, G(X_1, \ldots, X_n)) F_i$$
となるので、$G^N\in (F_1, \ldots, F_r)=I$ となる。これは $G$ が $\sqrt{I}$ に属することを示している。
&&&


Hilbertの零点定理

Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry (Online version)

代数幾何学において、もっとも基本的な対象は、多変数多項式の零点、あるいは複数の多変数多項式の共通の零点全体の集合としてあらわされるアフィン代数的集合である。その中でも、アフィン平面上の代数曲線がもっとも基本的な対象となる。
そこで本テキストではアフィン代数的集合の一般論の基礎と、アフィン平面上の代数曲線の概念について解説し、ついで平面上の代数曲線を射影平面上で考察することで、より見通しのよい理論が得られることを解説する。

体上有限生成環

定義

参考文献