微分方程式の初歩1：常微分方程式の初期値問題を扱う。

第1章 常微分方程式

微分方程式の初歩2：Gaussの発散定理のSobolev空間版、微分方程式の初歩3：境界条件付き一様楕円型作用素と楕円型正則性、微分方程式の初歩4：調和関数の平均値性質と最大値原理、微分方程式の初歩5：Laplace–Poisson方程式の境界値問題を扱う。

第2章 楕円型方程式と調和関数

微分方程式の初歩6：境界条件付き波動方程式の初期値問題を扱う。

第3章 波動方程式

微分方程式の初歩1：常微分方程式の初期値問題

# 2. Gaussの発散定理のSobolev空間版
&&&def 基本的な微分作用素の記号 [def-b17-2-1]
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。勾配、発散、ラプラシアン（[ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/CELOlJ2rb2yBMeMjxV5C)の**12**,**13**を参照）を $\Omega$ 上の超関数（[超関数の定義と基本操作](https://old.math.jp/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E3%81%A8%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%93%8D%E4%BD%9C)を参照）に対して作用するように拡張する。すなわち $\Omega$ 上の任意の超関数 $u\in D'(\Omega)$ に対し $u$ の勾配を、
$$
\nabla u\colon={\rm grad}(u)\colon=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (D'(\Omega))^N,
$$
$u$ のラプラシアンを、
$$
\Delta u\colon=\partial_1^2u+\cdots+\partial_N^2u\in D'(\Omega)
$$
と定義する。そして任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (D'(\Omega))^N$ に対し $u$ の発散を、
$$
{\rm div}(u)\colon=\partial_1u_1+\cdots+\partial_Nu_N\in D'(\Omega)
$$
と定義する。
任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$
{\rm div}\nabla u=\Delta u
$$
であることに注意する。
&&&
&&&def 外向き法線微分 [def-b17-2-2]
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[ベクトル解析5：多様体の向き](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/T4lbkrr8D1SDTd4tHiPv)の**21**,**22**を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[Sobolev空間の基本事項](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)の**37**を参照）とする。任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\gamma(u)\colon =(\gamma(u_1),\ldots,\gamma(u_N))\in (L^2(\partial\Omega))^N
$$
と定義する。そして任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し、その勾配 $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ を考え、
$$
\frac{\partial u}{\partial \nu}\colon=\gamma(\nabla u)\cdot \nu=\gamma(\partial_1u)\nu_1+\cdots+\gamma(\partial_Nu)\nu_N\in L^2(\partial\Omega)
$$
を定義する。$\frac{\partial u}{\partial\nu}$ を $u$ の外向き法線微分と言う。
&&&
&&&thm Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域） [thm-b17-2-3]
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合とし、$\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（[ベクトル解析5：多様体の向き](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/T4lbkrr8D1SDTd4tHiPv)の**21**,**22**を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[Sobolev空間の基本事項](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)の**37**を参照）とする。このとき、
- $(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
- $(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
- $(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
- $(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
- $(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[Sobolev空間の基本事項の系35.2](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0\quad\quad(*)
$$
（注：ただし $v=(v_1,\ldots,v_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し $\| v\|_{2,1}=\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\| v_j\|_{2,1}^2}$ である。） を満たすものが取れる。このとき、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\|_2=0
$$
であるから、$\Omega$ が有界であることから、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
$$
が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、
$$
\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ に対してGaussの発散定理（[定理3](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/iPu9nNVlgDCpQfG7Wd2y#thm-b14-24-2)）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx=\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
- $(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$,  $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolev空間の拡張作用素の存在定理（[Sobolev空間の基本事項の系35.2](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$　と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| v-v^{(n)}\|_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\|_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(v)-v^{(n)}\|_2=0
$$
となるので、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。そして各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[定理3](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/iPu9nNVlgDCpQfG7Wd2y#thm-b14-24-2)）を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx
=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
となるから、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla v(x))dx
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
- $(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(2)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
- $(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(3)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
&&&
&&&thm Gaussの発散定理のSobolev空間版（外部領域） [thm-b17-2-4]
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ が有界であるものとする（したがって $\Omega$ は有界ではない）。そして $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場（[ベクトル解析5：多様体の向き](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/T4lbkrr8D1SDTd4tHiPv)の**21**,**22**を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（[Sobolev空間の基本事項](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)の**37**を参照）とする。このとき、
- $(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)
(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
- $(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
- $(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
- $(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$,  $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（[Sobolev空間の基本事項の系35.2](https://old.math.jp/wiki/Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85)）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| v-v^{(n)}\|_{2,1}=0
$$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx
$$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\|_2=0,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(v)-v^{(n)}\|_2=0
$$
となるので、Hölderの不等式より、
$$
\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
が成り立つ。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ を取り固定する。$u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の台と $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界であるから、十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
{\rm supp}(u^{(n)}v^{(n)}),\quad \mathbb{R}^N\backslash \Omega\subset B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert<R\}
$$
となり、$\partial\Omega$ は 滑らかでコンパクトな境界であることから $\Omega\cap B(0,R)$ も滑らかでコンパクトな境界を持ち、その境界は、
$$
\partial(\Omega\cap B(0,R))=\partial\Omega\cup \partial B(0,R)
$$
である。そこで $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（[定理3](/textbooks/Wn8oo0va9FlFRKbmu7FF/iPu9nNVlgDCpQfG7Wd2y#thm-b14-24-2)）を適用すれば、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx=\int_{\Omega\cap B(0,R)}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
+\int_{\partial B(0,R)}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial B(0,R)}(x)\\
&=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。ゆえに、
$$
\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
が成り立つ。よって、
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
\end{aligned}
$$
を得る。
- $(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(1)$ を適用すれば、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
- $(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(2)$ より、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x),
$$
$$
\int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
である。これらを辺々引くと、
$$
\int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x)
$$
を得る。
&&&


微分方程式の初歩2：Gaussの発散定理のSobolev空間版

微分方程式の初歩6：境界条件付き波動方程式の初期値問題

微分方程式の初歩3：境界条件付き一様楕円型作用素と楕円型正則性

微分方程式の初歩4：調和関数の平均値性質と最大値原理

微分方程式の初歩5：Laplace–Poisson方程式の境界値問題

常微分方程式の初期値問題から、Sobolev空間版Gaussの発散定理、楕円型正則性、調和関数、Laplace–Poisson方程式、波動方程式へ進む。

微分方程式の初歩

概要

目次

第1章常微分方程式

第2章楕円型方程式と調和関数

第3章波動方程式