微分方程式の初歩5：Laplace–Poisson方程式の境界値問題

$f\colon\partial\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ の $H^m(\mathbb{R}^N)$ の元への拡張をそのまま $f$ で表す。 Sobolev空間の基本事項の定理32.2 より $H^m(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\| \cdot\|_{2,m}}$ であるから $D(\mathbb{R}^N)$ の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| f-f_n\|_{2,m}=0\quad\quad(*) $$
を満たすものが取れる。$m>\frac{N}{2}$ であるからSobolevの埋め込み定理（ Sobolev空間の基本事項の定理38.3 ）より $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。 定理9 の $(2),(5)$ より、
$$ \Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(**) $$
は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ について $\Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}$ を満たす $u_n\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れる。そして、
$$ \Delta u_n=\Delta f_n|_{\Omega}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
であるから、楕円型正則性（ 定理9 の $(4)$）とSobolevの埋め込み定理（ Sobolev空間の基本事項の定理38.4 ）より、
$$ u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}H^k(\Omega)\subset \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
が成り立つ。そこで、
$$ v_n\colon =f_n-u_n\in \bigcap_{k\in \mathbb{N}}C^k(\overline{\Omega})\subset C^\infty(\Omega)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
とおくと、
$$ \Delta v_n=\Delta f_n-\Delta u_n=0,\quad v_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}-u_n|_{\partial\Omega}=f_n|_{\partial\Omega}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
であるから、最大値の原理（ 定理4 ）より、
$$ \underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert v_n(x)-v_k(x)\rvert=\underset{x\in \partial\Omega}{\rm max}\lvert f_n(x)-f_k(x)\rvert\quad(\forall n,k\in \mathbb{N}) $$
であり、$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束するので、$(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ もある連続関数 $v\colon \overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ に一様収束する。よって、
$$ v(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\quad(\forall x\in \partial\Omega) $$
が成り立ち、$\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq r\}\subset \Omega$ なる任意の $x\in \Omega$ と $r\in (0,\infty)$ に対し、 定理2 の $(1)$ より、
$$ S(v,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}S(v_n,x,r)=\lim_{n\rightarrow\infty}v_n(x)=v(x) $$
となるので、再び 定理2 より $v$ は $\Omega$ 上で $\Delta v=0$ を満たす。今、$v\in H^m(\Omega)$ が成り立つことを示す。
$$ u_n-u_k\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega),\quad \Delta (u_n-u_k)=\Delta(f_n-f_k)|_{\Omega}\quad(\forall n,k\in \mathbb{N}) $$
であるから、 定理9 の $(4)$ より、$\Omega, m$ のみによる正実数 $C,C'$ が存在して、
$$ \| u_n-u_k\|_{2,m}\leq C(\| \Delta(f_n-f_k)\|_{2,m-2}+\| u_n-u_k\|_2) \leq C'(\| f_n-f_k\|_{2,m}+\| u_n-u_k\|_{\infty})\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})\quad\quad(***) $$
が成り立つ。ここで $u_n=f_n-v_n$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ一様収束するので $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も一様収束する。よって $(*),(***)$ より $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $H^m(\Omega)$ において収束する。そして、
$$ \| v_n-v_k\|_{2,m}\leq \| u_n-u_k\|_{2,m}+\| f_n-f_k\|_{2,m}\quad(\forall n,k\in\mathbb{N}) $$
であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ も $H^m(\Omega)$ において収束する。ゆえに $v\in H^m(\Omega)$ である。
一意性を示す。$v_1,v_2\in H^2(\Omega)$ が、
$$ \Delta v_k=0,\quad \gamma(v_k)=f\quad(k=1,2) $$
を満たすとする。このとき、
$$ v_1-v_2\in \{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega) $$
であり、$\Delta(v_1-v_2)=0$ であるから、$(**)$ の単射性より $v_1=v_2$ である。

定理1 より $v_0\in H^m(\Omega)$ で、
$$ \Delta v_0=0,\quad \gamma(v_0)=f $$
を満たすものが取れる。そして 定理9 の $(2),(5)$ より、
$$ \Delta\colon H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)=\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)=0\}\rightarrow L^2(\Omega)\quad\quad(*) $$
は全単射であるから、$\rho\in H^{m'}(\Omega)$ に対し $\Delta v_1=\rho$ を満たす $v_1\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ が取れて、楕円型正則性（ 定理9 の $(4)$）より $v_1\in H^{m'+2}(\Omega)$ である。よって $v\colon=v_0+v_1\in H^{m' '}(\Omega)$ とおけば、
$$ \Delta v=\Delta v_0+\Delta v_1=\Delta v_1=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(v_0)+\gamma(v_1)=\gamma(v_0)=f $$
である。これで存在が言えた。一意性を示す。今、$v,u\in H^2(\Omega)$ が、
$$ \Delta v=\Delta u=\rho,\quad \gamma(v)=\gamma(u)=f $$
を満たすとすると、
$$ \Delta(v-u)=0,\quad \gamma(v-u)=0 $$
であるから、$(*)$ の単射性より $v-u=0$ である。これで一意性が言えた。

• $(1)$　$G$ は $0\in \mathbb{R}^N$ 中心の極座標（ 定義8 ）$(r,\theta_1,\ldots,\theta_{N-1})$ の $r$ のみによることと、極座標は直交座標であること（ 命題14 の $(3)$ ）に注意すれば、 命題4 より、
  $$ \nabla G(x)=\frac{\partial G}{\partial r}(r)\frac{\partial}{\partial r}x=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\frac{x}{r}=\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{x}{\lvert x\rvert^N}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N\backslash \{0\}) $$
  であり、 命題5 より、
  $$ \Delta G(x)=\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{\partial G}{\partial r}\right)(x) =\frac{1}{r^{N-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{N-1}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{r^{N-1}}\right)(x)=0 $$
  である。
• $(2)$　$G,\lvert \nabla G\rvert$ は $\mathbb{R}^N\backslash \{0\}$ 上で連続であるから、$G,\lvert\nabla G\rvert$ が $\mathbb{R}^N$ 上で局所可積分であることを示すには、$0\in \mathbb{R}^N$ を中心とする任意の球 $\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert\leq R\}$ 上で $G,\lvert \nabla G\rvert$ が可積分であることを示せば十分である。極座標変換（ 定理15 ）より、
  $$ \int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert G(x)\rvert dx=\lvert \partial B(0,1)\rvert \int_{0}^{R}r^{N-1}\lvert G(r)\rvert dr =\begin{cases}\frac{1}{N-2}\int_{0}^{R}rdr<\infty&\quad(N\geq 3)\\ \int_{0}^{R}r\lvert \log(r)\rvert dr<\infty &(N=2)\end{cases} $$
  であり、
  $$ \int_{\lvert x\rvert\leq R}\lvert \nabla G(x)\rvert dx=\int_{\lvert x\rvert \leq R}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\lvert x\rvert^{N-1}}dx=\int_{0}^{R}1dr=R $$
  である。

任意の $x\in \Omega$ を取り固定する。十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
$$ \overline{B(x,\epsilon)}=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-x\rvert\leq \epsilon\}\subset \Omega $$
となるようにする。このとき $\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\subset \mathbb{R}^N$ は滑らかな境界 $\partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)$ を持つ開集合であり、その境界上の外向き単位法線ベクトル場（ 定義11 ） $\widetilde{\nu}\colon \partial\Omega\cup \partial B(x,\epsilon)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は、$\Omega$ の境界上の外向き単位法線ベクトル場 $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}^N$ に対し、
$$ \widetilde{\nu}(y)=\nu(y)\quad(\forall y\in \partial\Omega),\quad \widetilde{\nu}(y)=-\frac{y-x}{\epsilon}\quad(\forall y\in \partial B(x,\epsilon)) $$
である。 命題3 の $(1)$ より任意の $y\in \partial B(x,\epsilon)$ に対し、
$$ \begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial \widetilde{\nu}_y}(x-y)&=-\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \nabla_yG(x-y)=-\frac{1}{\lvert\partial B(0,1)\rvert}\frac{y-x}{\epsilon}\cdot \frac{y-x}{\epsilon^N}\\ &=-\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{\epsilon^{N-1}} =-\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert} \end{aligned} $$
であることと、$\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ は調和関数であることに注意して、Gaussの発散定理（ 定理1 の $(4)$ ）を用いると、
$$ \begin{aligned} \int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy&=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial\nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial \Omega}(y)\\ &-\int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(0,1)}(y)\\ &+\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad\quad(*) \end{aligned} $$
となる。ここで 命題3 の $(2)$ より $G\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ であるから、Lebesgue優収束定理より、
$$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{\Omega\backslash \overline{B(x,\epsilon)}}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy\quad\quad(**) $$
が成り立ち、 命題1 の $(1)$ より、
$$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert \partial B(x,\epsilon)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}u(y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)=u(x)\quad\quad(***) $$
が成り立つ。そして、
$$ \begin{aligned} &\left\lvert \int_{\partial B(x,\epsilon)}\left(\nabla u(y)\cdot \frac{y-x}{\epsilon}\right)G(x-y)d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\right\rvert\\ &\leq \underset{x\in \overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert \begin{cases}\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\frac{\epsilon^{2-N}}{N-2}d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)\quad&(N\geq 3)\\ \frac{1}{2\pi}\int_{\partial B(x,\epsilon)}\lvert \log(\epsilon)\rvert d\mu_{\partial B(x,\epsilon)}(y)&(N=2)\end{cases}\\ &=\underset{x\in\overline{\Omega}}{\rm max}\lvert \nabla u(x)\rvert\begin{cases}\frac{\epsilon}{N-2}\quad&(N\geq 3)\\\epsilon\lvert \log(\epsilon)\rvert&(N=2)\end{cases}\\ &\rightarrow0\quad(\epsilon\rightarrow+0)\quad\quad(****) \end{aligned} $$
である。よって $(*)$ の両辺について $\epsilon\rightarrow+0$ とすれば、$(**),(***),(****)$ より、
$$ \int_{\Omega}\Delta u(y)G(x-y)dy=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)+u(x) $$
となる。これで求める等式が得られた。

任意の $x\in \Omega$ に対し、$\partial\Omega\ni y\mapsto G(x-y)\in \mathbb{R}$ はUrysohnの補題（ 定理3 ）より $D(\mathbb{R}^N)\subset \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\mathbb{R}^N)$ の元に拡張できるので、 定理1 より、$(1)$ を満たす $h_x\in H^2(\Omega)$ が唯一つ存在し、$(2)$ が成り立つ。任意の $u\in C^2(\overline{\Omega})$ に対し、Gaussの発散定理（ 定理1 の $(4)$ ）より、
$$ \begin{aligned} \int_{\Omega}\Delta u(y)h_x(y)dy&=\int_{\Omega}(\Delta u(y)h_x(y)-u(y)\Delta h_x(y))dy =\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)h_x(y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\\ &=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(y)G(x-y)-u(y)\frac{\partial h_x}{\partial \nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y) \end{aligned} $$
であるから、$(3)$ が成り立つ。

Sobolevの埋め込み定理（ Sobolev空間の基本事項の定理38.4 ）より、$u\in H^m(\Omega)\subset C^2(\overline{\Omega})$ であるから、Greenの表現公式（ 定理4 ）より、任意の $x\in \Omega$ に対し、
$$ u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G(x-y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(f(y)\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x-y)-\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(*) $$
（$\Delta u=\rho$, $u|_{\partial\Omega}=f$ に注意）が成り立つ。また 命題5 より、
$$ 0=-\int_{\Omega}\rho(y)h_x(y)dy+\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial\nu}(y)G(x-y)-f(y)\frac{\partial h_x}{\partial\nu}(y)\right)d\mu_{\partial\Omega}(y)\quad\quad(**) $$
であるから、$(*),(**)$ を足せば、
$$ u(x)=\int_{\Omega}\rho(y)G_{\Omega}(x,y)dy+\int_{\partial\Omega}f(y)\frac{\partial G_{\Omega}}{\partial\nu_y}(x,y)d\mu_{\partial\Omega}(y) $$
を得る。

• $(1)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し ${\rm supp}(\varphi)\in B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert< R\}$ を満たす $R\in (0,\infty)$ を取れば、Greenの表現公式（ 定理4 ）より、
  $$ \begin{aligned} \delta_0(\varphi)&=\varphi(0)=\int_{B(0,R)}G(y)\Delta \varphi(y)dy+\int_{\partial B(0,R)} \left(\varphi(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(y)-\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}(y)G(y)\right)d\mu_{\partial B(0,R)}(y)\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}G(y)\Delta \varphi(y)dy=\Delta G(\varphi) \end{aligned} $$
  となる。よって $\Delta G=\delta_0$ が成り立つ。
• $(2)$　$(1)$ と 合成積とFourier変換の命題27.6 と 命題27.7 より、
  $$ \Delta(v*G)=v*\Delta G=v*\delta_0=\delta_0*v=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}v $$
  となる。

• $(1)$　$v\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ を、
  $$ v(x)\colon=\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
  として定義する( 命題3 より$\lvert \nabla G\rvert \in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$であることに注意)。まず $v$ が連続であることを示す。任意の $a\in \mathbb{R}^N$ を取り $a$ において $v$ が連続であることを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、$B(a,\epsilon)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert<\epsilon\}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &v_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy,\\ &v_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)\nabla G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N)\quad\quad(**) \end{aligned} $$
  とおく。$v(x)=v_1(x)+v_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。任意の $x\in B(a,\epsilon)$ に対し、変数変換と 命題3 の $(2)$ より、
  $$ \lvert v_1(x)\rvert\leq \| \rho\|_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(x-y)\rvert dy\leq \| \rho\|_{\infty}\int_{B(0,2\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=2\| \rho\|_{\infty}\epsilon\quad\quad(***) $$
  であり、
  $$ \lvert v_1(a)\rvert\leq \| \rho\|_{\infty}\int_{B(a,\epsilon)}\lvert \nabla G(a-y)\rvert dy=\| \rho\|_{\infty}\int_{B(0,\epsilon)}\lvert \nabla G(y)\rvert dy=\| \rho\|_{\infty}\epsilon $$
  であるから、
  $$ \lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert\leq \lvert v_1(x)\rvert+\lvert v_1(a)\rvert\leq 3\| \rho\|_{\infty}\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\epsilon)) $$
  となる。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto v_2(x)\in \mathbb{C}^N$ は連続であるので、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
  $$ \lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in B(a,\delta)) $$
  となる。よって任意の $x\in B(a,\delta)$ に対し、
  $$ \lvert v(x)-v(a)\rvert \leq \lvert v_1(x)-v_1(a)\rvert+\lvert v_2(x)-v_2(a)\rvert\leq (3\| \rho\|_{\infty}+1)\epsilon $$
  となり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので、$v\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}^N$ は連続である。
  次に $u$ が $a\in \mathbb{R}^N$ において微分可能であることと $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つことを示す。再び任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り、
  $$ \begin{aligned} &u_1(x)\colon=\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy,\\ &u_2(x)\colon=\int_{{\rm supp}(\rho)\backslash B(a,\epsilon)}\rho(y)G(x-y)dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) \end{aligned} $$
  とおく。$u(x)=u_1(x)+u_2(x)$ $(\forall x\in \mathbb{R}^N)$ である。$0<\lvert h\rvert<\epsilon$ なる任意の $h\in \mathbb{R}^N$ に対し、線分
  $$ L\colon=\{a+\theta h:\theta\in [0,1]\}\subset \mathbb{R}^N $$
  のLebesgue測度が $0$ であることに注意して微積分学の基本定理より、
  $$ \begin{aligned} u_1(a+h)-u_1(a)&=\int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)(G(a+h-y)-G(a-y))dy\\ &=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)\backslash L}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)d\theta\right)dy \end{aligned} $$
  となる。よって $(**)$ の $v_1$ に対しFubiniの定理より、
  $$ \begin{aligned} u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)&=h\cdot \int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)\left(\int_{0}^{1}\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y)d\theta\right)dy\\ &=h\cdot \int_{0}^{1}\left(\int_{B(a,\epsilon)}\rho(y)(\nabla G(a+\theta h-y)-\nabla G(a-y))dy\right)d\theta \end{aligned} $$
  となるので、$(***)$ と同様の評価により、
  $$ \frac{\lvert u_1(a+h)-u_1(a)-h\cdot v_1(a)\rvert}{\lvert h\rvert}\leq 3\| \rho\|_{\infty}\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\epsilon) $$
  を得る。またLebesgue優収束定理より $B(a,\epsilon)\ni x\mapsto u_2(x)\in \mathbb{C}$ は微分可能であり、$(**)$ の $v_2$ に対し、
  $$ \nabla u_2(x)=v_2(x)\quad(\forall x\in B(a,\epsilon)) $$
  であるから、十分小さい $\delta\in (0,\epsilon)$ を取れば、
  $$ \frac{\lvert u_2(a+h)-u_2(a)-h\cdot v_2(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta) $$
  となる。よって、
  $$ \frac{\lvert u(a+h)-u(a)-h\cdot v(a)\rvert}{\lvert h\rvert}<(3\| \rho\|_{\infty}+1)\epsilon\quad(\forall h\in \mathbb{R}^N:0<\lvert h\rvert<\delta) $$
  が成り立つ。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意なので $u$ は $a$ において微分可能であり $\nabla u(a)=v(a)$ が成り立つ。$a\in \mathbb{R}^N$ は任意なので $(*)$ が成り立ち、前段より $v=\nabla u$ は連続であるから $u\in C^1(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。
• $(2)$　ラプラシアンの基本解 $G$ の定義（ 定義3 ）より $N\geq 3$ の場合、
  $$ u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{1}{2-N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\rho(y)}{\lvert x-y\rvert^{N-2}}dy\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
  であるから、${\rm supp}(\rho)\subset \{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y\rvert\leq R\}$ なる $R\in (0,\infty)$ と $\lvert x\rvert>R$ なる任意の $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
  $$ \lvert u(x)\rvert\leq \frac{1}{\lvert \partial B(0,1)\rvert}\frac{\| \rho\|_{\infty}}{N-2}\int_{{\rm supp}(\rho)}\frac{1}{(\lvert x\rvert-R)^{N-2}}dy $$
  となる。よって $\lim_{\lvert x\rvert\rightarrow\infty}\lvert u(x)\rvert=0$ が成り立つ。
• $(3)$　$\rho\in \mathcal{E}_N'$（台がコンパクトな超関数）であり、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対しFubiniの定理より、
  $$ \begin{aligned} u(\varphi)&=\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(y)G(x-y)dy\right)\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\rho(x-y)G(y)\varphi(x)dy\right)dx\\ &=\int_{\mathbb{R}^N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)\rho_{-1}(y-x)dx\right)G(y)dy =(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1}) \end{aligned} $$
  であるから、$\rho*G$ の定義（ 合成積とFourier変換の定義27.2 ）より、
  $$ u(\varphi)=(2\pi)^{\frac{N}{2}}G(\varphi*\rho_{-1})=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)(\varphi) $$
  である。よって $u=(2\pi)^{\frac{N}{2}}(\rho*G)$ が成り立つので、 定理7 の $(2)$ より $\Delta u=\rho$ が成り立つ。$w\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ が有界連続関数で $\Delta w=\rho$ を満たすとする。$(1)$ より $u-w\colon\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、$\Delta (u-w)=\rho-\rho=0$ であるから、 定理2 の $(4)$ より $u-w$ は調和関数である。$N\geq 3$ の場合、$(2)$ より $u-w$ は $\mathbb{R}^N$ 上の有界調和関数であるから、Liouvilleの定理（ 命題5 ）より $u-w$ は定数関数である。