微分方程式の初歩2：Gaussの発散定理のSobolev空間版

2. Gaussの発散定理のSobolev空間版

基本的な微分作用素の記号

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を開集合とする。勾配、発散、ラプラシアン（ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量の12,13を参照）を $\Omega$ 上の超関数（超関数の定義と基本操作を参照）に対して作用するように拡張する。すなわち $\Omega$ 上の任意の超関数 $u\in D'(\Omega)$ に対し $u$ の勾配を、
$$ \nabla u\colon={\rm grad}(u)\colon=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (D'(\Omega))^N, $$
$u$ のラプラシアンを、
$$ \Delta u\colon=\partial_1^2u+\cdots+\partial_N^2u\in D'(\Omega) $$
と定義する。そして任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (D'(\Omega))^N$ に対し $u$ の発散を、
$$ {\rm div}(u)\colon=\partial_1u_1+\cdots+\partial_Nu_N\in D'(\Omega) $$
と定義する。
任意の $u\in D'(\Omega)$ に対し、
$$ {\rm div}\nabla u=\Delta u $$
であることに注意する。

外向き法線微分

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合とし、$\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（ベクトル解析5：多様体の向きの21,22を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（ Sobolev空間の基本事項の37を参照）とする。任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$ \gamma(u)\colon =(\gamma(u_1),\ldots,\gamma(u_N))\in (L^2(\partial\Omega))^N $$
と定義する。そして任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し、その勾配 $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ を考え、
$$ \frac{\partial u}{\partial \nu}\colon=\gamma(\nabla u)\cdot \nu=\gamma(\partial_1u)\nu_1+\cdots+\gamma(\partial_Nu)\nu_N\in L^2(\partial\Omega) $$
を定義する。$\frac{\partial u}{\partial\nu}$ を $u$ の外向き法線微分と言う。

Gaussの発散定理のSobolev空間版（内部領域）

$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を滑らかな境界を持つ有界開集合とし、$\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を外向き単位法線ベクトル場（ベクトル解析5：多様体の向きの21,22を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（ Sobolev空間の基本事項の37を参照）とする。このとき、

$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し、
$$ \int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。
$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。
$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。

$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（ Sobolev空間の基本事項の系35.2 ）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0\quad\quad(*) $$
（注：ただし $v=(v_1,\ldots,v_N)\in (H^1(\Omega))^N$ に対し $\| v\|_{2,1}=\sqrt{\sum_{j=1}^{N}\| v_j\|_{2,1}^2}$ である。）を満たすものが取れる。このとき、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| {\rm div}(u)-{\rm div}(u^{(n)})\|_2=0 $$
であるから、$\Omega$ が有界であることから、
$$ \int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx $$
が成り立つ。また $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ は有界線形作用素であり、$\partial\Omega$ のコンパクト性より面積測度 $\mu_{\partial\Omega}$ は有限測度であるから、$(*)$ より、
$$ \int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\gamma(u^{(n)})(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}\in D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$ に対してGaussの発散定理（定理3 ）を適用すれば、
$$ \int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx=\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot \nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
となるから、
$$ \begin{aligned} \int_{\Omega}{\rm div}(u)(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)})(x)dx =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}u^{(n)}(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\cdot\nu(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) \end{aligned} $$
を得る。
$(2)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolev空間の拡張作用素の存在定理（ Sobolev空間の基本事項の系35.2 ）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$　と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| v-v^{(n)}\|_{2,1}=0 $$
を満たすものが取れ、
$$ \int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx $$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\|_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(v)-v^{(n)}\|_2=0 $$
となるので、
$$ \int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。そして各 $n\in \mathbb{N}$ について $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（定理3 ）を適用すれば、
$$ \int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx =\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx =\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
となるから、
$$ \begin{aligned} &\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla v(x))dx =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) \end{aligned} $$
を得る。
$(3)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(2)$ を適用すれば、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
を得る。
$(4)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(3)$ より、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x), $$
$$ \int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
である。これらを辺々引くと、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
を得る。

Gaussの発散定理のSobolev空間版（外部領域）

$\Omega\subset \mathbb{R}^N$ を滑らかでコンパクトな境界を持つ開集合で、$\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ が有界であるものとする（したがって $\Omega$ は有界ではない）。そして $\nu\colon \partial\Omega\rightarrow \mathbb{R}^N$ を $\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場（ベクトル解析5：多様体の向きの21,22を参照）、$\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ をトレース作用素（ Sobolev空間の基本事項の37を参照）とする。このとき、

$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega} ({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot \nabla u(x))dx=\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot \nu(x))\gamma(v) (x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
（ただし $\mu_{\partial\Omega}$ は $\partial\Omega$ の面積測度）が成り立つ。
$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$, $v\in H^1(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。
$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial\nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。

$(1)$　任意の $u=(u_1,\ldots,u_N)\in (H^1(\Omega))^N$, $v\in H^1(\Omega)$ に対しSobolevの拡張作用素の存在定理（ Sobolev空間の基本事項の系35.2 ）より、$(D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の列 $(u^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ と $D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega}$の列$(v^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u^{(n)}\|_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| v-v^{(n)}\|_{2,1}=0 $$
を満たすものが取れ、Hölderの不等式より、
$$ \int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx $$
が成り立つ。またトレース作用素 $\gamma\colon H^1(\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega)$ が有界線形作用素であることから、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(u)\cdot \nu-u^{(n)}\cdot \nu\|_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| \gamma(v)-v^{(n)}\|_2=0 $$
となるので、Hölderの不等式より、
$$ \int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot\nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
が成り立つ。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ を取り固定する。$u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ の台と $\mathbb{R}^N\backslash \Omega$ は有界であるから、十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば、
$$ {\rm supp}(u^{(n)}v^{(n)}),\quad \mathbb{R}^N\backslash \Omega\subset B(0,R)=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x\rvert< R\} $$
となり、$\partial\Omega$ は滑らかでコンパクトな境界であることから $\Omega\cap B(0,R)$ も滑らかでコンパクトな境界を持ち、その境界は、
$$ \partial(\Omega\cap B(0,R))=\partial\Omega\cup \partial B(0,R) $$
である。そこで $u^{(n)}v^{(n)}\in (D(\mathbb{R}^N)|_{\Omega})^N$ に対してGaussの発散定理（定理3 ）を適用すれば、
$$ \begin{aligned} &\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\ &=\int_{\Omega}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx=\int_{\Omega\cap B(0,R)}{\rm div}(u^{(n)}v^{(n)})(x)dx\\ &=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) +\int_{\partial B(0,R)}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial B(0,R)}(x)\\ &=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) \end{aligned} $$
を得る。ゆえに、
$$ \int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx=\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
が成り立つ。よって、
$$ \begin{aligned} &\int_{\Omega}({\rm div}(u)(x)v(x)+u(x)\cdot\nabla v(x))dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}({\rm div}(u^{(n)})(x)v^{(n)}(x)+u^{(n)}(x)\cdot \nabla v^{(n)}(x))dx\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}(u^{(n)}(x)\cdot \nu(x))v^{(n)}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) =\int_{\partial\Omega}(\gamma(u)(x)\cdot\nu(x))\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) \end{aligned} $$
を得る。
$(2)$　任意の $u\in H^2(\Omega)$ に対し $\nabla u=(\partial_1u,\ldots,\partial_Nu)\in (H^1(\Omega))^N$ であるから、$\nabla u\in (H^1(\Omega))^N$ と任意の $v\in H^1(\Omega)$ に対し $(1)$ を適用すれば、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x) v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
を得る。
$(3)$　任意の $u,v\in H^2(\Omega)$ に対し $(2)$ より、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)d\mu_{\partial\Omega}(x), $$
$$ \int_{\Omega}(u(x)\Delta v(x)+\nabla u(x)\cdot \nabla v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
である。これらを辺々引くと、
$$ \int_{\Omega}(\Delta u(x)v(x)-u(x)\Delta v(x))dx=\int_{\partial\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\gamma(v)(x)-\gamma(u)(x)\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)\right)d\mu_{\partial\Omega}(x) $$
を得る。

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