微分方程式の初歩1：常微分方程式の初期値問題

任意の $(t_0,x_0)\in U$ を取り、$(t_0,x_0)$ を中心とし $U$ に含まれる閉方体（有界閉区間の直積）$K$ を取る。$K$ はコンパクトであり $(*)$ は連続であるから、
$$ L\colon=\underset{(t,x)\in K}{\rm max}\left\| \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\right\|\in [0,\infty) $$
が存在する。任意の $(t,x),(t,y)\in K$ に対し、微積分学の基本定理より、
$$ f(t,y)-f(t,x)=\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)d\theta $$
であり、$(t,x+\theta(y-x))\in K$ $(\forall \theta\in [0,1])$ であるから、
$$ \begin{aligned} \lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert&\leq \int_{0}^{1}\left\lvert \left(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right)(y-x)\right\rvert d\theta\\ &\leq \int_{0}^{1}\left\| \frac{\partial f}{\partial x}(t, x+\theta(y-x))\right\|\lvert y-x\rvert d\theta\\ &\leq L\lvert y-x\rvert \end{aligned} $$
が成り立つ。よって $f(t,x)\colon U\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は局所Lipschitz連続である。

連続関数 $v(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$ v(t)\colon=C+L\left\lvert \int_{\tau}^{t}u(s)ds\right\rvert\quad(\forall t\in I) $$
として定義すると、$u(t)\leq v(t)$ $(\forall t\in I)$ であり、
$$ \frac{d}{dt}v(t)=Lu(t)\leq Lv(t)\quad(\forall t>\tau), $$
$$ \frac{d}{dt}v(t)=-Lu(t)\geq -Lv(t)\quad(\forall t<\tau) $$
である。よって連続関数 $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$ w(t)\colon=v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I) $$
として定義すると、
$$ \frac{d}{dt}w(t)=(Lu(t)-Lv(t))e^{-L(t-\tau)}\leq0\quad(\forall t>\tau), $$
$$ \frac{d}{dt}w(t)=(-Lu(t)+Lv(t))e^{L(t-\tau)}\geq0\quad(\forall t<\tau) $$
であるから、平均値の定理より $w(t)\colon I\rightarrow [0,\infty)$ は $I\cap (-\infty,\tau]$ において単調増加であり、$I\cap [\tau,\infty)$ において単調減少である。ゆえに、
$$ v(t)e^{-L\lvert t-\tau\rvert}=w(t)\leq w(\tau)=v(\tau)=C\quad(\forall t\in I) $$
であるから、
$$ u(t)\leq v(t)\leq Ce^{L\lvert t-\tau\rvert}\quad(\forall t\in I) $$
が成り立つ。

$f(t,x)\colon J\times D\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R}^N$ は $x$ に関して局所Lipischitz連続であるから、十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、ある $L\in [0,\infty)$ に対し、
$$ [\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J,\quad \overline{B(\xi,\delta)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-\xi\rvert\leq\delta\}\subset D, $$
$$ \lvert f(t,y)-f(t,x)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x),(t,y)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(**) $$
が成り立つ。$[\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)}$ はコンパクト集合であり、$f$ は連続であるから、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \lvert f(t,x)\rvert\leq M\quad(\forall (t,x)\in [\tau-\delta,\tau+\delta]\times \overline{B(\xi,\delta)})\quad\quad(***) $$
が成り立つ。
$$ \rho\colon={\rm min}\left(\delta,\frac{\delta}{M}\right),\quad I\colon=[\tau-\rho,\tau+\rho]\subset [\tau-\delta,\tau+\delta]\subset J\quad\quad(****) $$
とおく。そして、
$$ x_0(t)\colon I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)},\quad x_0(t)\colon=\xi\quad(\forall t\in I) $$
と定義する。今、ある $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し連続関数 $x_n(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ が定義されたとする。このとき連続関数
$$ x_{n+1}(t)\colon I\ni t\mapsto \xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\in \mathbb{R}^N $$
を定義すれば、$(***),(****)$ より $x_{n+1}(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}$ $(\forall t\in I)$ である。よって帰納法より $I\rightarrow\overline{B(\xi,\delta)}$ の連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$ x_{n+1}(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*****) $$
を満たすものが定義される。$(**)$ より、
$$ \begin{aligned} &\lvert x_{n+1}(t)-x_n(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,x_n(s))-f(s,x_{n-1}(s))\rvert ds\right\rvert\\ &\leq L\left\lvert\int_{\tau}^{t}\lvert x_n(s)-x_{n-1}(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall n\in \mathbb{N},\forall t\in I) \end{aligned} $$
であり、
$$ \lvert x_1(t)-x_0(t)\rvert\leq M\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall t\in I) $$
であるから、帰納法より、
$$ \lvert x_n(t)-x_{n-1}(t)\rvert\leq \frac{M}{L}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\leq \frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I) $$
が成り立つことが分かる。よって $\sup$ ノルムに関して、
$$ \sum_{n\in\mathbb{N}}\| x_n-x_{n-1}\|\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{M}{L}\frac{(L\rho)^n}{n!}\leq\frac{M}{L}e^{L\rho}<\infty $$
となるから、連続関数の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たすので、ある連続関数 $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}$ に一様収束する。そして $(**)$ より、
$$ \lvert f(t,x(t))-f(t,x_n(t))\rvert \leq L\lvert x(t)-x_n(t)\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall t\in I) $$
であるから、
$$ \int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\tau}^{t}f(s,x_n(s))ds\quad(\forall t\in I) $$
が成り立つ。よって $(*****)$ で $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$ x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x(s))ds\quad(\forall t\in I) $$
を得る。$I\ni s\mapsto f(s,x(s))\in \mathbb{R}^N$ の連続性より $x(t)\colon I\rightarrow \overline{B(\xi,\delta)}\subset D$ は $C^1$ 級であり、
$$ \frac{d}{dt}x(t)=f(t,x(t))\quad(\forall t\in I),\quad x(\tau)=\xi $$
であるから、$x(t)\colon I\rightarrow D$ は常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解である。
今、$y_j\colon I_j\rightarrow D$ $(j=1,2)$ が常微分方程式の初期値問題 $(*)$ の局所解で $\tau$ が $I_1,I_2$ の内部に属するとする。このとき $y_1,y_2$ が $\tau$ を内部に含むある区間上で一致することを示す。$\tau$ を内部に含む十分小さい区間 $I_0\subset I_1\cap I_2$ を取れば、$y_1,y_2$ の連続性より、
$$ I_0\subset [\tau-\delta,\tau+\delta],\quad y_1(t),y_2(t)\in \overline{B(\xi,\delta)}\quad(\forall t\in I_0)\quad\quad(******) $$
となる。微積分学の基本定理より、
$$ y_j(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,y_j(s))ds\quad(\forall t\in I_0,j=1,2) $$
であるから、$(******), (**)$ より、
$$ \lvert y_1(t)-y_2(t)\rvert\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert f(s,y_1(s))-f(s,y_2(s))\rvert ds\right\rvert \leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_1(s)-y_2(s)\rvert ds\right\rvert\quad(\forall t\in I_0) $$
となる。よってGronwallの不等式（ 命題2 ）より $y_1(t)=y_2(t)$ $(\forall t\in I_0)$ が成り立つ。

補題3 より $(*)$ は局所解を持ち、また $(*)$ の任意の局所解は定義域が開区間の局所解に拡張できる。（注：$(*)$ の局所解で定義域が端点を持つものは、端点における値を初期値とした初期値問題の局所解を考え、それを繋ぎ合わせればよい。）そこで $(*)$ の局所解で定義域が開区間であるようなもの全体からなる集合を $\Lambda$ とおく。そして $x_1,x_2\in\Lambda$ に対し $x_2$ が $x_1$ の拡張になっているとき $x_1\leq x_2$ と表し、$\Lambda$ に順序 $\leq$ を導入する。このとき $\Lambda$ は帰納的順序集合となっている。（注：$\Lambda$ が $\leq$ により順序集合であることは自明である。$\Lambda$ が帰納的順序集合であることは次のようにして分かる。$\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}\subset \Lambda$ を $\Lambda$ の全順序部分集合とすると、全順序性より、$x(t)\colon (\inf_{j\in J}a_j,\sup_{j\in J}b_j)=\bigcup_{j\in J}(a_j,b_j)\rightarrow D$ を $x(t)=x_j(t)$ $(\forall j\in J,\forall t\in (a_j,b_j))$ となるように定義できる。このとき明らかに $x\in \Lambda$ であり、$x$ は $\{x_j\colon (a_j,b_j)\rightarrow D\}_{j\in J}$ の上界である。ゆえに $\Lambda$ は帰納的順序集合である。）よってZornの補題より $\Lambda$ は極大元 $x_m(t)\colon (\alpha,\beta)\rightarrow D$ を持つ。この $x_m$ が $\Lambda$ の最大元であることを示せばよい。そこで $\Lambda$ の任意の元 $x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を取り、$x\leq x_m$ が成り立つことを示す。
$$ s\colon=\sup\{t\in [\tau,{\rm min}(\beta,b)): \text{$x$ と $x_m$ は $[\tau,t]$ 上で一致する}\} $$
とおくと、 補題3 より $\tau< s$ であり、上限の定義より $x_m$ と $x$ は $[\tau,s)$ 上で一致する。もし $s<{\rm min}(\beta,b)$ ならば、$x_m,x$ の連続性より $x_m(s)=x(s)$ となるが、$x_m,x$ を $x_m(s)=x(s)$ を初期値とする初期値問題の局所解とみなすと、 補題3 より $x_m$ と $x$ は $s$ を含むある開区間上で一致することになるので $s$ の定義に矛盾する。よって $s={\rm min}(\beta,b)$ でなければならない。もし $\beta< b$ ならば、
$$ \widetilde{x_m}(t)\colon=\begin{cases}x_m(t)\quad&(t\in (\alpha,\beta))\\x(t)&(t\in [\beta,b))\end{cases} $$
とおけば、$x_m$ と $x$ が $[\tau,\beta)$ 上で一致することから $\widetilde{x_m}\in \Lambda$ であり、$x_m<\widetilde{x_m}$ である。しかしこれは $x_m$ の極大性に反する。よって $b\leq \beta$ であり、$x_m$ と $x$ は $[\tau,b)$ 上で一致する。全く同様の議論により $\alpha\leq a$ であることと $x_m$ と $x$ が $(a,\tau]$ 上で一致することが分かる。よって $x\leq x_m$ であるから、$x_m$ は $\Lambda$ の最大元である。

$(*)$ が連続関数であることは自明であり、$x$ に関して局所Lipschitz連続であることは 命題1 による。$J=(\alpha,\beta)$ とおき、$x(t)\colon (a,b)\rightarrow D$ を $(**)$ の一意解とする。このとき微積分学の基本定理より、
$$ x(t)=\xi+\int_{\tau}^{t}(A(s)x(s)+B(s))ds\quad(\forall t\in (a,b))\quad\quad(***) $$
である。$b=\beta$ を示すため、$b<\beta$ と仮定して矛盾を導く。このとき $[\tau,b]\subset J$ であり、$A(t),B(t)$ は有界閉区間 $[\tau,b]$ 上で連続であるから、
$$ M_1\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\| A(t)\|,\quad M_2\colon =\underset{t\in [\tau,b]}{\rm max}\lvert B(t)\rvert $$
が存在する。$(***)$ より、
$$ \lvert x(t)\rvert\leq \lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau)+M_1\int_{\tau}^{t}\lvert x(s)\rvert ds\quad(\forall t\in [\tau,b)) $$
であるから、Gronwallの不等式（ 命題2 ）より、
$$ \begin{aligned} \lvert x(t)\rvert\leq (\lvert \xi\rvert+M_2(b-\tau))\exp(M_1(b-\tau))\quad(\forall t\in [\tau,b)) \end{aligned} $$
が成り立つ。よって $x(t)\colon (a,b)\rightarrow\mathbb{R}^N$ は $[\tau,b)$ 上で有界である。ゆえに、
$$ \eta\colon=\xi+\int_{\tau}^{b}(A(s)x(s)+B(s))ds\in \mathbb{R}^N $$
が存在する。そこで $\widetilde{x}(b)=\eta$とおいて$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$を$(a,b]$上に拡張したもの$\widetilde{x}(t):(a,b]\rightarrow \mathbb{R}^N$を考えれば、$\widetilde{x}$ は()の局所解となっている。しかし 定理4 より$x(t):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^N$ は()の任意の局所解の拡張であるので矛盾する。よって $b=\beta$ が成り立つ。全く同様の議論により $a=\alpha$ が成り立つことも示せる。

任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ を取り固定する。そして、
$$ t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0,\lambda_0} $$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取り、
$$ x_0(t)\colon I=[a,b]\ni t\mapsto x(t,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in D $$
とおく。また任意の $\gamma\in (0,\infty)$ に対し $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M$ の近傍
$$ U_{\gamma}\colon=\{(\tau,\xi,\lambda)\in J\times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^M: \tau\in I,\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert\leq \gamma, \lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq \gamma\}\quad\quad(*) $$
を定義する。今、十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、$U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda$ となり、$f(t,x,\lambda)$ が $U_{\gamma}$ 上で $x$ に関してLipschitz連続（ 定義2 ）となることを示す。$f(t,x,\lambda)$ は $x$ に関して局所Lipschitz連続であることから、各 $\tau\in [a,b]$ に対し正実数 $\gamma_{\tau},L_{\tau}$ が存在し、
$$ [\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})}\subset J\times D\times \Lambda, $$
$$ \lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L_{\tau}\lvert x-y\rvert\quad(\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in [\tau-\gamma_{\tau},\tau+\gamma_{\tau}]\times \overline{B(x_0(\tau),\gamma_{\tau})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau})}) $$
が成り立つ。
$$ G\colon=\{(\tau,x_0(\tau)):\tau\in I\} $$
はコンパクトであるから、有限個の $\tau_1,\ldots,\tau_n\in I$ が取れて、
$$ G\subset \bigcup_{j=1}^{n}(\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j})\times B\left(x_0(\tau_j),\frac{\gamma_{\tau_j}}{2}\right) $$
となる。よって、
$$ \gamma\colon={\rm min}\left(\frac{\gamma_{\tau_1}}{2},\ldots,\frac{\gamma_{\tau_n}}{2}\right),\quad L\colon={\rm max}(L_{\tau_1},\ldots,L_{\tau_n}) $$
とおけば、
$$ U_{\gamma}\subset \bigcup_{j=1}^{n}[\tau_j-\gamma_{\tau_j},\tau_j+\gamma_{\tau_j}]\times \overline{B(x_0(\tau_j),\gamma_{\tau_j})}\times \overline{B(\lambda_0,\gamma_{\tau_j})}\subset J\times D\times \Lambda,\quad\quad(**) $$
$$ \lvert f(t,x,\lambda)-f(t,y,\lambda)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert\quad (\forall (t,x,\lambda),(t,y,\lambda)\in U_{\gamma})\quad\quad(***) $$
が成り立つ。この正実数 $\gamma$ と $L$ を固定する。正実数 $\delta$ に対し、
$$ M_{\delta}\colon=\delta+\frac{1}{L}\sup_{t\in I,\lvert \lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(t,x_0(t),\lambda)-f(t,x_0(t),\lambda_0)\rvert\quad\quad(****) $$
とおけば、コンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（ 距離空間の位相の基本的性質の定理7.3 ）より $\lim_{\delta\rightarrow0}M_{\delta}=0$ であるから、十分小さい正実数 $\delta$ を取れば、
$$ M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad\quad(*****) $$
となる。この $\delta$ を固定する。このとき $\delta<\gamma$ であるから、$(*),(**)$ より、
$$ U_{\delta}\subset U_{\gamma}\subset J\times D\times \Lambda $$
であり、$U_{\delta}$ は $(\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in J\times D\times \Lambda$ の近傍である。今、
$$ \begin{aligned} &y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)},\\ &y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau) \end{aligned} $$
とおき、
$$ \begin{aligned} &y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow\mathbb{R}^N,\\ &y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds \end{aligned} $$
とおく。Lebesgue優収束定理より $y_1$ は連続関数であり $(***),(****)$ より、
$$ \begin{aligned} &\lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)-y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\ &\leq \left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_0(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda)ds\right\rvert +\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\right\rvert\\ &\leq L\lvert t-\tau\rvert\left(\lvert \xi-x_0(\tau)\rvert+\frac{1}{L}\sup_{s\in I,\lvert\lambda-\lambda_0\rvert\leq\delta}\lvert f(s,x_0(s),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)\right)\\ &\leq M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) \end{aligned} $$
である。よって $(****), (*****)$ より、
$$ \begin{aligned} \lvert y_1(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+M_{\delta}L\lvert t-\tau\rvert \leq M_{\delta}(1+L\lvert t-\tau\rvert)\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\ &\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) \end{aligned} $$
であるから、$y_1$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。そこで今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $y_0,y_1,\ldots,y_n\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ が定義されており、
$$ y_k(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{k-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}), $$
$$ \lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}\quad(k=1,\ldots,n,\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) $$
が成り立つとする。このとき $y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \mathbb{R}^N$ を、
$$ y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\colon=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds $$
とおけばLebesgue優収束定理より $y_{n+1}$ は連続関数である。そして $(***)$ より、
$$ \begin{aligned} \lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&=\left\lvert \int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_n(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\right\rvert\\ &\leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}\lvert y_n(s,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda)\rvert ds\right\rvert \leq L\left\lvert \int_{\tau}^{t}M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}ds\right\rvert\\ &=M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^{n+1}}{(n+1)!}\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) \end{aligned} $$
であり、$(*****)$ より、
$$ \begin{aligned} \lvert y_{n+1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n+1}\lvert y_k(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{k-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert+\lvert y_0(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\\ &\leq M_{\delta}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^k}{k!}+\delta\leq M_{\delta}e^{L\lvert t-\tau\rvert}\\ &\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) \end{aligned} $$
であるから、$y_{n+1}$ の値域は $\overline{B(0,\gamma)}$ に含まれる。よって帰納法より $I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ の連続関数の列 $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ で、
$$ \begin{aligned} &y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds,\\ &\lvert y_n(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L\lvert t-\tau\rvert)^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) \end{aligned} $$
を満たすものが定義できる。
$$ \| y_n-y_{n-1}\|=\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y_{n}(t,\tau,\xi,\lambda)-y_{n-1}(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\leq M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
より、
$$ \sum_{n\in\mathbb{N}}\| y_n-y_{n-1}\|\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}M_{\delta}\frac{(L(b-a))^n}{n!}\leq M_{\delta}e^{L(b-a)}<\infty $$
であるから $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。ゆえに $(y_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ はある連続関数 $y(t,\tau,\xi,\lambda)\colon I\times U_{\delta}\rightarrow \overline{B(0,\gamma)}$ に一様収束する。$(***)$ より、
$$ \begin{aligned} \sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}&\lvert f(t,x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(t,x_0(t)+y_n(t,\tau,\xi,\lambda),\lambda)\rvert\\ &\leq L\sup_{(t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}}\lvert y(t,\tau,\xi,\lambda)-y_n(t,\tau,\xi,\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$
であるから、
$$ y_n(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y_{n-1}(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) $$
の両辺について $n\rightarrow\infty$ とすれば、
$$ y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi-x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)-f(s,x_0(s),\lambda_0)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta})\quad\quad(******) $$
を得る。ここで微積分学の基本定理より、
$$ x_0(t)=x_0(\tau)+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s),\lambda_0)ds $$
であるから $(******)$ は、
$$ x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)=\xi+\int_{\tau}^{t}f(s,x_0(s)+y(s,\tau,\xi,\lambda),\lambda)ds\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) $$
となる。よって $(\tau,\xi,\lambda)\in U_{\delta}$ に対し、
$$ I\ni t\mapsto x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D $$
は常微分方程式の初期値問題
$$ \frac{dx}{dt}=f(t,x,\lambda),\quad x(\tau)=\xi $$
の局所解である。ゆえに $I\times U_{\delta}\subset \Omega$ であり、
$$ x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\quad(\forall (t,\tau,\xi,\lambda)\in I\times U_{\delta}) $$
である。$I\times U_{\delta}\subset \Omega$ は $(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)$ の $J\times J\times D\times \Lambda$ における近傍であり、
$$ I\times U_{\delta}\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)=x_0(t)+y(t,\tau,\xi,\lambda)\in D $$
は連続であるから、$(t_0,\tau_0,\xi_0,\lambda_0)\in \Omega$ の任意性より、$\Omega$ は開集合であり、$\Omega\ni (t,\tau,\xi,\lambda)\mapsto x(t,\tau,\xi,\lambda)\in D$ は連続関数である。

定理6 より $\Omega$ は開集合であり、$(*)$ は連続である。任意の $(t_0,\tau_0,\xi_0)\in \Omega$ を取り固定し、
$$ t_0,\tau_0\in (a,b)\subset [a,b]\subset I_{\tau_0,\xi_0} $$
を満たす有界閉区間 $I\colon=[a,b]$ を取る。
$$ \{(t,x(t,\tau_0,\xi_0)):t\in I\} $$
は開集合 $J\times D$ に含まれるコンパクト集合であるから、 超関数の定義と基本操作の命題2.2 の $(4)$ より十分小さい $\gamma\in (0,\infty)$ を取れば、
$$ U_{\gamma}\colon=\{(t,\xi)\in J\times \mathbb{R}^N:t\in I,\lvert \xi-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\}\subset J\times D $$
となる。また、
$$ I\times \{\tau_0\}\times \{\xi_0\} $$
は開集合 $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であるから、 超関数の定義と基本操作の命題2.2 の $(4)$ より十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$ I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)\subset \Omega $$
となる。そして $(*)$ の連続性とコンパクト距離空間上の連続関数の一様連続性（ 距離空間の位相の基本的性質の定理7.3 ）より $\delta\in (0,\infty)$ を十分小さく取っておけば、
$$ \lvert x(t,\tau,\xi)-x(t,\tau_0,\xi_0)\rvert\leq \gamma\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)) $$
となる。よってこのような $\delta$ に対し、
$$ (t,x(t,\tau,\xi))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in I\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,2\delta)) $$
が成り立つ。今、$(e_1,\ldots,e_N)$ を $\mathbb{R}^N$ の標準基底とし、各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
$$ \varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)) $$
として、
$$ \varphi_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}^N $$
を定義する。このとき、
$$ \varphi_j(\tau,\tau,\xi,h)=e_j\quad(\forall (\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}) $$
である。そして任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$ (t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))\in U_{\gamma}\subset J\times D\quad(\forall \theta\in [0,1]) $$
であることに注意して、微積分学の基本定理より、
$$ \begin{aligned} &\frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=\frac{1}{h}(f(t,x(t,\tau,\xi+he_j))-f(t,x(t,\tau,\xi)))\\ &=\left(\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta\right)\varphi_j(t,\tau,\xi,h) \end{aligned} $$
となる。よって、
$$ A(t,\tau,\xi,h)=\int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi)+\theta(x(t,\tau,\xi+he_j)-x(t,\tau,\xi)))d\theta $$
として連続関数
$$ A(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}) $$
を定義すると、任意の $(t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}$ に対し、
$$ \frac{\partial\varphi_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,h)=A(t,\tau,\xi,h)\varphi_j(t,\tau,\xi,h) $$
が成り立つ。そこで $(\tau,\xi,h)\in (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)$ をパラメータとする線形常微分方程式の初期値問題
$$ \frac{dy_j}{dt}=A(t,\tau,\xi,h)y_j,\quad y_j(\tau)=e_j $$
の一意解を $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ とおくと、 命題5 より $y_j(\cdot,\tau,\xi,h)$ は $(a,b)$ 上で定義され、解の一意性より、
$$ y_j(t,\tau,\xi,h)=\varphi_j(t,\tau,\xi,h)\quad(\forall (t,\tau,\xi,h)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\backslash \{0\}) $$
である。そして 定理6 より、
$$ y_j(t,\tau,\xi,h)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\times (-\delta,\delta)\rightarrow \mathbb{R}^N $$
は連続関数であるから、
$$ y_j(t,\tau,\xi,0)=\lim_{h\rightarrow0}\varphi_j(t,\tau,\xi,h)=\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\quad(\forall (t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)) $$
である。よって $(t_0,\tau_0,\xi_0)$ の開近傍 $(a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\subset \Omega$ 上で、
$$ \frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)\colon (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)\rightarrow\mathbb{R}^N $$
が定義でき、これは連続である。そして任意の $(t,\tau,\xi)\in (a,b)\times (\tau_0-\delta,\tau_0+\delta)\times B(\xi_0,\delta)$ に対し、
$$ \frac{\partial y_j}{\partial t}(t,\tau,\xi,0)=A(t,\tau,\xi,0)y_j(t,\tau,\xi,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))y_j(t,\tau,\xi,0) $$
であるから、
$$ \frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x(t,\tau,\xi))\frac{\partial x}{\partial \xi_j}(t,\tau,\xi) $$
が成り立つ。よって $(**),(***)$ は連続関数であり、$(****)$ が成り立つ。

$k\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$k=1$ の場合は 定理7 より成り立つ。$k-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定して $k$ の場合も成り立つことを示す。
$$ F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)\colon J\times D\times (\mathbb{R}^N)^N\rightarrow \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N, $$
を、
$$ F(t,z)=F(t,x,y_1,\ldots,y_N)=\left(f(t,x), \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)y_1,\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_N}(t,x)y_N\right) $$
と定義すると、$F$ は $z=(x,y_1,\ldots,y_N)$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て連続である。そして 定理7 より任意の $(\tau,\xi)\in J\times D$ に対し、常微分方程式の初期値問題
$$ \frac{dz}{dt}=F(t,z),\quad z(\tau)=(\xi,e_1,\ldots,e_N) $$
の一意解は、
$$ I_{\tau,\xi}\ni t\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N $$
である。よって帰納法の仮定より、
$$ \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto \left(x(t,\tau,\xi),\frac{\partial x}{\partial \xi_1}(t,\tau,\xi),\ldots,\frac{\partial x}{\partial \xi_N}(t,\tau,\xi)\right)\in \mathbb{R}^N\times (\mathbb{R}^N)^N $$
は $\xi$ に関して $k-1$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。ゆえに、
$$ \Omega\ni (t,\tau,\xi)\mapsto x(t,\tau,\xi)\in D $$
は $\xi$ に関して $k$ 階までの偏導関数を持ち、それらは全て $\Omega$ 上で連続である。

$(*)$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。任意の $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$ J\ni t\mapsto \sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(t,\tau)\in \mathbb{R}^N $$
は常微分方程式の初期値問題
$$ \frac{dx}{dt}=A(t)x,\quad x(\tau)=\xi $$
の一意解である。よって $(*)$ の任意の元は $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ の線形結合で表せる。また $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)\in \mathbb{R}^N$ が、
$$ \sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\cdot,\tau)=0 $$
を満たすならば、特に $\xi=\sum_{j=1}^{N}\xi_j\varphi_j(\tau,\tau)=0$ であるから $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は線形独立である。よって $\varphi_1(\cdot,\tau),\ldots,\varphi_N(\cdot,\tau)$ は $(*)$ の基底である。
$(*)$の任意の有限個の元 $x_1,\ldots,x_M$ と任意の $\tau\in \mathbb{R}$ を取る。$\xi_1,\ldots,\xi_M\in \mathbb{R}$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の一意性より、
$$ \sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(\tau)=0\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{j=1}^{M}\xi_jx_j(t)=0\quad(\forall t\in J) $$
であるから、$x_1,\ldots,x_M$ が線形独立であることは $x_1(\tau),\ldots,x_M(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。

$V$ が各点ごとの演算で $\mathbb{R}$ 上の線形空間であることは自明である。
$$ A(t)\colon=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots& -a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J) $$
とおけば $A(t)\colon J\rightarrow \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})$ は連続関数である。そこで $\mathbb{R}$ 上の $N$ 次元線形空間（ 定理9 ）
$$ W\colon=\left\{y(t)\in C^1(J,\mathbb{R}^N):\frac{dy}{dt}(t)=A(t)y(t)\quad(\forall t\in J)\right\} $$
を考える。任意の $y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\in W$ に対し、$x(t)\colon=y_0(t)\colon J\rightarrow\mathbb{R}$ とおけば、
$$ x^{(1)}(t)=\frac{dy_0}{dt}(t)=y_1(t),\ldots,x^{(N-1)}(t)=\frac{dy_{N-2}}{dt}(t)=y_{N-1}(t)\quad(\forall t\in J) $$
であり、
$$ x^{(N)}(t)=\frac{dy_{N-1}}{dt}(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)y_k(t)=-\sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t) \quad(\forall t\in J) $$
であるから $x(t)\in V$ である。逆に任意の $x(t)\in V$ に対し、
$$ y(t)=(y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))=(x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\quad(\forall t\in J) $$
とおけば $y(t)\in W$ である。よって線形写像
$$ W\ni (y_0(t),y_1(t),\ldots,y_{N-1}(t))\mapsto y_0(t)\in V $$
と線形写像
$$ V\ni x(t)\mapsto (x^{(0)}(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(N-1)}(t))\in W $$
が定義でき、これらは互いに逆写像である。ゆえに $V$ と $W$ は線形同型なので $V$ は $N$ 次元である。任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し、常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性より、 $y(t)\in W$ で $y(\tau)=\xi$ を満たすものが唯一つ存在するので、上で述べたことから、任意の $\tau\in J$ と任意の $\xi=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1})\in \mathbb{R}^N$ に対し $x(t)\in V$ で、
$$ (x^{(0)}(\tau),x^{(1)}(\tau),\ldots,x^{(N-1)}(\tau))=(\xi_0,\xi_1,\ldots,\xi_{N-1}) $$
を満たすものが唯一つ存在する。また任意の有限個の $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ と $\tau\in J$ に対し $y_1(t),\ldots,y_M(t)\in W$ が線形独立であることは、$y_1(\tau),\ldots,y_N(\tau)\in \mathbb{R}^N$ が線形独立であることと同値である。よって任意の有限個の $x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$　と $\tau\in J$ に対し、$x_1(t),\ldots,x_M(t)\in V$ が線形独立であることは、$(*)$ が線形独立であることと同値である。

初期値に関する解の連続性（ 定理6 ）より、
$$ J\times J\ni (t,\tau)\mapsto \Phi(t,\tau)=(\varphi_1(t,\tau),\ldots,\varphi_N(t,\tau))\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}) $$
は連続である。また、
$$ \frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau)\quad(\forall (t,\tau)\in J\times J), $$
$$ \Phi(\tau,\tau)=(e_1,\ldots,e_N)=1\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R}) $$
である。よって任意の $\tau\in J$ を取り固定し、
$$ x_0(t)\colon=\int_{\tau}^{t}\Phi(t,s)b(s)ds\quad(\forall t\in J) $$
とおくと、Lebesgue優収束定理より任意の $t\in J$ に対し、
$$ \begin{aligned} \frac{x_0(t+h)-x_0(t)}{h}&=\int_{\tau}^{t+h}\frac{\Phi(t+h,s)b(s)-\Phi(t,s)b(s)}{h}ds+\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}\Phi(t,s)b(s)ds\\ &\rightarrow\int_{\tau}^{t}A(t)\Phi(t,s)b(s)ds+\Phi(t,t)b(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(h\rightarrow0) \end{aligned} $$
となるので、
$$ \frac{d}{dt}x_0(t)=A(t)x_0(t)+b(t)\quad(\forall t\in J) $$
が成り立つ。そこで任意の $\xi\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$ x(t)\colon=\Phi(t,\tau)\xi+x_0(t)\quad(\forall t\in J)\quad\quad(**) $$
とおけば、
$$ x(\tau)=\Phi(\tau,\tau)\xi+x_0(\tau)=\xi $$
であり、
$$ \frac{d}{dt}x(t)=A(t)\Phi(t,\tau)\xi+A(t)x_0(t)+b(t)=A(t)x(t)+b(t)\quad(\forall t\in J) $$
である。ゆえに $(**)$ は $(*)$ の一意解である。

$$ A(t)= \begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\cdots &-a_{N-1}(t)\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\quad(\forall t\in J) $$
とおけば、
$$ \begin{aligned} &\frac{d}{dt}\left(W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}\right) =W'(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)\begin{pmatrix}\xi_1'(t)\\\xi_2'(t)\\\vdots\\\xi_N'(t)\end{pmatrix}\\ &=A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+W(t)W(t)^{-1}\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix} =A(t)W(t)\begin{pmatrix}\xi_1(t)\\\xi_2(t)\\\vdots\\\xi_N(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(t)\end{pmatrix} \end{aligned} $$
となる。 これは、
$$ y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\xi_k(t)x_k(t) $$
が $(*)$ を満たすことを意味する。$y(t)\in C^N(J,\mathbb{R})$ を $(*)$ の任意の解とすると, $y(t)-y_0(t)$は斉次線型常微分方程式
$$ \sum_{k=0}^{N-1}a_k(t)x^{(k)}(t)+x^{(N)}(t)=0 $$
の解であるので、ある$\zeta_1,\ldots,\zeta_N\in \mathbb{R}$ が存在して、
$$ y(t)-y_0(t)=\sum_{k=1}^{N}\zeta_kx_k(t) $$
と表せる。