微分方程式の初歩3：境界条件付き一様楕円型作用素と楕円型正則性

任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理とHölderの不等式より、
$$ \lvert u(x)\rvert^2=\left\lvert\int_{-C}^{x_N}\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)dt\right\rvert^2\leq 2C\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
が成り立つので、任意の $(x_1,\ldots,x_{N-1})\in \mathbb{R}^{N-1}$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N=\int_{-C}^{C}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\\ &\leq 2C\int_{-C}^{C}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\right)dx_N =(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert \partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},t)\rvert^2dt\\ &=(2C)^2\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N \end{aligned} $$
となる。よってTonelliの定理より、
$$ \begin{aligned} \| u\|_2^2&=\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert u(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\ &\leq(2C)^2\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\left(\int_{\mathbb{R}}\lvert\partial_Nu(x_1,\ldots,x_{N-1},x_N)\rvert^2dx_N\right)dx_1\cdots dx_{N-1}\\ &=(2C)^2\| \partial_Nu\|_2^2 \end{aligned} $$
が成り立つ。ゆえに、
$$ \| u\|_2\leq 2C\| \partial_Nu\|_2\quad(\forall u\in D(\Omega)) $$
が成り立つ。$H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\| \cdot\|_{2,1}}$ であるから、任意の $u\in H^1_0(\Omega)$ に対し $D(\Omega)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u_n\|_{2,1}=0$ を満たすものが取れるので、
$$ \| u\|_{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\| u_n\|_2\leq 2C\lim_{n\rightarrow\infty}\| \partial_Nu_n\|_2=2C\| \partial_Nu\|_2 $$
が成り立つ。

• $(1)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取り固定する。
  $$ p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V}) $$
  とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
  $$ \begin{aligned} p_{\mathcal{A}-\lambda}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda)\lvert v(x)\rvert^2dx\\ &\geq C\sum_{j=1}^{N}\| \partial_jv\|_2^2+(\lambda_0-\lambda)\| v\|_2^2\geq C'\| v\|_{2,1}^2 \quad(\forall v\in \mathcal{V})\quad\quad(*) \end{aligned} $$
  が成り立つ（ただし $C'\colon={\rm min}(C,\lambda_0-\lambda)>0$とおいた）。また $a_{i,j},b$ の有界性より、
  $$ p_{\mathcal{A}-\lambda}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\ni (u,v)\mapsto p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)\in \mathbb{C} $$
  はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の有界準双線形汎関数であるから、 定理1 より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ で、
  $$ p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)=(u\mid Tv)_{2,1}\quad(\forall u,v\in \mathcal{V}) $$
  を満たすものが定まる。$(*)$ と 命題1 と 命題2 より $T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ が存在し、$T,T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $\mathcal{V}$ 上の有界非負自己共役作用素である。今、任意の $f\in L^2(\Omega)$ に対し、
  $$ \mathcal{V}\ni u\mapsto (f\mid u)_2\in \mathbb{C} $$
  はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ 上の有界線形汎関数であるから、Rieszの表現定理より $Rf\in \mathcal{V}$ で、
  $$ (Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V}) $$
  を満たすものが定まる。こうして線形作用素 $R\colon L^2(\Omega)\ni f\mapsto Rf\in \mathcal{V}$ で、
  $$ (Rf\mid u)_{2,1}=(f\mid u)_{2}\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V}) $$
  なるものが定義でき、
  $$ \| Rf\|_{2,1}^2=(Rf\mid Rf)_{2,1}=(f\mid Rf)_2\leq\| f\|_2\| Rf\|_2\leq \| f\|_2\| Rf\|_{2,1}\quad(\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  より $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ である。
  $$ (u\mid f)_2=(u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid TT^{-1}Rf)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V})\quad\quad(**) $$
  であり、$D(\Omega)\subset H^1_0(\Omega)\subset \mathcal{V}$ であるから、$D'(\Omega)$ において、
  $$ f=(\mathcal{A}-\lambda)T^{-1}Rf\quad(\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  が成り立つ。よって、
  $$ \mathcal{A}T^{-1}Rf=f+\lambda T^{-1}Rf\in L^2(\Omega)\quad(\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  である。また $(**)$ より、
  $$ \begin{aligned} (u\mid \mathcal{A}T^{-1}Rf)_2&=(u\mid f)_2+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2 =p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}Rf)+\lambda(u\mid T^{-1}Rf)_2\\ &=p_{\cal A}(u,T^{-1}Rf)\quad(\forall f\in L^2(\Omega),\forall u\in \mathcal{V}) \end{aligned} $$
  である。これより、
  $$ T^{-1}Rf\in D(A),\quad (A-\lambda)T^{-1}Rf=f\quad(\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  が成り立つ。また任意の $v\in D(A)$ に対し、
  $$ \begin{aligned} p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,v)&=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda(u\mid v)_2=(u\mid Av)_2-\lambda(u\mid v)_2 =(u\mid (A-\lambda)v)_2 =(u\mid R(A-\lambda)v)_{2,1}\\ &=(u\mid TT^{-1}R(A-\lambda)v)_{2,1}=p_{\mathcal{A}-\lambda}(u,T^{-1}R(A-\lambda)v)\quad(\forall u\in \mathcal{V}) \end{aligned} $$
  であるから、$(*)$ より、
  $$ v=T^{-1}R(A-\lambda)v\quad(\forall v\in D(A)) $$
  が成り立つ。よって $A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は全単射であり、
  $$ (A-\lambda)^{-1}=T^{-1}R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})\subset \mathbb{B}(L^2(\Omega)) $$
  が成り立つ。$T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid \cdot)_{2,1})$ 上の非負自己共役作用素であるから、
  $$ (f\mid (A-\lambda)^{-1}f)_2=(f\mid T^{-1}Rf)_2=(Rf\mid T^{-1}Rf)_{2,1}\geq0\quad(\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  である。よって $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素であるので、$A-\lambda\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ も $L^2(\Omega)$ 上の非負自己共役作用素である。以上より $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ はHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)$ を満たし、任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ に対し $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ が成り立つ。
• $(2)$　
  $$ p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(u,v)\colon=p_{\mathcal{A}}(u,v)-\lambda_0(u\mid v)_2\quad(\forall u,v\in H^1_0(\Omega)) $$
  とおくと、一様楕円性条件よりある正実数 $C$ が存在し、
  $$ \begin{aligned} p_{\mathcal{A}-\lambda_0}(v,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx+\int_{\Omega}(b(x)-\lambda_0)\lvert v(x)\rvert^2dx\\ &\geq \sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iv(x)}\partial_jv(x)dx\geq C\sum_{j=1}^{N}\| \partial_jv\|_2^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega)) \end{aligned} $$
  が成り立つ。ここでPoincaréの不等式（ 補題1 ）よりある正実数 $C'$ が存在し、
  $$ C\sum_{j=1}^{N}\| \partial_jv\|_2^2\geq C'\left(\sum_{j=1}^{N}\| \partial_jv\|_2^2+\| v\|_2^2\right)=C'\| v\|_{2,1}^2\quad(\forall v\in H^1_0(\Omega)) $$
  が成り立つ。後は $(1)$ の証明と全く同様にして $A-\lambda_0\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ が全単射であり、$(A-\lambda_0)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),H^1_0(\Omega))$ が成り立つことを示せる。
• $(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\lambda_0)$ を取る。$(1)$ より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ であるから、
  $$ (L^2(\Omega))_1\colon=\{v\in L^2(\Omega):\| v\|_2\leq 1\} $$
  の任意の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{V}$ の有界列である。よってRellich-Kondrachovの定理（ Sobolev空間の基本事項の定理39.4 と 命題39.5 ）より $((A-\lambda)^{-1}v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで収束する部分列を持つ。 ゆえに $(A-\lambda)^{-1}((L^2(\Omega))_1)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムで（点列）コンパクトであるから、 定理7 より $(A-\lambda)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\Omega))$ は $L^2(\Omega)$ 上のコンパクト作用素である。ゆえに 命題3 より、$L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素 $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ のスペクトルは純粋に離散的である。
• $(4)$　$(1)$ より $\sigma(A)\subset [\lambda_0,\infty)\subset [0,\infty)$ であるから $A\colon D(A)\rightarrow L^2(\Omega)$ は非負自己共役作用素である。$(1)$ における $T\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ と $R\in \mathbb{B}(L^2(\Omega),\mathcal{V})$ を考えると、
  $$ D(A)={\rm Ran}((A-\lambda)^{-1})=T^{-1}R(L^2(\Omega)) $$
  である。
  $$ (u\mid Rf)_{2,1}=(u\mid f)_2\quad(\forall u\in \mathcal{V},\forall f\in L^2(\Omega)) $$
  であるから、$R(L^2(\Omega))\subset \mathcal{V}$ のHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ における直交補空間は $\{0\}$ である。よって $R(L^2(\Omega))$ は $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密であるから、$T^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{V})$ より $D(A)=T^{-1}R(L^2(\Omega))$ も $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において稠密である。ゆえに任意の $u,v\in \mathcal{V}$ に対し $D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u_n\|_{2,1}=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| v-v_n\|_{2,1}=0 $$
  を満たすものが取れる。$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ は有界準双線形汎関数であるから、
  $$ \| \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\|_2^2=(u_n-u_m\mid A(u_n-u_m))_2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
  となり、$\sqrt{A}$ がHilbert空間 $L^2(\Omega)$ 上の閉線形作用素であることから、
  $$ u\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u\|_2=0 $$
  が成り立つ。同様に、
  $$ v\in D(\sqrt{A}),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| \sqrt{A}v_n-\sqrt{A}v\|_2=0 $$
  も成り立つので、$p_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{V}\times \mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$ の有界準双線形性より、
  $$ p_{\mathcal{A}}(u,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}p_{\mathcal{A}}(u_n,v_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u_n\mid Av_n)_2 =\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{A}u_n\mid \sqrt{A}v_n)_2=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2 $$
  が成り立つ。以上で、
  $$ \mathcal{V}\subset D(\sqrt{A}),\quad p_{\mathcal{A}}(u,v)=(\sqrt{A}u\mid \sqrt{A}v)_2\quad(\forall u,v\in \mathcal{V}) $$
  が示された。後は $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ を示せばよい。任意の $u\in D(\sqrt{A})$ を取る。 定理2 より $D(A)$ は $\sqrt{A}$ の芯であるから、$D(A)$ の列 $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u-u_n\|_2=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| \sqrt{A}u-\sqrt{A}u_n\|_2=0 $$
  を満たすものが取れる。ここで一様楕円性条件よりある正実数 $C$ に対し、
  $$ \| \sqrt{A}u_n-\sqrt{A}u_m\|_2^2=p_{\mathcal{A}}(u_n-u_m,u_n-u_m)\geq C\| \nabla(u_n-u_m)\|_{2}^2\quad(\forall n,m\in \mathbb{N}) $$
  となるので、
  $$ \| u_n-u_m\|_{2,1}^2=\| u_n-u_m\|_2^2+\| \nabla(u_n-u_m)\|_2^2\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
  が成り立つ。よって $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $(\mathcal{V},(\cdot\mid\cdot)_{2,1})$ において収束するので $u\in \mathcal{V}$ である。ゆえに $D(\sqrt{A})\subset \mathcal{V}$ が成り立つ。

任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$ を取り固定する。任意の $n\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
$$ \partial_{j,h}^n(uv)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\quad\quad(*) $$
が成り立つことを帰納法により示す。$n=0,1$ の場合に成り立つことは明らかである。$(*)$ がある $n\in \mathbb{N}$ について成り立つと仮定する。
$$ \begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} =\frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix} $$
であるから、
$$ \begin{aligned} \partial_{j,h}^{n+1}(uv)&=\partial_{j,h}\partial_{j,h}^n(uv)=\partial_{j,h}\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^{k}\partial_{j,h}^{n-k}v)\\ &=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k+1}u)(\tau_{j,h}^{k+1}\partial_{j,h}^{n-k}v)+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^ku)(\tau_{j,h}\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\ &=(\partial_{j,h}^{n+1}u)(\tau_{j,h}^{n+1}v)+u(\partial_{j,h}^{n+1}v)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\right) (\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v)\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}(\partial_{j,h}^{k}u)(\tau_{j,h}^k\partial_{j,h}^{n+1-k}v) \end{aligned} $$
となる。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in\mathbb{Z}_+$ に対して成り立つ。これより、
$$ \begin{aligned} \partial_{h}^{\alpha}(uv)&=\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N,h}^{\alpha_N}(uv) =\partial_{1,h}^{\alpha_1}\cdots\partial_{N-1,h}^{\alpha_{N-1}}\sum_{\beta_N\leq \alpha_N}\begin{pmatrix}\alpha_N\\\beta_N\end{pmatrix}(\partial_{N,h}^{\beta_N}u)(\tau_{N,h}^{\beta_N}\partial_{N,h}^{\alpha_N-\beta_N}v)\\ &=\cdots=\sum_{\beta\leq \alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(\partial_h^{\beta}u)(\tau_h^{\beta}\partial_h^{\alpha-\beta}v) \end{aligned} $$
となる。

Lebesgue測度の平行移動不変性より、
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^N}\partial_{j,h}u(x)v(x)dx &=\int_{\mathbb{R}^N}\frac{u(x+he_j)-u(x)}{h}v(x)dx=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\frac{v(x-he_j)-v(x)}{-h}dx\\ &=-\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{j,-h}v(x)dx. \end{aligned} $$

• $(1)$　$\lvert \alpha\rvert\leq m$ なる多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り、
  $$ \partial^{\alpha}=\partial_{j_1}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert}} $$
  なる $j_1,\ldots,j_{\lvert\alpha\rvert}\in \{1,\ldots,N\}$ を取る。このとき任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し微積分学の基本定理より、
  $$ \partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)=\partial_{j_1,-h}\cdots\partial_{j_{\lvert\alpha\rvert},-h}\varphi(x) =\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
  と表せるから、 補題4 とFubiniの定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\ &=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\ &=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\ &=\left\lvert \int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial^{\alpha}u(x)\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dx\right)dt_1\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right\rvert\\ &\leq \| \partial^{\alpha}u\|_2\|\varphi\|_2\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\},\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N))\quad\quad(*) \end{aligned} $$
  となる。そしてRieszの定理と $D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性より、
  $$ \| \partial^{\alpha}_hu\|_2=\sup\left\{\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert:\varphi\in D(\mathbb{R}^N),\| \varphi\|_2\leq1\right\}\leq \|\partial^{\alpha}u\|_2 $$
  が成り立つ。
• $(2)$　任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し 補題4 と $(*)$、Lebesgue優収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial_{-h}^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\\ &=\left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\left(\int_{[0,1]^{\lvert\alpha\rvert}}\partial^{\alpha}\varphi\left(x-\sum_{k=1}^{\lvert\alpha\rvert}t_khe_{j_k}\right)dt_{1}\cdots dt_{\lvert\alpha\rvert}\right)dx\right\rvert\\ &\rightarrow \left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0) \end{aligned} $$
  となる。よって仮定より、
  $$ \left\lvert\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\right\rvert =\lim_{\lvert h\rvert\rightarrow0}\left\lvert \int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha}u(x)\varphi(x)dx\right\rvert\leq C\| \varphi\|_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)) $$
  であるから、
  $$ (D(\mathbb{R}^N),\| \cdot\|_2)\ni \varphi\mapsto (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx\in \mathbb{C} $$
  はノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数である。$D(\mathbb{R}^N)$ の $L^2(\mathbb{R}^N)$ における稠密性よりこれはHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上のノルムが $C$ 以下の有界線形汎関数に一意拡張できるので、Rieszの定理より $f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ で、
  $$ (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}u(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)dx= \int_{\mathbb{R}^N}f(x)\varphi(x)dx\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^N)),\quad \| f\|_2\leq C $$
  を満たすものが定まる。よって $\partial^{\alpha}u=f\in L^2(\mathbb{R}^N)$ であり、$\| \partial^{\alpha}u\|_2=\| f\|_2\leq C$ である。

• $(1),(2)$　 定理2 による。
• $(3)$　$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対し、
  $$ Av\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N) $$
  を満たすと仮定して、$v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であることと、$a_{i,j},b,m$ のみによるある正実数 $C$ で、
  $$ \| v\|_{2,m+2}\leq C(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
  を満たすものが存在することを示せば十分である。（注：一様楕円性条件よりある正実数$C_0$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\| v\|_{2,1}\leq C_0(\| Av\|_2+\| v\|_2)$が成り立つことに注意。実際、 定理2 の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq C'\| v\|_{2,1}^2$ なる正実数$C'$が存在する。）
  $$ p(u,v)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\overline{\partial_iu(x)}\partial_jv(x)dx\quad(\forall u,v\in H^1(\mathbb{R}^N)) $$
  とおく。$\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ なる任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。任意の $h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ と任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、 補題4 と 命題3 より、
  $$ \begin{aligned} p(u,\partial_h^{\alpha}v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x) \partial_i \overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jv(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}(a_{i,j}\partial_i\overline{u})(x)\partial_jv(x)dx\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,v)+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)(Av-bv)(x)dx +\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_{-h}^{\beta}a_{i,j}\partial_jv)(x)dx \end{aligned} $$
  となるから、 補題4 と 補題5 より、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_1$ が存在し、
  $$ \lvert p(u,\partial_h^{\alpha}v)\rvert\leq C_1(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| u\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash\{0\},\forall u\in D(\mathbb{R}^N)) $$
  が成り立つことが分かる。そして $\partial_h^{\alpha}v\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N)\subset H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\| \cdot\|_{2,1}}$ である（ Sobolev空間の基本事項の定理32.2 ）から、上式より、
  $$ p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)\leq C_1(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| \partial_h^{\alpha}v\|\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}) $$
  が成り立つ。また 補題5 より、
  $$ (\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2=\| \partial_h^{\alpha}v\|_2^2\leq \| \partial^{\alpha}v\|_{2}\| \partial_h^{\alpha}v\|_2\leq \| v\|_{2,m+1}\| \partial_h^{\alpha}v\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}) $$
  であるから、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_2$ が存在し、
  $$ p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2 \leq C_2(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| \partial_h^{\alpha}v\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}) $$
  が成り立つ。ここで一様楕円性条件（ 定義1 ）より $a_{i,j}$ のみによる正実数 $C_3$ が存在し、
  $$ C_3\| \partial_h^{\alpha}v\|_{2,1}^2\leq p(\partial_h^{\alpha}v,\partial_h^{\alpha}v)+(\partial_h^{\alpha}v\mid \partial_h^{\alpha}v)_2 $$
  が成り立つので、上式と合わせて、$a_{i,j},b,\alpha$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
  $$ \| \partial_h^{\alpha}v\|_{2,1}\leq C_4(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}) $$
  が成り立つことが分かる。これより、
  $$ \| \partial_h^{\alpha}\partial_jv\|_2\leq C_4(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R}\backslash \{0\}, \forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
  であるから、 補題5 の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jv\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
  $$ \| \partial^{\alpha}\partial_jv\|_2\leq C_4(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
  が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $v\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、求める結果を得る。
• $(4)$　$(3)$ より $D(A)\subset H^2(\mathbb{R}^N)$ である。逆に $v\in H^2(\mathbb{R}^N)$ ならば、
  $$ \mathcal{A}v=-\sum_{i,j=1}^{N}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+bv\in L^2(\mathbb{R}^N) $$
  であり、任意の $u\in D(\mathbb{R}^N)$ に対し、
  $$ \begin{aligned} p_{\mathcal{A}}(u,v)&=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\ &=-\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx+\int_{\mathbb{R}^N}b(x)\overline{u}(x)v(x)dx\\ &=(u\mid \mathcal{A}v)_2 \end{aligned} $$
  である。よって $H^1(\mathbb{R}^N)=\overline{D(\mathbb{R}^N)}^{\| \cdot\|_{2,1}}$（ Sobolev空間の基本事項の定理32.2 ）より、
  $$ p_{\mathcal{A}}(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_{2}\quad(\forall u\in H^1(\mathbb{R}^N)) $$
  であるから $v\in D(A)$ である。ゆえに $D(A)=H^2(\mathbb{R}^N)$ が成り立つ。

$$ r\colon=d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0 $$
とおき、
$$ 0\colon=r_0< r_1< r_2< r_3< r_4< r,\quad \Omega_k\colon=\{x\in \mathbb{R}^N:d(x,\Omega_0)< r_k\}\quad(k=1,2,3,4), $$
$$ \delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(r_1-r_0,r_2-r_1,r_3-r_2,r_4-r_3)>0\quad\quad(1) $$
とおく。このとき $\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3,\Omega_4$ は開集合であり（ 超関数の定義と基本操作の命題2.2 ）、
$$ \Omega_0\subset \Omega_1\subset \Omega_2\subset \Omega_3\subset \Omega_4\subset \Omega, $$
$$ d(\Omega_{k-1},\mathbb{R}^N\backslash \Omega_k)\geq r_k-r_{k-1}>0\quad(k=1,2,3,4)\quad\quad(2) $$
である。特に $d(\Omega_0,\mathbb{R}^N\backslash \Omega_1)>0$ であるから Sobolev空間の基本事項の補題33.1 より全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数 $\rho\colon\mathbb{R}^N\rightarrow [0,\infty)$ で、
$$ \rho|_{\Omega_0}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1\quad\quad(3) $$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(\Omega)$ に対し ${\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ より、
$$ d({\rm supp}(\rho u), \mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0 $$
であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より $\rho v$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$ w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1,\quad \| w\|_{2,m+1}=\|\rho v\|_{2,m+1}\quad\quad(4) $$
が成り立つ。今、
$$ p(u_1,u_2)\colon=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u_1}(x)\partial_ju_2(x)dx\quad(\forall u_1,u_2\in H^1(\Omega)) $$
とおき、$a_{i,j}\colon \Omega\rightarrow \mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^N$ 上へ $0$ 拡張したものを $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。そして $\lvert\alpha\rvert\leq m+1$ を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$0<\lvert h\rvert <\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し、 補題4 と 命題3 より、
$$ \begin{aligned} &p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}\partial_i\overline{u})(x)dx\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_jw(x)\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\right)\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})(x)\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5) \end{aligned} $$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(4)$ より ${\rm supp}(w)\subset \Omega_1$ であるから、$0<\lvert h\rvert<\delta$ であることと $(1),(2)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $\Omega_2$ に含まれるので、 命題3 と 補題5 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} &\| \partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\|_2 =\| (\partial_{h}^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}))|_{\Omega_2}\|_2\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_2}\|_2\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{\Omega_2}\|_2\| (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{\Omega_3}\|_{\infty} \leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\|_2\| (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{\Omega_4}\|_{\infty}\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| w\|_{2,m+1}\| \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\|_{\infty}= \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| \rho v\|_{2,m+1}\| \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\|_{\infty} \end{aligned} $$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$ \begin{aligned} &\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\ &\leq C_1\| v\|_{2,m+1}\| u\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(6) \end{aligned} $$
が成り立つ。今、
$$ \begin{aligned} p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})&=\{p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\}\\ &+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v))\\ &+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\\ &(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(7) \end{aligned} $$
（注：$\rho$ は滑らかで ${\rm supp}(\rho)\subset \Omega_1$ であるから、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}\in D(\Omega)$ であること、任意の $\varphi\in D(\Omega)$ に対し $p(\varphi,v)=\int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\overline{\varphi}(x)dx$ であることに注意。）であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ であり、$(3)$ より、
$$ d({\rm supp}((\mathcal{A}v-bv)\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_1,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_1>0 $$
であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より、$(\mathcal{A}v-bv)\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}$ は、
$$ \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \| \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\|_{2,m}=\| (\mathcal{A}v-bv)\rho\|_{2,m} $$
を満たす。よって 補題4 と 補題5 の $(2)$ より、
$$ \begin{aligned} &\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{\Omega}(\mathcal{A}v-bv)(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert =\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}}\widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right\rvert\\ &\leq \| \widetilde{(\mathcal{A}v-bv)\rho}\|_{2,m}\| u\|_{2,1}=\|(\mathcal{A}v-bv)\rho\|_{2,m}\| u\|_{2,1}\leq C_3(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m})\| u\|_{2,1}\quad\quad(8) \end{aligned} $$
と評価できる（ただし $C_3$ は $\rho,b,m$ のみによる正実数である）。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$ \begin{aligned} &\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9) \end{aligned} $$
であり、$(3)$ より、
$$ a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0, $$
$$ a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(\Omega),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d({\rm supp}(\rho),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)>0 $$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(\Omega)$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より、
$$ \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N),\quad \| \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \|_{2,m+1}=\| a_{i,j}v\partial_j\rho \|_{2,m+1}, $$
$$ \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N),\quad \| \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\|_{2,m}=\| a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\|_{2,m} $$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は 補題4 と 補題5 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} &\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}))(x)dx\right)\right\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)} (x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u}(x)dx\right)\right\rvert\\ &\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\|\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\|_{2,m+1}+\| \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\|_{2,m})\| u\|_{2,1}\\ &\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\| a_{i,j}v\partial_j\rho\|_{2,m+1}+\| a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\|_{2,m})\| u\|_{2,1}\\ &\leq C_2\| v\|_{2,m+1}\| u\|_{2,1} \end{aligned} $$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$ \| (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\|\leq C_2\| v\|_{2,m+1}\| u\|_{2,1}\quad\quad(10) $$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$ \lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\rvert\leq C_4(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| u\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(\Omega))\quad\quad(11) $$
が成り立つ。ここで ${\rm supp}(\omega)\subset \Omega_1$ であることと $(1)$ より、
$$ d({\rm supp}(\partial_h^{\alpha}w),\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq d(\Omega_2,\mathbb{R}^N\backslash \Omega)\geq r-r_2>0\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
であるので、 Sobolev空間の基本事項の系33.5 より、
$$ (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\in H^1_0(\Omega)=\overline{D(\Omega)}^{\| \cdot\|_{2,1}},\quad \| \partial_h^{\alpha}w\|_{2,1}=\| (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta)\quad\quad(12) $$
が成り立つ。よって $(12)$ の左の式と $(11)$ より、
$$ p((\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega},(\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega})\leq C_4(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\|_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
が成り立つので、一様楕円性条件（ 定義1 ）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$ \| (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\|_{2,1}^2\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| (\partial_h^{\alpha}w)|_{\Omega}\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
が成り立つ。よって $(12)$ の右の式より、
$$ \| \partial_h^{\alpha}w\|_{2,1}\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
が成り立つ。これより、
$$ \| \partial_h^{\alpha}\partial_jw\|_{2}\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
であるから、 補題5 の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$ \| \partial^{\alpha}\partial_jw\|_2\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
が成り立つ。よって $\alpha$ の任意性より $w\in H^{m+2}(\mathbb{R}^N)$ であり、$a_{i,j},b,\rho,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$ \| w\|_{2,m+2}\leq C(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
が成り立つ。$(3)$ より $v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}$ であるから、
$$ v|_{\Omega_0}=w|_{\Omega_0}\in H^{m+2}(\Omega_0),\quad \| v|_{\Omega_0}\|_{2,m+2}\leq \| w\|_{2,m+2}\leq C(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
が成り立つ。

任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り固定する。
$$ \epsilon_0\colon=\epsilon<\epsilon_1<\epsilon_2<\epsilon_3<\epsilon_4<1 $$
とおき、
$$ \delta\colon=\frac{1}{m+1}{\rm min}(\epsilon_1-\epsilon_0,\epsilon_2-\epsilon_1,\epsilon_3-\epsilon_2,\epsilon_4-\epsilon_3)>0\quad\quad(1) $$
とおく。Urysohnの補題（ 定理3 ）より非負値の $\rho\in D( \mathbb{R}^N)$ で、
$$ \rho|_{Q_{\epsilon}}=1,\quad {\rm supp}(\rho)\subset Q_{\epsilon_1}\quad\quad(2) $$
を満たすものが取れる。$\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ に対し、
$$ {\rm supp}(\rho v)\subset {\rm supp}(\rho) \cap Q_+\subset Q_{\epsilon_1,+} $$
より、
$$ d({\rm supp}(\rho v),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0 $$
であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より $\rho v\in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張を $w$ とおくと、
$$ w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad {\rm supp}(w)={\rm supp}(\rho v)\subset Q_{\epsilon_1,+},\quad \| w\|_{2,m+1}=\| \rho v\|_{2,m+1}\quad\quad(3) $$
が成り立つ。今、
$$ \lvert \alpha\rvert\leq m+1,\quad \alpha_N=0\quad\quad(4) $$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ を取り固定する。$a_{i,j}\colon Q_+\rightarrow\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}^N$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{a_{i,j}}\colon \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$ とおく。$0<\lvert h\rvert<\delta$ を満たす任意の $h\in \mathbb{R}$ と任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し、 補題4 と 命題3 より、
$$ \begin{aligned} &p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_h^{\alpha}\partial_jw(x)dx=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\sum_{i,j=1}^N\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\alpha}(\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_i\overline{u})(x)\partial_jw(x)dx\\ &=(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx+\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}}(x)\partial_{-h}^{\alpha-\beta}\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)\partial_jw(x)dx\right)\\ &=(-1)^{\lvert \alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)+\sum_{i,j=1}^{N}\sum_{0<\beta\leq\alpha}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}(-1)^{\lvert\beta\rvert}\int_{\mathbb{R}^N_+}\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\tau_{-h}^{\beta}\partial_i\overline{u}(x)dx\quad\quad(5) \end{aligned} $$
となる。$(5)$ の右辺の第二項の評価を考える。$(3)$ より ${\rm supp}(w)\subset Q_{\epsilon_1,+}$ であるから $(1),(4)$ より $0<\beta\leq \alpha$ なる任意の $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれるので 命題3 と 補題5 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} &\| \partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})\|_2 =\| (\partial_h^{\alpha-\beta}(\partial_jw\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\|_2\\ &\leq \sum_{\gamma\leq \alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}(\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}(\tau_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\|_2\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| (\partial_h^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)|_{Q_{\epsilon_{2,+}}}\|_2\| (\partial_h^{\gamma}\partial_{-h}^{\beta}\widetilde{a_{i,j}})|_{Q_{\epsilon_{3,+}}}\|_{\infty}\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| (\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\partial_jw)\|_2\| (\partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j})|_{Q_{\epsilon_{4,+}}}\|_{\infty}\\ &\leq \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| w\|_{2,m+1}\| \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\|_{\infty}= \sum_{\gamma\leq\alpha-\beta}\begin{pmatrix}\alpha-\beta\\\gamma\end{pmatrix}\| \rho v\|_{2,m+1}\| \partial^{\gamma}\partial^{\beta}a_{i,j}\|_{\infty} \end{aligned} $$
となる。よって $\rho,a_{i,j},\alpha$ のみによる正数 $C_1$ が存在し、
$$ \begin{aligned} &\lvert\lvert p(u,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u,\rho v)\rvert=(\text{$(5)$ の右辺の第二項})\\ &\leq C_1\| v\|_{2,m+1}\| u\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,\forall u\in D(Q)|_{Q_+})\quad\quad(6) \end{aligned} $$
が成り立つ。今、$({\rm a})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm a}\in D(Q_+)$ を取り、$({\rm b})$ が成り立つ場合は任意の $u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ を取る。このとき
$$ \begin{aligned} p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})&=\{p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})-(-1)^{\lvert\alpha\rvert}p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)\}\\ &+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}(p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u_k,v))\\ &+(-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\\ &(\forall h\in \mathbb{R}:0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a}, {\rm b})\quad\quad(7) \end{aligned} $$
($k={\rm a}$ の場合、$\rho\partial_{-h}^{\alpha}u_{\rm a}\in D(Q_+)$ であることに注意）であり、$(6)$ は $(7)$ の右辺の第一項の評価を与えている。$(7)$ の右辺の第三項の評価を考える。$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ であり、$(2)$ より、
$$ d({\rm supp}(\mathcal{A}v\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0 $$
であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より、$\mathcal{A}v\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{\mathcal{A}v\rho}$ は、
$$ \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \| \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\|_{2,m}=\| \mathcal{A}v\rho\|_{2,m} $$
を満たす。よって $(4)$ と 補題4 と 補題5 より、
$$ \begin{aligned} &\lvert \text{$(7)$ の右辺の第三項}\rvert=\left\lvert \int_{Q_+}\mathcal{A}v(x)\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert =\left\lvert\int_{\mathbb{R^N}_+}\widetilde{\mathcal{A}v\rho}(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right\rvert\\ &\leq \| \widetilde{\mathcal{A}v\rho}\|_{2,m}\| u_k\|_{2,1}=\|\mathcal{A}v\rho\|_{2,m}\| u_k\|_{2,1}\leq C_3(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m})\| u_k\|_{2,1}\quad\quad(8) \end{aligned} $$
（ただし $C_3$ は $\rho,m$ のみによる正実数）と評価できる。$(7)$ の右辺の第二項の評価を考える。
$$ \begin{aligned} &\lvert \text{$(7)$ の右辺の第二項}\rvert=\lvert p(\partial_{-h}^{\alpha}u_k,\rho v)-p(\rho\partial_h^{\alpha}u,v)\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)v(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\quad\quad(9) \end{aligned} $$
であり、$(2)$ より、
$$ a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}v\partial_j\rho,\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq 1-\epsilon_1>0, $$
$$ a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^{m}(Q_+),\quad d({\rm supp}(a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho),\mathbb{R}^N_+\backslash Q_+)\geq d(Q_{\epsilon_1,+},\mathbb{R}^N_+\backslash Q_{+})\geq1-\epsilon_1>0 $$
であるから、$a_{i,j}v\partial_j\rho \in H^{m+1}(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho $ と、$a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\in H^m(Q_+)$ の $\mathbb{R}^N_+$ 上への $0$ 拡張 $\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho$ は、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より、
$$ \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+),\quad \| \widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho \|_{2,m+1}=\| a_{i,j}v\partial_j\rho \|_{2,m+1}, $$
$$ \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\in H^m(\mathbb{R}^N_+),\quad \| \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\|_{2,m}=\| a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\|_{2,m} $$
を満たす。よって $(9)$ の右辺は 補題4 と 補題5 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} &\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_j(\rho v)(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{Q_+}a_{i,j}(x)\partial_jv(x)(\partial_i(\rho\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}))(x)dx\right)\right\rvert\\ &=\left\lvert \sum_{i,j=1}^{N}\left(\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}v)}(x)\partial_j\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\partial_i\overline{u_k}(x)dx-\int_{\mathbb{R}^N_+}\widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)} (x)\partial_i\rho(x)\partial_{-h}^{\alpha}\overline{u_k}(x)dx\right)\right\rvert\\ &\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\|\widetilde{(a_{i,j}v)}\partial_j\rho\|_{2,m+1}+\| \widetilde{(a_{i,j}\partial_jv)}\partial_i\rho\|_{2,m})\| u_k\|_{2,1}\\ &\leq \sum_{i,j=1}^{N}(\| a_{i,j}v\partial_j\rho\|_{2,m+1}+\| a_{i,j}\partial_jv\partial_i\rho\|_{2,m})\| u_k\|_{2,1}\\ &\leq C_2\| v\|_{2,m+1}\| u_k\|_{2,1} \end{aligned} $$
（ただし $C_2$ は $a_{i,j},\rho,m$ のみによる正実数である）となるので、
$$ \| (\text{$(7)$ の右辺の第二項})\|\leq C_2\| v\|_{2,m+1}\| u_k\|_{2,1}\quad\quad(10) $$
と評価できる。こうして $(7)$ の右辺の第一項、第二項、第三項はそれぞれ $a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_1,C_2,C_3$ により $(6),(10),(8)$ によって評価されるので、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_4$ が存在し、
$$ \lvert p(u_k,(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\rvert\leq C_4(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| u_k\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,k={\rm a},{\rm b})\quad\quad(11) $$
が成り立つ。ここで $(1),(3),(4)$ より $0<\lvert h\rvert<\delta$ なる任意の $h\in \mathbb{R}$ に対し、$\partial_h^{\alpha}w\in H^{m+1}(\mathbb{R}^N_+)$ の台は $Q_{\epsilon_2,+}$ に含まれる。そこでUrysohnの補題より $\varphi\in D(Q)$ で $\varphi|_{Q_{\epsilon_2,+}}=1$ なるものを取ると、$({\rm a})$ が成り立つ場合は $w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$（ Sobolev空間の基本事項の命題32.3 ）より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1_0(\mathbb{R}^N_+)$ であるから、
$$ (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in H^1_0(Q_+) $$
が成り立ち、$({\rm b})$ が成り立つ場合は Sobolev空間の基本事項の命題34.3 より $\partial_h^{\alpha}w\in H^1(\mathbb{R}^N_+)=\overline{D(\mathbb{R}^N)|_{\mathbb{R}^N_+}}^{\| \cdot\|_{2,1}}$ であるから、
$$ (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}=(\varphi\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\in \overline{D(Q)|_{Q_+}}^{\| \cdot\|_{2,1}} $$
が成り立つ。よって $u_{\rm a}\in D(Q_+), u_{\rm b}\in D(Q)|_{Q_+}$ であることに注意して $(11)$ より、
$$ p((\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+},(\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+})\leq C_4(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\|_{2,1}\quad(\forall h\in\mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
が成り立つ。よって一様楕円性条件（ 定義1 ）より、$a_{i,j},b,\rho,\alpha,m$ のみによる正実数 $C_5$ が存在し、
$$ \| \partial_h^{\alpha}w\|_{2,1}^2=\| (\partial_h^{\alpha}w)|_{Q_+}\|_{2,1}^2\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\| \partial_h^{\alpha}w\|_{2,1}\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta) $$
が成り立つ。これより、
$$ \| \partial_h^{\alpha}\partial_jw\|_{2}\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall h\in \mathbb{R},0<\lvert h\rvert<\delta,\forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
が成り立つので、$(4)$ と 補題5 の $(2)$ より $\partial^{\alpha}\partial_jw\in L^2(\mathbb{R}^N_+)$ $(j=1,\ldots,N)$ であり、
$$ \| \partial^{\alpha}\partial_jw\|_2\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\}) $$
が成り立つ。$(2)$ より、
$$ \partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}=\partial^{\alpha}\partial_jw|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})\quad(j=1,\ldots,N) $$
であるから、
$$ \| \partial^{\alpha}\partial_jv|_{Q_{\epsilon,+}}\|_2\leq \| \partial^{\alpha}\partial_jw\|_2\leq C_5(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall j\in \{1,\ldots,N\})\quad\quad(12) $$
が成り立つ。ここで $\alpha\in \mathbb{Z}_+^N$ は $(4)$ を満たす範囲で任意であるので、$(12)$ より、
$$ \lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq 1 $$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in \mathbb{Z}^N_+$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによる正実数 $C^{(1)}$ が存在し、
$$ \| \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\|_2\leq C^{(1)}(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
が成り立つ。
今、$n\in \{1,\ldots,m+1\}$ について、
$$ \lvert \alpha\rvert\leq m+2,\quad \alpha_N\leq n $$
を満たす任意の多重指数 $\alpha\in\mathbb{Z}_+^N$ に対し $\partial^{\alpha}v|_{Q_{+,\epsilon}}\in L^2(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},\alpha,m$ のみによるある正実数 $C^{(n)}$ が存在し、
$$ \| \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\|_2\leq C^{(n)}(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
が成り立つと仮定する。一様楕円性条件（ 定義1 ）よりある正実数 $c$ が存在し、
$$ a_{N,N}(x)\geq c\quad(\forall x\in Q_+) $$
が成り立つから、$\frac{1}{a_{N,N}}\colon Q_+\rightarrow \mathbb{R}$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。そして $D'(Q_+)$ において、
$$ \partial_N^2v=-\frac{1}{a_{N,N}}\left(\mathcal{A}v+\sum_{(i,j)\neq (N,N)}\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)+(\partial_Na_{N,N})\partial_Nv\right) $$
であるから、仮定より、
$$ \lvert \beta\rvert\leq m,\quad \beta_N\leq n-1 $$
を満たす任意の多重指数 $\beta\in \mathbb{Z}_+^N$ に対し、
$$ \partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\in L^2(Q_{\epsilon,+}) $$
が成り立ち、$\epsilon,a_{i,j},\beta,m$ のみによる正実数 $C^{(n+1)}$ が存在し、
$$ \| \partial^{\beta}\partial_N^2v|_{Q_{\epsilon,+}}\|_2\leq C^{(n+1)}(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
が成り立つ。よって帰納法より $v|_{Q_{\epsilon,+}}\in H^{m+2}(Q_{\epsilon,+})$ であり、$\epsilon,a_{i,j},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$ \| \partial^{\alpha}v|_{Q_{\epsilon,+}}\|_2\leq C(\| \mathcal{A}v\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad(\forall \alpha\in \mathbb{Z}_+^N:\lvert \alpha\rvert\leq m+2) $$
が成り立つ。

$(1),(2),(3)$ は 定理2 による。
$(4)$ を示す。$m\in \mathbb{Z}_+$ に関する帰納法より $v\in D(A)$ が $m\in \mathbb{Z}_+$ に対して、
$$ Av\in H^m(\Omega),\quad v\in H^{m+1}(\Omega) $$
を満たすと仮定して $v\in H^{m+2}(\Omega)$ が成り立つことと、$A,m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、
$$ \| v\|_{2,m+2}\leq C(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せば十分である。（注：一様楕円性条件よりある正実数$c$が存在し任意の$v\in D(A)$に対し$\| v\|_{2,1}\leq c(\| Av\|_2+\| v\|_2)$が成り立つことに注意。実際、 定理2 の$(1)$の証明の冒頭部分より、$\lambda<\lambda_0$ なる$\lambda$をとれば、$(v\mid (A-\lambda)v)_2=p_{{\cal A}-\lambda}(v,v)\geq c'\| v\|_{2,1}^2$ なる正実数$c'$が存在する。）
滑らかな境界を持つ開集合の定義（ 定義9 ）と $\partial\Omega$ のコンパクト性より、$\mathbb{R}^N$ の有限個の局所座標 $( (U_i,\Phi_i))_{i=1,\ldots,\ell}$ で次を満たすものが取れる。

• $({\rm a})$　$\partial\Omega\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i$.
• $({\rm b})$　各$i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し、$U_i$ は $\partial\Omega_{\rm d}$ か $\partial\Omega_{\rm n}$ のうちのいずれか一方としか交わらず、
  $$ \Phi_i(U_i)=Q,\quad\Phi_i(U_i\cap\Omega)=Q_+,\quad \Phi_i(U_i\cap\partial\Omega)=(-1,1)^{N-1}\times\{0\}. $$
• $({\rm c})$　各 $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $\Phi_i,\Phi_i^{-1}$ の全ての偏導関数は有界。
  $({\rm a})$ の左辺はコンパクト集合、右辺は開集合であるから閉包がコンパクトな開集合 $D$ で、
  $$ \partial\Omega\subset D\subset \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{\ell}U_i $$
  を満たすものが取れる。よって $1$ の分割（ 系 ）より $h_i\in D(U_i)$ $(i=1,\ldots,\ell )$ で、
  $$ \sum_{i=1}^{\ell}h_i(x)=1\quad(\forall x\in D)\quad\quad(**) $$
  を満たすものが取れる。
  $$ h_0\colon=1-\sum_{i=1}^{\ell}h_i\in C^\infty(\mathbb{R}^N) $$
  とおく。
  $\partial\Omega$ は開集合 $D$ に含まれるコンパクト集合なので 超関数の定義と基本操作の命題2.2 の $(4)$ より、
  $$ d(\partial\Omega,\text{ }\mathbb{R}^N\backslash D)>0 $$
  であり、${\rm supp}(h_0)\subset \mathbb{R}^N\backslash D$ であるから、
  $$ d({\rm supp}(h_0),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash\Omega)=d({\rm supp}(h_0),\text{ }\partial\Omega)\geq d(\mathbb{R}^N\backslash D,\text{ }\partial\Omega)>0 $$
  である。よって 補題7 より $h_0v\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_0,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_0$ が存在して、
  $$ \| h_0v\|_{2,m+2}\leq C_0(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad\quad(***) $$
  が成り立つ。任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ を取り固定する。以後、しばらく $\Phi_i,U_i,h_i$ などは $\Phi,U,h$ と表す。$\Psi\colon U\cap\Omega\rightarrow Q_+$ を $\Phi$ の $U\cap\Omega$ 上への制限とし、$({\rm c})$ と Sobolev空間の基本事項の命題31.2 に注意して、
  $$ v^*\colon=v\circ\Psi^{-1}\in H^{m+1}(Q_+), $$
  $$ c_{k,l}\colon=\left(\sum_{i,j}(a_{i,j}\partial_j\Psi_l\partial_i\Psi_k)\circ\Psi^{-1}\right)\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert \in C^\infty(Q_+)\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,N\}), $$
  $$ f\colon=(Av-bv)\circ\Psi^{-1}\lvert {\rm det}{\Psi^{-1}}'\rvert\in H^m(Q_+) $$
  と定義する。このとき $({\rm c})$ より $\Psi, \Psi^{-1}$ の全ての偏導関数は有界であるから、
  $$ \mathcal{B}\colon D'(Q_+)\ni u\mapsto -\sum_{k,l}\partial_k(c_{k,l}\partial_lu)\in D'(Q_+) $$
  は一様楕円型作用素（ 定義1 ）であることが分かる。
  $$ q(u,w)\colon=\sum_{k,l}\int_{Q_+}c_{k,l}(x)\partial_k\overline{u}(x)\partial_lw(x)dx\quad(\forall u,w\in H^1(Q_+)) $$
  とおく。$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わらない場合、任意の $u\in D(Q)|_{Q_+}$ に対し $u\circ\Psi\in D(U)|_{\Omega}\subset \mathcal{V}$であるから、変数変換公式（ 補題13 ）より、
  $$ \begin{aligned} q(u,v^*)&=\sum_{i,j}\int_{U\cap \Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx =\sum_{i,j}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i(\overline{u}\circ\Psi)(x)\partial_jv(x)dx\\ &=p_{\mathcal{A}-b}(u\circ\Psi,v)=\int_{\Omega}(\overline{u}\circ\Psi)(x)(Av-bv)(x)dx=\int_{Q_+}\overline{u}(x)f(x)dx \end{aligned} $$
  となる。よってこのとき $v^*$ は 補題8 の条件 $({\rm b})$ を満たす。一方、$U$ が $\partial\Omega_{\rm d}$ と交わるとき、任意の $\rho\in D(U)\subset D(\mathbb{R}^N)$ に対し $\gamma(\rho v)=\rho \gamma(v)=0$ であるので Sobolev空間の基本事項の定理37.2 より $\rho v\in H^1_0(\Omega)$ であり、$\rho v$ は $(\rho v)|_{U\cap \Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張で、
  $$ d({\rm supp}(\rho v),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\Omega\backslash U)\geq d({\rm supp}(\rho),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0 $$
  であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より、$(\rho v)|_{U\cap \Omega}\in H^1_0(U\cap \Omega)$ である。よって任意の $\rho^*\in D(Q)$ に対し $\rho^*v^*\in H^1_0(Q_+)$ であるから、$v^*$ は 補題8 の条件 $({\rm a})$ を満たす。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性よりある $\epsilon\in (0,1)$ に対し ${\rm supp}(h\circ \Psi^{-1})\subset Q_{\epsilon,+}$ となるから、 補題8 より $(h\circ\Psi^{-1})v^*\in H^{m+2}(Q_+)$ であり、$h,\Psi,c_{k,l},m$ のみによるある正実数 $C$ が存在して、
  $$ \| (h\circ\Psi^{-1})v^*\|_{2,m+2}\leq C(\| f\|_{2,m}+\| v^*\|_{2,m+1}) $$
  が成り立つ。よって Sobolev空間の基本事項の命題31.2 より $hv\in H^{m+2}(U\cap\Omega)$ であり、$h,\Psi,a_{i,j},b,m$ のみによる正実数 $C'$ が存在して、
  $$ \| (hv)|_{U\cap\Omega}\|_{2,m+2}\leq C'(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
  が成り立つ。${\rm supp}(h)\subset U$ のコンパクト性より、
  $$ d({\rm supp}((hv)|_{U\cap\Omega}),\text{ }\Omega\backslash (U\cap \Omega))\geq d({\rm supp}(h),\text{ }\mathbb{R}^N\backslash U)>0 $$
  であるから、 Sobolev空間の基本事項の定理33.3 より $(hv)|_{U\cap\Omega}$ の $\Omega$ 上への $0$ 拡張である $hv$ は $H^{m+2}(\Omega)$ に属し、
  $$ \| hv\|_{2,m+2}=\| (hv)|_{U\cap\Omega}\|_{2,m+2}\leq C'(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1}) $$
  が成り立つ。よって任意の $i\in \{1,\ldots,\ell\}$ に対し $h_iv\in H^{m+2}(\Omega)$ であり、$h_i,\Phi_i,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C_i$ が存在し、
  $$ \| h_iv\|_{2,m+2}=\leq C_i(\| Av\|_{2,m}+\| v\|_{2,m+1})\quad\quad(****) $$
  が成り立つ。以上より $h_0v, h_1v,\ldots,h_{\ell}v\in H^{m+2}(\Omega)$ であるから、$(**)$ より、
  $$ v=\sum_{i=1}^{\ell}h_iv\in H^{m+2}(\Omega) $$
  であり、$(***),(****)$ より、$\Omega,\mathcal{A},m$ のみによる正実数 $C$ が存在し、$(*)$ が成り立つ。
  $(5)$ を示す。$(4)$ より $D(A)\subset H^2(\Omega)$ であるから、
  $$ \begin{aligned} D(A)&=\{v\in \mathcal{V}:\mathcal{A}v\in L^2(\Omega), \text{ }p(u,v)=(u\mid \mathcal{A}v)_2\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\}\\ &=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\} \end{aligned} $$
  であり、$v\in H^2(\Omega)$ と $u\in\mathcal{V}$ に対しGaussの発散定理のSobolev空間版（ 定理1 の $(2)$ と 定理2 の $(1)$）より、
  $$ \begin{aligned} \sum_{i,j=1}^{N}\int_{\Omega}a_{i,j}(x)\partial_i\overline{u}(x)\partial_jv(x)+\overline{u}(x)\partial_i(a_{i,j}\partial_jv)(x)dx=\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x) \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ \begin{aligned} D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\ &=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\} \end{aligned} $$
  である。$\partial\Omega_{\rm d}$ と $\partial\Omega_{\rm n}$ は互いに交わらないコンパクト集合であるから、Urysohnの補題（ 定理3 ）より、
  $$ \{\gamma(u):u\in \mathcal{V}\} $$
  は $\partial\Omega_{\rm n}$ 上の全ての多項式を含む。よってStone-Weierstrassの定理（ 定理17 ）と $L^2(\partial\Omega_{\rm n},\mu_{\partial\Omega})$ における $C(\partial\Omega_{\rm n})$ の稠密性（ 定理12 と定理32.1）より、
  $$ \begin{aligned} D(A)&=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega}\gamma(\overline{u})(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega_{\rm n}}(x)=0\text{ }(\forall u\in \mathcal{V})\right\}\\ &=\left\{v\in H^2(\Omega): \gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\sum_{i,j=1}^{N}\int_{\partial\Omega_{\rm n}}f(x)\gamma(a_{i,j}\partial_jv)(x)\nu_i(x)d\mu_{\partial\Omega}(x)=0\text{ }(\forall f\in C(\partial\Omega_{\rm n}))\right\}\\ &=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\} \end{aligned} $$
  を得る。$\mathcal{A}=-\Delta$ の場合は $a_{i,j}=\delta_{i,j}$ であるから、
  $$ \sum_{i,j=1}^{N}\gamma(a_{i,j}\partial_jv)\nu_i=\sum_{j=1}^{N}\gamma(\partial_jv)\nu_j=\gamma(\nabla v)\cdot \nu=\frac{\partial v}{\partial\nu} $$
  であるので、
  $$ D(A)=\left\{v\in H^2(\Omega):\gamma(v)|_{\partial\Omega_{\rm d}}=0,\text{ }\left(\frac{\partial v}{\partial\nu}\right)\Big|_{\partial\Omega_{\rm n}}=0\right\} $$
  である。
  $(6)$ を示す。$v\in D(A)$ が固有値 $\lambda$ の固有ベクトルならば $(4)$ より、
  $$ Av=\lambda v\in D(A)\subset H^2(\Omega) $$
  であるから、再び $(4)$ より $v\in H^4(\Omega)$ を得る。さらに $(4)$ より $v\in H^6(\Omega)$ を得る。同様に $(4)$ を繰り返し適用すれば、
  $$ v\in \bigcap_{m\in \mathbb{N}}H^m(\Omega) $$
  を得る。Sobolevの埋め込み定理（ Sobolev空間の基本事項の定理38.4 ）より $v$ は全ての偏導関数が有界な $C^\infty$ 級関数である。