Hilbert空間上の作用素論1：有界線形作用素の特徴付け

$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ は開写像定理（ 定理1 ）による。$(1)$ が成り立つならば $T^*$ も $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\| v\|=\| T^{-1}Tv\|\leq \| T^{-1}\|\| Tv\|,\\ &\| v\|=\| {T^*}^{-1}T^*v\|\leq \| {T^*}^{-1}\|\| T^*v\| \end{aligned} $$
となる。よって $(3)$ が成り立つ。$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。このとき明らかに ${\rm Ker}(T)={\rm Ker}(T^*)=\{0\}$ であり、${\rm Ran}(T), {\rm Ran}(T^*)$ は閉である（注：任意の $v\in\overline{{\rm Ran}(T)}$ に対し $v$ に収束する ${\rm Ran}(T)$ の列 $(Tu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。$(*)$ より $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はCauchy列であるから $u=\lim_{n\rightarrow\infty}u_n\in \mathcal{H}$ が存在する。よって $v=\lim_{n\rightarrow\infty}Tu_n=Tu$ であるから $v\in{\rm Ran}(T)$ である。ゆえに ${\rm Ran}(T)$ は閉である。同様に ${\rm Ran}(T^*)$ も閉である。）。よって 命題4 と 命題3 の $(6)$ より、
$$ \begin{aligned} &{\rm Ran}(T)=\overline{{\rm Ran}(T)}=({\rm Ran}(T))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H},\\ &{\rm Ran}(T^*)=\overline{{\rm Ran}(T^*)}=({\rm Ran}(T^*))^{\perp\perp}=({\rm Ker}(T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H} \end{aligned} $$
である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。

• $(1)$　$T$ が有界自己共役作用素ならば $T^*=T$ より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(T^*v\mid v)=(Tv\mid v)=\overline{(v\mid Tv)}$ であるから $(v\mid Tv)\in\mathbb{R}$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\in \mathbb{R}$、したがって $(v\mid Tv)=\overline{(v\mid Tv)}=(Tv\mid v)$ ならば、偏極恒等式（ 定義4 ）より 任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ (u\mid Tv)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T(i^ku+v))=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(T(i^ku+v)\mid i^ku+v)=(Tu\mid v) $$
  である。よって $T=T^*$ であるから $T$ は有界自己共役作用素である。
• $(2)$　$T$ が有界非負自己共役作用素ならば Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題7.5 より $T=\sqrt{T}^2$ なる有界非負自己共役作用素 $\sqrt{T}$ が取れるので、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)=(v\mid \sqrt{T}^2v)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\| \sqrt{T}v\|^2\geq0$ である。逆に任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid Tv)\geq0$ が成り立つとして $T$ が有界非負自己共役作用素であることを示す。$(1)$ より $T$ は有界自己共役作用素であるので $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つことを示せばよい。 $T$ は自己共役であるので $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ （ Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題3.6 ）である。 そこで今、$\lambda\in \sigma(T)$ で $\lambda<0$ なるものが存在すると仮定して矛盾を導く。$\lambda-T$ は自己共役であり、可逆ではないので 命題1 より任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in \mathcal{H}$ で、
  $$ \| (\lambda-T)v_{\epsilon}\|<\epsilon\| v_{\epsilon}\| $$
  を満たすものが取れる。$-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ より、
  $$ \begin{aligned} \epsilon^2\| v_{\epsilon}\|^2>\| (\lambda-T)v_{\epsilon}\|^2 =\lvert\lambda\rvert^2\| v_{\epsilon}\|^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\| Tv_{\epsilon}\|^2\geq\lvert\lambda\rvert^2\| v_{\epsilon}\|^2 \end{aligned} $$
  となり $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ を得る。$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるからこれは $\lambda=0$ を意味し、$\lambda<0$ に矛盾する。よって $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ が成り立つ。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると $P^2=P$ より ${\rm Ran}(P)={\rm Ker}(1-P)$ であるから ${\rm Ran}(P)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。そして $1-P$ も射影作用素であるから $\Ran(1-P)=\Ker(1-(1-P))=\Ker(P)$ であるので、 命題3 の $(6)$ より、
$$ {\rm Ran}(P)^{\perp}={\rm Ker}(P^*)={\rm Ker}(P)={\rm Ran}(1-P) $$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ v=Pv+(1-P)v\in {\rm Ran}(P)\oplus {\rm Ran}(P)^{\perp}=\mathcal{H} $$
であるから、$\mathcal{K}={\rm Ran}(P)$ とおけば $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp}) $$
と直交分解すると、
$$ (u\mid Pv)=(u\mid v_1)=(u_1\mid v_1)=(u_1\mid v)=(Pu\mid v) $$
であるから $P^*=P$ が成り立つ。また $P^2v=Pv_1=v_1=Pv$ であるから $P^2=P$ が成り立つ。よって $P$ は射影作用素である。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は 命題3 より $\mathcal{H}$ の閉部分空間 $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ の上への射影作用素であるから、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ \| Vv\|^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\| v\|^2 $$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$ \| Vv\|^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0 $$
である。よって、
$$ \| Vv\|=\| v\|\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V) $$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$ v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H} $$
と直交分解すると、$\| Vv_1\|=\| v_1\|$、$Vv_2=0$ であるから、
$$ 0=\| Vv\|=\| Vv_1\|=\| v_1\|, $$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ (v\mid v)=\| v\|^2=\| Vv\|^2=(Vv\mid Vv) $$
であるから、偏極恒等式（ 定義4 ）より 任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ (u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))=(Vu\mid Vv) $$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\quad(u_1,v_1\in\mathcal{K}, u_2,v_2\in\mathcal{K}^{\perp}) $$
と直交分解すると、
$$ (u\mid V^*Vv)=(Vu\mid Vv)=(Vu_1\mid Vv_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1) $$
となる。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから、$V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上への射影作用素であり、したがって $V$ は部分等長作用素である。