Hilbert空間上の作用素論9：閉作用素の極分解

${\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}$ なので、$S(T)Tv=Tv$ $(\forall v\in D(T))$、よって $S(T)T=T$ である。$PT=T$ なる任意の射影作用素 $P$ に対し、
$$ {\rm Ran}(S(T))=\overline{{\rm Ran}(T)}\subset {\rm Ran}(P) $$
であるから、$S(T)=PS(T)=PS(T)P\leq P$ である。

$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、 定理2 の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$ D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2) $$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$ \| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\| \lvert T\rvert v\|^2 $$
であるから、
$$ V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H} $$
なる等長線形作用素が定義できる。 命題3 より $V_0$ は等長線形作用素
$$ V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H} $$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$ \mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*) $$
を考えて、
$$ V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H} $$
として $V\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。このとき、
$$ \| Vv\|=\| v\|\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}) $$
であるから、 命題4 より $V$ は部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$ V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**) $$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ (v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$ \| Tv_n-Tv_m\|=\| V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\| =\| \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\|\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$ (v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
である。これより、
$$ V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv $$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ (v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty) $$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$ \| \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\| =\| V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\| =\| Tv_n-Tv_m\|\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$ (v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。~
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ部分等長作用素であり、
$$ V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert $$
を満たすとする。 命題4 より、
$$ Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}) $$
である。また、
$$ V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H}) $$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。

定理2 の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$ \lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*} $$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、 命題1 の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$ (V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*) =(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*) $$
である。そして 命題1 の $(9)$ より、
$$ (V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^* $$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$ (v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(V^*v\mid \lvert T\rvert V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*)) $$
であるから、 命題6 より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と 命題5 より、
$$ \lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**) $$
が成り立つ。これより、
$$ V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^* $$
であり、
$$ VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert $$
である。よって 命題1 より、
$$ S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^* $$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$ \lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert $$
であるから、$(**)$ より、
$$ V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***) $$
である。
$$ \lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V $$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$ V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert $$
を得る。ゆえに、
$$ VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert) $$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$ V=S(\lvert T^*\rvert)V $$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$ VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^* $$
を得る。これより、
$$ VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert) $$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。

命題4 の $(4)$ より、
$$ T^*T=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x) $$
であるから、 命題3 より、
$$ \lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}=\int_{X}\sqrt{\lvert f(x)\rvert^2}dE(x)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x) $$
である。また 命題4 の $(1)$ より、
$$ V\lvert T\rvert=\int_{X}\omega(x)\lvert f(x)\rvert dE(x)=\int_{X}f(x)dE(x)=T $$
であり、
$$ V^*V=\int_{X}\lvert \omega(x)\rvert^2dE(x)=E( (f\neq 0)) $$
である。台射影作用素 $S(\lvert T\rvert)$ は閉部分空間 $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、$1-S(\lvert T\rvert)$ は、
$$ ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}={\rm Ker}(\lvert T\rvert)={\rm Ker}\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert dE(x)\right)={\rm Ran}E( (f=0)) $$
（三番目の等号は 命題4 の $(5)$ による）の上への射影作用素である。よって $1-S(\lvert T\rvert)=E( (f=0))$ であるから、
$$ S(\lvert T\rvert)=1-E( (f=0))=E( (f\neq 0)), $$
ゆえに $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。