Hilbert空間上の作用素論5：閉作用素のスペクトルとレゾルベント

• $(1)$　任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \rho(\mathbb{C})$ に対し、
  $$ \begin{aligned} (\lambda_1-T)^{-1}-(\lambda_2-T)^{-1}&=(\lambda_1-T)^{-1}( (\lambda_2-T)-(\lambda_1-T))(\lambda_2-T)^{-1}\\ &=(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_1-T)^{-1}(\lambda_2-T)^{-1}. \end{aligned} $$
• $(2)$　任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ と $\lvert \lambda-\lambda_0\rvert<\| (\lambda_0-T)^{-1}\|^{-1}$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
  $$ \lambda-T=(\lambda_0-T)-(\lambda_0-\lambda)=(1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1})(\lambda_0-T)\quad\quad(*) $$
  であり、$\|(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\|<1$ であるから、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より、$1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は可逆であり、
  $$ \{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-n}\quad\quad(**) $$
  が成り立つ。よって $(*)$ より $\lambda-T:D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ であり、$(*),(**)$ より、
  $$ \begin{aligned} (\lambda-T)^{-1}&=\{1-(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}\}^{-1}(\lambda_0-T)^{-1}\\ &=\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}(\lambda_0-\lambda)^n(\lambda_0-T)^{-(n+1)}\quad\quad(***) \end{aligned} $$
  である。これより任意の $\lambda_0\in \rho(T)$ に対し $\lambda_0$ を中心とする半径 $\| (\lambda_0-T)^{-1}\|^{-1}$ の $\mathbb{C}$ の開球は $\rho(T)$ に含まれるから $\rho(T)$ は $\mathbb{C}$ の開集合であり、その開球の任意の元 $\lambda$ に対し $(***)$ が成り立つから、冪級数関数の複素微分可能性（ 定理4 ）より、$\rho(T)\ni \lambda\mapsto (\lambda-T)^{-1}\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 値正則関数である。

Hilbert空間上の閉線形作用素のレゾルベント集合は、 命題1 より $\mathbb{C}$ の開集合であるから、レゾルベント集合の $\mathbb{C}$ における補集合であるスペクトルは $\mathbb{C}$ の閉集合である。

$T$ のレゾルベント集合 $\rho(T)=\mathbb{C}\backslash \sigma(T)$ に対し $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であることを示せばよい。そこで $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$、$\beta\neq0$ とし、$\lambda\colon=\alpha+i\beta\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ とおく。このとき $(v\mid (\alpha-T)v)\in \mathbb{R}$ $(\forall v\in D(T))$ であることから、
$$ \begin{aligned} &\|(\lambda-T)v\|^2=\| (\alpha-T)v+i\beta v\|^2=\| (\alpha-T)v\|^2+\beta^2\| v\|^2\geq \beta^2\| v\|^2\quad(\forall v\in D(T)),\quad\quad(*)\\ &\| (\overline{\lambda}-T)v\|^2=\|(\alpha-T)v-i\beta v\|^2 =\| (\alpha-T)v\|^2+\beta^2\| v\|^2\geq \beta^2\| v\|^2\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(**) \end{aligned} $$
である。よって $(*)$ と $\beta\neq0$ より ${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$、$\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}={\rm Ran}(\lambda-T)$（$\lambda-T$ が閉線形作用素であることに注意）である。そして $(**)$ より ${\rm Ker}(\overline{\lambda}-T)=\{0\}$ であるから、 命題1 の $(5)$ より、
$$ {\rm Ran}(\lambda-T)=\overline{{\rm Ran}(\lambda-T)}=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\overline{\lambda}-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H} $$
である。よって $\lambda-T\colon D(T)\rightarrow \mathcal{H}$ は全単射であるから $\lambda\in \rho(T)$ である。ゆえに $\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\subset \rho(T)$ であるから、$\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ が成り立つ。

系 と 命題2 より $\sigma(T)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合である。また 定理4 より $C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素である。任意の $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ \begin{aligned} C(t)-C(T)&=(t-i)(t+i)^{-1}-(T-i)(T+i)^{-1}\\ &=(t+i)^{-1}\{(t-i)(T+i)-(t+i)(T-i)\}(T+i)^{-1}\\ &=2i(t+i)^{-1}(t-T)(T+i)^{-1} \end{aligned} $$
であるから、$C(t)-C(T)\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることと、$t-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が全単射であることは同値である。よって $t\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ C(t)\in \sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\Leftrightarrow\quad t\in\sigma(T)\quad\quad(*) $$
が成り立つ。$C(T)$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であるから、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題3.5 より、$\sigma(C(T))\backslash\{1\}\subset \mathbb{T}\backslash \{1\}=C(\mathbb{R})$ である。よって $(*)$ より、
$$ C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash \{1\}\quad\quad(**) $$
が成り立つ。また $\sigma(C(T))\neq\emptyset$（ Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.8 ）であるから、もし $\sigma(C(T))\backslash \{1\}=\emptyset$ ならば $\sigma(C(T))=\{1\}$ となり、連続汎関数計算（ Banach環とC*-環のスペクトル理論の定義6.6 ）より $C(T)=1$ となる。よって $1-C(T)$ が単射であること（ 命題3 ）に矛盾する。ゆえに $\sigma(C(T))\backslash \{1\}\neq\emptyset$ であるので、$(**)$ より $\sigma(T)\neq\emptyset$ である。