Hilbert空間上の作用素論15：加藤–Rellichの定理と真性スペクトル

• $(1)$　$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\| T(T\pm in)^{-1}\|=\left\| \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t\pm in}dE^T(t)\right\| \leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t\pm in}\right\rvert\leq 1,\\ &\| (T\pm in)^{-1}\|=\left\| \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t\pm in}dE^T(t)\right\| \leq\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{t\pm in}\right\rvert\leq \frac{1}{n} \end{aligned} $$
  である。そこで、
  $$ a+\frac{b}{n_0}<1 $$
  を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば $(*)$ より、
  $$ \| S(T\pm in_0)^{-1}\|\leq a\| T(T\pm in_0)^{-1}\|+b\| (T\pm in_0)^{-1}\| \leq a+\frac{b}{n_0}<1 $$
  であるから、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より、
  $$ (T+S\pm in_0)(T\pm in_0)^{-1}=1+S(T\pm in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
  である。特に、
  $$ {\rm Ran}(T+S\pm in_0)=\mathcal{H} $$
  であり、$T+S$ は対称作用素であるので、 定理4 より $T+S$ は自己共役作用素である。
• $(2)$　$D\subset D(T)$ が $T$ の芯であるとすると、任意の $v\in D(T)=D(T+S)$ に対し、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| v_n-v\|=0,\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| Tv_n-Tv\|=0 $$
  を満たすものが取れる。$(*)$ より、
  $$ \| Sv_n-Sv\|\leq a\| Tv_n-Tv\|+b\| v_n-v\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
  であるから、$D$ は $S+T$ の芯である。
• $(3)$　任意の $\lambda\in (-\infty,\gamma)$ に対し、
  $$ \begin{aligned} \| T(T-\lambda)^{-1}\|&=\left\| \int_{\sigma(T)}\frac{t}{t-\lambda}dE^T(t)\right\|\leq \sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t}{t-\lambda}\right\rvert\\ &=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert 1+\frac{\lambda}{t-\lambda}\right\rvert \leq {\rm max}\left(1,\frac{\lvert \gamma\rvert}{\gamma-\lambda}\right), \end{aligned} $$
  $$ \begin{aligned} \| (T-\lambda)^{-1}\|=\left\| \int_{\sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}dE^T(t)\right\| \leq \sup_{t\in \sigma(T)}\frac{1}{t-\lambda}\leq \frac{1}{\gamma-\lambda} \end{aligned} $$
  であるから、$(*)$ より、
  $$ \begin{aligned} \| S(T-\lambda)^{-1}\| &\leq a\| T(T-\lambda)^{-1}\|+b\| (T-\lambda)^{-1}\|\\ &\leq{\rm max}\left(a+\frac{b}{\gamma-\lambda}, \frac{a\lvert \gamma\rvert+b}{\gamma-\lambda}\right) \end{aligned} $$
  である。よって、
  $$ \lambda<\gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right) $$
  を満たす任意の $\lambda\in \mathbb{R}$ に対し $\| S(T-\lambda)^{-1}\|<1$ であるから、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より、
  $$ (T+S-\lambda)(T-\lambda)^{-1}=1+S(T-\lambda)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})), $$
  したがって、$\lambda\notin \sigma(T+S)$ である。ゆえに $\lambda\in \sigma(T+S)$ ならば $\lambda\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right)$ であるから、$T+S$ は下に有界であり、
  $$ {\rm min}(\sigma(T+S))\geq \gamma-{\rm max}\left(\frac{b}{1-a},a\lvert \gamma\rvert+b\right) $$
  が成り立つ。

定義2 の注意で述べた様に $S(T+in)^{-1} \in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。今、
$$ A\colon=S(T+i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H}), $$
$$ B_n\colon=(T+i)(T+in)^{-1}=\int_{\sigma(T)}\frac{t+i}{t+in}dE^T(t)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
とおく。このとき、
$$ S(T+in)^{-1}=AB_n\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
である。そして、
$$ \| B_n\|=\sup_{t\in \sigma(T)}\left\lvert \frac{t+i}{t+in}\right\rvert\leq1\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$
であり、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$ \| B_n^*v\|^2=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{t-i}{t-in}\right\rvert^2dE^T_{v,v}(t)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)\quad\quad(**) $$
である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、コンパクト作用素の定義（ 定義2 ）より有限階作用素 $A_0\in\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ で、
$$ \| A-A_0\|<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(***) $$
を満たすものが取れる。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(A_0)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_m$ とおけば、 命題3 より、
$$ A_0=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot e_j\right)A_0=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j $$
であるから、$(**)$ と 命題3 より作用素ノルムで、
$$ A_0B_n=\left(\sum_{j=1}^{m}e_j\odot A_0^*e_j\right)B_n=\sum_{j=1}^{m}e_j\odot B_n^*A_0^*e_j\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
となる。よって十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$ \| A_0B_n\|<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall n\geq n_0) $$
となるので、$(*)$, $(***)$ より任意の $n\geq n_0$ に対し、
$$ \begin{aligned} \| S(T+in)^{-1}\|&=\| AB_n\|\leq \| (A-A_0)B_n\|+\| A_0B_n\|\\ &<\| A-A_0\|+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon \end{aligned} $$
となる。ゆえに $\lim_{n\rightarrow\infty}\| S(T+in)^{-1}\|=0$ が成り立つ。

• $(1)$　 補題2 より任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $\| S(T+in)^{-1}\|<\epsilon$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって任意の $v\in D(T)$ に対し、
  $$ \| Sv\|\leq\| S(T+in)^{-1}(T+in)v\| \leq \epsilon\| Tv\|+n\| (S+in)^{-1}\|\| v\| $$
  であるので、$\epsilon\in (0,1)$ の任意性より $S$ は $T$ に対して無限小である。
• $(2)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} S(T+S+in)^{-1}-S(T+in)^{-1}&=S(T+S+in)^{-1}((T+in)-(T+S+in))(T+in)^{-1}\\ &=-S(T+S+in)^{-1}S(T+in)^{-1} \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ S(T+S+in)^{-1}(1+S(T+in)^{-1})=S(T+in)^{-1}\quad\quad(*) $$
  である。 補題2 より十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
  $$ \| S(T+in_0)^{-1}\|<1 $$
  となるので、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より、
  $$ 1+S(T+in_0)^{-1}\in {\rm GL}(\mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
  である。よって $(*)$ より、
  $$ S(T+S+in_0)^{-1}=S(T+in_0)^{-1}(1+S(T+in_0)^{-1})^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H}) $$
  であるから、$S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトである。
• $(3)$　任意の $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ を取る。 定理1 より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| (T-\lambda)u_n\|=0$ かつ $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ となるものが取れる。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &(\lambda-(T+S))u_n=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}(T-i)u_n\\ &=(\lambda-T)u_n-S(T-i)^{-1}((T-\lambda)u_n+(\lambda-i)u_n)\quad\quad(**) \end{aligned} $$
  であり、$S$ は $T$ に対して相対コンパクトであるので $S(T-i)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、 定理7 より、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| S(T-i)^{-1}u_n\|=0 $$
  である。よって $(**)$ より、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| (\lambda-(T+S))u_n\|=0 $$
  であるから、 定理1 より $\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T+S)$ である。ゆえに、
  $$ \sigma_{\rm ess}(T)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S) $$
  が成り立つ。$(2)$ より $-S$ は $T+S$ に対して相対コンパクトであるので、上の結果より、
  $$ \sigma_{\rm ess}(T+S)\subset \sigma_{\rm ess}(T+S-S)=\sigma_{\rm ess}(T) $$
  も成り立つ。よって $\sigma_{\rm ess}(T)=\sigma_{\rm ess}(T+S)$ が成り立つ。