Hilbert空間上の作用素論20：反線形作用素

命題1 の証明と全く同様である。

• $(1)$　$G(T)$ は実化Hilbert空間 $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の閉部分空間であるので $(\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ の内積により $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間である。$\mathbb{R}$上のHilbert空間 $G(T)$ から $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}_{\mathbb{R}}$ への有界線形作用素
  $$ \pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H}_{\mathbb{R}} $$
  を考える。$\pi$ は単射であるから 命題3 より、
  $$ (\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\} $$
  である。よって、
  $$ \overline{\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})}=( (\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T) $$
  である（ 命題4 ）。そこで、
  $$ D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))\subset D(T) $$
  とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}})$ であるから、
  $$ \overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T) $$
  である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}_{\mathbb{R}}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
  $$ {\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid Tv)={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,Tv))={\rm Re}((u,Tu)\mid \pi^*(w))={\rm Re}(u\mid w)\quad\quad(*) $$
  である。そして $T$ の反線形性より任意の $u\in D(T)$ に対し $(*)$ において $u$ を $iu$ に置き換えたものを考えれば、
  $$ {\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(Tv\mid Tu)={\rm Im}(u\mid w)\quad\quad(**) $$
  を得る。よって $(*),(**)$ を合わせると、
  $$ (u\mid v)+(Tv\mid Tu)=(u\mid w)\quad(\forall u\in D(T)) $$
  となるから、$v\in D(T^*T)$, $w=(1+T^*T)v$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $G(T)=\overline{G(T|_{D})}=\overline{G(T|_{D(T^*T)})}$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
  $$ 0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\| v\|^2+\| Tv\|^2 $$
  であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。
• $(2)$　$(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ (v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty) $$
  なるものが取れる。よって、
  $$ Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)} $$
  であるから、
  $$ {\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)} $$
  が成り立つ。これと 命題1 の $(5)$ より、
  $$ (D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*) $$
  であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
  $$ \overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K} $$
  であるから $T^*$ は稠密に定義された反線形作用素である。$T^*$ が閉であることは 命題1 の $(6)$ による。
• $(3)$　
  $$ (u\mid T^*v)=(v\mid Tu)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T)) $$
  であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と 命題1 の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すには $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間 $G(T^{**})\subset (\mathcal{H}\oplus \mathcal{K})_{\mathbb{R}}$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}$ を取る。
  $$ 0={\rm Re}( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))={\rm Re}(u\mid v)+{\rm Re}(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T)) $$
  であり、$T$ の反線形性より、
  $$ 0={\rm Im}(u\mid v)+{\rm Im}(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T)) $$
  であるから、
  $$ 0=(u\mid v)+(T^{**}v\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T)) $$
  である。よって、
  $$ v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**}) $$
  であり、
  $$ 0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v $$
  である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))_{\mathbb{R}}^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。
• $(4)$　$(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
  $$ (u\mid T^*Tv)=(Tv\mid Tu)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T)) $$
  であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
  $$ (1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v $$
  なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset (1+T^*T)^*$ なので、
  $$ (1+T^*T)^*(w-v)=0 $$
  である。よって 命題1 の $(5)$ より、
  $$ w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\} $$
  である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。

まず任意の有界反線形作用素 $T\colon\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ に対し、
$$ \| T\|^2=\sup\{\| Tv\|^2:v\in \mathcal{H},\| v\|\leq1\} =\sup\{(v\mid T^*Tv):v\in \mathcal{H},\| v\|\leq1\}\leq \| T^*T\|\leq\| T^*\|\| T\| $$
であるから、$\| T\|\leq \| T^*\|\leq \| T\|$であり、$\| T\|^2=\| T^*T\|$ が成り立つ。よって、
$$ \| V(1-V^*V)\|^2=\| (1-V^*V)V^*V(1-V^*V)\|=0 $$
であるから、$V=VV^*V$ が成り立ち、$VV^*=VV^*VV^*$ であるから、$VV^*$ は射影作用素である。ゆえに $V^*$ は反線形部分等長作用素である。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$V^*V$ は射影作用素であるから $\mathcal{K}={\rm Ran}(V^*V)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であり、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ \| Vv\|^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=(v\mid v)=\| v\|^2 $$
であり、任意の $v\in \mathcal{K}^{\perp}$ に対し、
$$ \| Vv\|^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv)=0 $$
である。よって、
$$ \| Vv\|=\| v\|\quad(\forall v\in \mathcal{K}),\quad \mathcal{K}^{\perp}\subset {\rm Ker}(V) $$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(V)$ に対し、
$$ v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H} $$
と直交分解すると、$\| Vv_1\|=\| v_1\|$, $Vv_2=0$ であるから、
$$ 0=\| Vv\|=\| Vv_1+Vv_2\|=\| Vv_1\|=\| v_1\|. $$
よって $v=v_2\in \mathcal{K}^{\perp}$ であるから ${\rm Ker}(V)=\mathcal{K}^{\perp}$ である。ゆえに $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ (v\mid v)=\| v\|^2=\| Vv\|^2=(Vv\mid Vv)=(v\mid V^*Vv) $$
であるから任意の $u,v\in \mathcal{K}$ に対し、
$$ (u\mid v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid i^ku+v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(V(i^ku+v)\mid V(i^ku+v))= (Vv\mid Vu) $$
である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ u=u_1+u_2,\quad v=v_1+v_2\in \mathcal{K}\oplus \mathcal{K}^{\perp}=\mathcal{H} $$
と直交分解すると、
$$ (u\mid V^*Vv)=(Vv\mid Vu)=(Vv_1\mid Vu_1)=(u_1\mid v_1)=(u\mid v_1) $$
である。ゆえに $V^*Vv=v_1$ であるから $V^*V$ は $\mathcal{K}$ の上の射影作用素であり、$V$ は反線形部分等長作用素である。

$T^*T=\lvert T\rvert^2$ であるから、 定理2 と 定理2 の $(1)$ より $D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2)$ は、$T,\lvert T\rvert$ の共通の芯である。
$$ D\colon=D(T^*T)=D(\lvert T\rvert^2) $$
とおく。任意の $v\in D$ に対し、
$$ \| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)=(v\mid \lvert T\rvert^2v)=(\lvert T\rvert v\mid \lvert T\rvert v)=\| \lvert T\rvert v\|^2 $$
であるから、
$$ V_0\colon\lvert T\rvert(D)\ni \lvert T\rvert v\mapsto Tv\in \mathcal{H} $$
なる等長反線形作用素が定義できる。 命題3 と同様にして $V_0$ は等長反線形作用素
$$ V_1\colon\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}\rightarrow\mathcal{H} $$
に一意拡張できる。（$\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}=\overline{\lvert T\rvert(D)}$ であることは $D$ が $\lvert T\rvert$ の芯であることによる。）そこでHilbert空間 $\mathcal{H}$ の直交分解
$$ \mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\quad\quad(*) $$
を考えて、
$$ V\colon\mathcal{H}=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}\oplus ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}\ni v+u\mapsto V_1v\in \mathcal{H} $$
として有界反線形作用素 $V\colon \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ を定義する。このとき、
$$ \| Vv\|=\| v\|\quad(\forall v\in \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}),\quad Vu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}) $$
であるから、 命題4 より $V$ は反線形部分等長作用素で、$V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素、すなわち $V^*V=S(\lvert T\rvert)$ である。そして、
$$ V\lvert T\rvert v=V_1\lvert T\rvert v=V_0\lvert T\rvert v=Tv\quad(\forall v\in D)\quad\quad(**) $$
である。任意の $v\in D(\lvert T\rvert)$ を取る。$D$ は $\lvert T\rvert$ の芯であるので $D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ (v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長反線形作用素であることから、
$$ \| Tv_n-Tv_m\|=\| V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\| =\| \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\|\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
である。よって $(T v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$T$ が閉であることから、
$$ (v_n,T v_n)\rightarrow (v,T v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
である。これより、
$$ V\lvert T\rvert v=\lim_{n\rightarrow\infty}V\lvert T\rvert v_n=\lim_{n\rightarrow\infty} Tv_n=Tv $$
であるから $V\lvert T\rvert\subset T$ が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D(T)$ を取り、$v\in D(\lvert T\rvert)$ が成り立つことを示せばよい。$D$ は $T$ の芯であるので、$D$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ (v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty) $$
なるものが取れる。$(**)$ と $V_0$ が等長線形作用素であることから、
$$ \| \lvert T\rvert v_n-\lvert T\rvert v_m\| =\| V_0\lvert T\rvert v_n-V_0\lvert T\rvert v_m\| =\| Tv_n-Tv_m\|\rightarrow0\quad(n,m\rightarrow\infty) $$
である。よって $(\lvert T\rvert v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するので、$\lvert T\rvert$ が閉であることから、
$$ (v_n,\lvert T\rvert v_n)\rightarrow (v,\lvert T\rvert v)\quad(n\rightarrow\infty) $$
である。これより $v\in D(\lvert T\rvert)$ であるから $V\lvert T\rvert=T$ が成り立つ。以上で存在が示せた。
一意性を示す。$V,W\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ がそれぞれ反線形部分等長作用素であり、
$$ V^*V=S(\lvert T\rvert)=W^*W,\quad V\lvert T\rvert=T=W\lvert T\rvert $$
を満たすとする。 命題4 より、
$$ Vu=Wu=0\quad(\forall u\in ({\rm Ran}(\lvert T\rvert))^{\perp}) $$
である。また、
$$ V\lvert T\rvert v=Tv=W\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in \mathcal{H}) $$
であるから、$V$ と $W$ は ${\rm Ran}(\lvert T\rvert)$ 上で一致する。$V,W$ の連続性より $V,W$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上でも一致するから、$(*)$ より $V=W$ である。

定理2 の $(3)$ より $T=T^{**}$ であるから、
$$ \lvert T^*\rvert=\sqrt{TT^*} $$
である。$V^*V=S(\lvert T\rvert)$ より $V^*V\lvert T\rvert=\lvert T\rvert$ であり、 命題1 の $(9)$ より、$T^*=(V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*$ であるから、
$$ (V\lvert T\rvert V^*)(V\lvert T\rvert V^*)=(V\lvert T\rvert)(V^*V\lvert T\rvert V^*) =(V\lvert T\rvert)(\lvert T\rvert V^*)=TT^*=\lvert T^*\rvert^2\quad\quad(*) $$
である。そして 命題1 の $(9)$ より、
$$ (V\lvert T\rvert V^*)^*=(VT^*)^*=T^{**}V^*=TV^*=V\lvert T\rvert V^* $$
であるから $V\lvert T\rvert V^*$ は自己共役作用素であり、
$$ (v\mid V\lvert T\rvert V^*v)=(\lvert T\rvert V^*v\mid V^*v)\geq0\quad(\forall v\in D(V\lvert T\rvert V^*)) $$
であるから、 命題6 より $V\lvert T\rvert V^*$ は非負自己共役作用素である。よって $(*)$ と 命題5 より、
$$ \lvert T^*\rvert=V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(**) $$
が成り立つ。これより、
$$ V^*\lvert T^*\rvert=V^*V\lvert T\rvert V^*=\lvert T\rvert V^*=(V\lvert T\rvert)^*=T^* $$
であり、
$$ VV^*\lvert T^*\rvert=VT^*=V\lvert T\rvert V^*=\lvert T^*\rvert $$
である。よって 命題1 より、
$$ S(\lvert T^*\rvert)\leq VV^* $$
が成り立つ。この逆の不等式を示す。
$$ \lvert T^*\rvert=S(\lvert T^*\rvert)\lvert T^*\rvert $$
であるから、$(**)$ より、
$$ V\lvert T\rvert V^*=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert V^*\quad\quad(***) $$
である。
$$ \lvert T\rvert=\lvert T\rvert^*=(V^*V\lvert T\rvert)^*=\lvert T\rvert V^*V $$
であるから $(***)$ の両辺に右から $V$ を掛ければ、
$$ V\lvert T\rvert=S(\lvert T^*\rvert)V\lvert T\rvert $$
を得る。ゆえに、
$$ VS(\lvert T\rvert)=S(\lvert T^*\rvert)VS(\lvert T\rvert) $$
が成り立つ。$VS(\lvert T\rvert)=VV^*V=V$ より、
$$ V=S(\lvert T^*\rvert)V $$
であり、両辺に右から $V^*$ を掛けて、
$$ VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^* $$
を得る。これより、
$$ VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*=S(\lvert T^*\rvert)VV^*S(\lvert T^*\rvert)\leq S(\lvert T^*\rvert) $$
であるから、$VV^*=S(\lvert T^*\rvert)$ が成り立つ。

$UEU^*$ が射影値測度の 定義2 を満たすことは自明である。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（ 命題6 ）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$ \begin{aligned} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\| \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\|^2\\ &=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\| \left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right\|^2 =\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\ &=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x) \end{aligned} $$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$ \begin{aligned} &\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\right)U^*v\right) =\left(u\mid U\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)U^*v\right) \end{aligned} $$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。

命題1 と同様にして示せる。

任意の $v_{\pm}\in ({\rm Ran}(T\pm i))^{\perp}$ に対し、
$$ (Jv_{\pm}\mid (T\mp i)u)=(J(T\mp i)u\mid v_{\pm})=((T\pm i)Ju\mid v_{\pm})=0\quad(\forall u\in D(T)) $$
であるから、
$$ J({\rm Ran}(T+i))^{\perp}=({\rm Ran}(T-i))^{\perp} $$
である。これより $({\rm Ran}(T+i))^{\perp}$ のCONSを $(e_k)_{k\in K}$ とすると、$(Je_k)_{k\in K}$ は $({\rm Ran}(T-i))^{\perp}$ のCONSなので、ユニタリ作用素
$$ V\colon ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow ({\rm Ran}(T-i))^{\perp},\quad Ve_k=Je_k\quad(\forall k\in K) $$
が取れる。よって 定理5 より $T$ は自己共役拡張 $S$ で、そのCayley変換 $C(S)$ が、
$$ C(S)=C(\overline{T})\oplus V\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\oplus ({\rm Ran}(T+i))^{\perp}\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i)\oplus ({\rm Ran}(T-i))^{\perp} $$
である様なものが取れる。今、$S$ が $J$ に関して実であることを示す。まず、
$$ JV^*Je_k=Je_k=Ve_k\quad(\forall k\in K) $$
であるから、
$$ JV^*J=V $$
である。またHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}+i)$ からHilbert空間 ${\rm Ran}(\overline{T}-i)$ へのユニタリ作用素
$$ C(\overline{T})=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}+i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}-i) $$
の共役作用素
$$ C(\overline{T})^*=(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}\colon {\rm Ran}(\overline{T}-i)\rightarrow {\rm Ran}(\overline{T}+i) $$
に対し、 命題8 より、
$$ JC(\overline{T})^*J=J(\overline{T}+i)(\overline{T}-i)^{-1}J=(\overline{T}-i)(\overline{T}+i)^{-1}=C(\overline{T}) $$
である。よって、
$$ JC(S)^*J=(JC(\overline{T})^*J)\oplus(JV^*J)=C(\overline{T})\oplus V=C(S) $$
が成り立つ。ここで $S$ のスペクトル測度を $E_S\colon \mathcal{B}_{\sigma(S)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とすると、 命題7 より、
$$ C(S)=JC(S)^*J=J\left(\int_{\sigma(S)}(s+i)(s-i)^{-1}dE_S(s)\right)J=\int_{\sigma(S)}(s-i)(s+i)^{-1}d(JE_SJ)(s) $$
であり、右辺は自己共役作用素
$$ \int_{\sigma(S)}sd(JE_SJ)(s)=J\left(\int_{\sigma(S)}sdE_S(s)\right)J=JSJ $$
のCayley変換 $C(JSJ)$ である。よって $C(S)=C(JSJ)$ なので 命題3 より $S=JSJ$ である。ゆえに $S$ は $J$ に関して実である。