Hilbert空間上の作用素論14：離散・真性スペクトルとmin–max原理

任意の $t\in \sigma(T)$ と $\delta\in (0,\infty)$ に対し $\sigma(T)$ における中心 $t$、半径 $\delta$ の開球を、
$$ B_{\sigma(T)}(t,\delta)=\{s\in \sigma(T):\lvert s-t\rvert<\delta\} $$
と表す。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。もし $\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ならば ${\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)=\infty$ であるので ${\rm Ker}(\lambda-T)$ のONS $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。このとき 補題9 より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であり、$(\lambda-T)e_n=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であるから $(2)$ が成り立つ。$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないとすると、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$ 0<\lvert \lambda_{n+1}-\lambda\rvert<\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*) $$
なるものが取れる。
$$ \epsilon_{n}\colon=\frac{1}{3}\lvert\lambda_n-\lambda\rvert\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
とおく。このとき、
$$ B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)=\emptyset\quad(n\neq m)\quad\quad(**) $$
が成り立つ。実際、$n< m$ で $t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)\cap B_{\sigma(T)}(\lambda_m,\epsilon_m)$ が存在するとすると、
$$ 2\epsilon_n\geq \lvert t-\lambda_n\rvert+\lvert t-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda_m\rvert\geq \lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\lvert \lambda_m-\lambda\rvert>\lvert\lambda_n-\lambda\rvert-\epsilon_n=2\epsilon_n $$
となり、矛盾する。よって $(**)$ が成り立つ。 命題4 の $(7)$ より単位ベクトル
$$ e_n\in {\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
が取れて、$(**)$ より $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はONSなので、 補題9 より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ である。そして $(*)$ より、
$$ \begin{aligned} \| (\lambda-T)e_n\|&\leq \| (\lambda-T)E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n))\|\leq \sup_{t\in B_{\sigma(T)}(\lambda_n,\epsilon_n)}\lvert \lambda-t\rvert\leq \lvert \lambda-\lambda_n\rvert+\epsilon_n\\ &=\frac{4}{3}\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\frac{4}{3^n}\lvert\lambda-\lambda_1\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$
である。よって $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(3)$ を示す。$(2)$ が成り立つとし、$(2)$ の条件を満たす単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \begin{aligned} \| (\lambda-T)u_n\|^2&=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\geq \int_{\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon)}\lvert\lambda-t\rvert^2dE^T_{u_n,u_n}(t)\\ &\geq \epsilon^2\| E^T(\sigma(T)\backslash B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\|^2\\ &=\epsilon^2\| u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\|^2\quad(\forall n\in\mathbb{N}) \end{aligned} $$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| (\lambda-T)u_n\|=0$ より、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))u_n\|=0\quad(\forall \epsilon\in (0,\infty))\quad\quad(***) $$
である。もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))<\infty$ が成り立つならば、$E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))$ は有限階作用素なので、$\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ であることと、 補題6 より、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\|=0 $$
が成り立つ。これを $(***)$ と合わせると、
$$ 1=\| u_n\|\leq \| u_n-E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\|+\| E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon_0))u_n\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
となるので矛盾する。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し ${\rm dim}{\rm Ran}E^T(B_{\sigma(T)}(\lambda,\epsilon))=\infty$
であるから $(3)$ が成り立つ。
$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。もし $(1)$ が成り立たないならば、$\lambda$ は $T$ の離散固有値であるから、$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点であり、
$$ {\rm dim}E^T(\{\lambda\})=\dim {\rm Ker}(\lambda-T)<\infty\quad\quad(****) $$である。$\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点なので、$\{\lambda\}$ は $\lambda$ を含む開集合であるから、$(****)$ は $(3)$ が成り立つことに矛盾する。よって $(1)$ が成り立つ。

$\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ は孤立点のみからなるLindelöf空間であるから可算集合である。よって $T$ のスペクトル測度 $E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ に対し、
$$ 1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\}) $$
が成り立つ。そして 命題4 の $(5)$ より ${\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)$ であるから、 命題4 より、
$$ E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in \sigma(T)) $$
である。よって、
$$ 1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in \sigma(T)}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j},\quad $$
が成り立つ。

• $(1)$　$\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。このとき 定理1 より $D(T)$ の単位ベクトルの列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ であり、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| (\lambda-T)u_n\|=0$ を満たすものが取れる。$(\lambda_0-T)^{-1}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから 定理7 の $(2)$ より、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| (\lambda_0-T)^{-1}u_n\|=0\quad\quad(*) $$
  である。ここで、
  $$ (\lambda_0-T)u_n=(\lambda_0-\lambda)u_n+(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であるから、
  $$ u_n=(\lambda_0-\lambda)(\lambda_0-T)^{-1}u_n+(\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  である。よって $(*)$ より、
  $$ 1=\| u_n\|\leq \lvert\lambda_0-\lambda\rvert\| (\lambda_0-T)^{-1}u_n\|+\| (\lambda_0-T)^{-1}(\lambda-T)u_n\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
  となり矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm ess}(T)=\emptyset$　であるから $T$ は純粋に離散的なスペクトルを持つ。
• $(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、 命題4 の $(8)$ より、
  $$ e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\} $$
  であり、$e^{\alpha T}\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから、 定理13 の $(2)$ より $e^{\alpha\lambda}$ は $\sigma(e^{\alpha T})$ の孤立点である。よって $\sigma(T)\ni \lambda\mapsto e^{\alpha \lambda}\in \sigma(e^{\alpha T})\backslash \{0\}$ の連続性より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、十分小さい $\epsilon\in (0,\infty)$ を取れば、$\lambda'\in \sigma(T)$ について、
  $$ \lvert\lambda'-\lambda\rvert<\epsilon\quad\Leftrightarrow\quad e^{\alpha\lambda'}=e^{\alpha\lambda}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda'=\lambda $$
  である。よって任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。 命題4 の $(3)$ より、任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し、
  $$ {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ran}E^T(\{t\in \sigma(T):e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha t}=0\})={\rm Ker}(e^{\alpha \lambda}-e^{\alpha T}) $$
  であるから、 定理13 の $(1)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(e^{\alpha\lambda}-e^{\alpha T})<\infty $$
  である。よって $\lambda$ は $T$ の離散固有値なので $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。

$$ \mu_1(T)\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{H},\| u\|=1\}, $$
$$ \mu_n(T)\colon=\sup_{v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}}\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\quad(n=2,\ldots,N) $$
とおく。 定理13 より $T$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$ で、
$$ Te_j=\lambda_je_j\quad(j=1,\ldots,N) $$
なるものが取れる。$\lambda_1=(e_1\mid Te_1)$ であり、任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{N}\alpha_je_j\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_1\sum_{j=1}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_1\| u\|^2=\lambda_1 $$
であるから $\lambda_1=\mu_1(T)$ が成り立つ。任意の $n\in \{2,\ldots,N\}$ を取る。任意の単位ベクトル $u=\sum_{j=n}^{N}\alpha_je_j\in\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp}$ に対し、
$$ (u\mid Tu)=\sum_{j=n}^{N}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\geq\lambda_n\sum_{j=n}^{N}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\| u\|^2=\lambda_n $$
であるから、
$$ \mu_n(T)\geq \inf\{(u\mid Tu):u\in \{e_1,\ldots,e_{n-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\geq\lambda_n $$
である。また任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N$ が張る部分空間は $N-1$ 次元以下であるから、単位ベクトル $u=\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_je_j\in \{v_1,\ldots,v_{n-1},e_{n+1},\ldots,e_N\}^{\perp}$ が取れ、
$$ (u\mid Tu)=\sum_{j=1}^{n}\lambda_j\lvert\alpha_j\rvert^2\leq \lambda_n\sum_{j=1}^{n}\lvert\alpha_j\rvert^2=\lambda_n\| u\|^2=\lambda_n $$
である。よって任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し $\inf\{(u\mid Tu):u\in \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\leq \lambda_n$ であるから $\mu_n(T)\leq \lambda_n$、よって $\lambda_n=\mu_n(T)$ である。

$E^T\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とする。$(2)$ が成り立つならば $\sigma(T)\subset \mathbb{R}$ は閉集合であることから最小値 ${\rm min}(\sigma(T))\in\mathbb{R}$ が存在し、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$ (u\mid Tu)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq {\rm min}(\sigma(T))E^T_{u,u}(\sigma(T))={\rm min}(\sigma(T))\| E^T(\sigma(T))u\|^2={\rm min}(\sigma(T)) $$
である。よって $(1)$ が成り立ち、
$$ \inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\| u\|=1\}\geq {\rm min}(\sigma(T)) $$
である。逆に $(1)$ が成り立つとし、$\lambda_0\colon=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\| u\|=1\}$ とおけば、任意の単位ベクトル $u\in D(T)$ に対し、
$$ (u\mid (T-\lambda_0)u)=(u\mid Tu)-\lambda_0\geq 0 $$
であるから 命題6 より $T-\lambda_0$ は非負自己共役作用素である。よって、
$$ \{\lambda-\lambda_0:\lambda\in \sigma(T)\}=\sigma(T-\lambda_0)\subset [0,\infty) $$
であるから $(2)$ が成り立ち、
$$ {\rm min}(\sigma(T))\geq\lambda_0=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\| u\|=1\} $$
である。ゆえに $(1)\Leftrightarrow(2)$ であり、$(1),(2)$ が成り立つとき $(*)$ が成り立つ。

$\mathcal{H}$ の有限次元部分空間 ${\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ の上への射影作用素を $P\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。もし、
$$ D\ni v\mapsto Pv\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}\quad\quad(**) $$
が単射ならば ${\rm dim}(D)\leq n$ となるので $(**)$ は単射ではない。よって $v\in D\backslash \{0\}$ で $Pv=0$ を満たすものが存在する。$Pv=0$ は $v\in \{v_1,\ldots,v_n\}^{\perp}$ であることと同値であるので $(*)$ が成り立つ。

• $(1)$　
  $$ \mu_1(T)=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{0\}^{\perp},\| u\|=1\}\leq \mu_2(T) $$
  であり、$2$ 以上の任意の自然数 $n$ と任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in {\cal H}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\inf\{(u\mid Tu): u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\\ &=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1},0\}^{\perp},\| u\|=1\}\leq \mu_{n+1}(T) \end{aligned} $$
  であるから $\mu_n(T)\leq \mu_{n+1}(T)$ である。
• $(2)$　対偶を示す。もし、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))> n-1 $$
  ならば、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し 補題6 より単位ベクトル
  $$ u_0\in {\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp} $$
  が取れる。$(-\infty,\alpha]\cap \sigma(T)$ は有界であるから $u_0\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}$ であり、
  $$ \inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}\}\leq (u_0\mid Tu_0)=\int_{(-\infty,\alpha]\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u_0,u_0}(\lambda)\leq\alpha $$
  である。$v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ は任意であるので $\mu_n(T)\leq \alpha$ である。よって対偶が成り立つ。
• $(3)$　対偶を示す。もし、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))< n $$
  ならば、ある $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ {\rm Ran}E^T((-\infty,\alpha]\cap \sigma(T))={\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\} $$
  と表せる。このとき、
  $$ \{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}={\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T)) $$
  であるから、任意の単位ベクトル
  $$ u\in D(T)\cap\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}^{\perp}=D(T)\cap {\rm Ran}E^T((\alpha,\infty)\cap \sigma(T)) $$
  に対し、
  $$ (u\mid Tu)=\int_{(\alpha,\infty)\cap\sigma(T)}\lambda dE^T_{u,u}(\lambda)\geq \alpha $$
  である。よって $\mu_n(T)\geq \alpha$ であるので対偶が成り立つ。
• $(4)$　背理法で示す。もしある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)=\infty$ であるならば、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し $m<\mu_n(T)$ であるから、$(2)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))\leq n-1\quad(\forall m\in\mathbb{N}) $$
  である。これより十分大きい $m_0\in\mathbb{N}$ を取れば、
  $$ {\rm Ran}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0) $$
  が成り立つので、
  $$ E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))\quad(\forall m\geq m_0) $$
  が成り立つ。よって、
  $$ 1=E^T(\sigma(T))={\rm SOT-}\lim_{m\rightarrow\infty}E^T((-\infty,m]\cap \sigma(T))=E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T)) $$
  であるから、
  $$ {\rm Ran}E^T((-\infty,m_0]\cap \sigma(T))=\mathcal{H} $$
  を得るが、左辺は有限次元で右辺は無限次元であるので矛盾する。よって任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu_n(T)<\infty$ である。
• $(5)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の正数 $\epsilon\in (0,\infty)$ を取る。$(4)$ より $\mu_n(T)-\epsilon<\mu_n(T)<\mu_n(T)+\epsilon$ であるから $(2)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n-1, $$
  $(3)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\geq n $$
  である。よって、
  $$ \begin{aligned} &{\rm dim}{\rm Ran}E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))\\ &={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T)) -{\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_n(T)-\epsilon]\cap \sigma(T))\\ &\geq n-(n-1)=1 \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ E^T((\mu_n(T)-\epsilon,\mu_n(T)+\epsilon)\cap \sigma(T))>0\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall \epsilon\in (0,\infty)), $$
  したがって、
  $$\mu_n(T)\in {\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\sigma(T)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  （ 命題4 の $(7)$ を参照）である。

• $(1)$　$\lambda\in \sigma(T)$ が $\lambda< s$ を満たすならば、ある $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
  $$ \lambda<\lambda+\epsilon<\mu_n(T) $$
  となる。よって 補題7 の $(2)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon)\cap \sigma(T))\leq n-1<\infty $$
  であるから、 定理1 より $\lambda\in\sigma_{\rm d}(T)$ である。よって、
  $$ \{\lambda\in\sigma(T):\lambda< s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda< s\}\quad\quad(*) $$
  が成り立つ。$\lambda< s$ なる任意の $\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ を取る。 命題5 より、
  $$ \mu_1(T)={\rm min}(\sigma(T))\leq \lambda< s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T) $$
  であるから、
  $$ \mu_{n_0}(T)\leq \lambda<\mu_{n_0+1}(T)\quad\quad(**) $$
  を満たす $n_0\in\mathbb{N}$ が存在する。 補題7 の $(5)$ と $(*)$ より $\mu_{n_0}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから $\mu_{n_0}(T)$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。よってある $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
  $$ (-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap\sigma(T)=(-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T) $$
  となるので、 補題7 の $(3)$ より、
  $$ \begin{aligned} n_0&\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)+\delta)\cap \sigma(T))\\ &={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T)) \end{aligned} $$
  であり、$(**)$ と 補題7 の $(2)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0 $$
  であるから、
  $$ n_0\leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T)) \leq {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T))\leq n_0 $$
  である。よって、
  $$ {\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{n_0}(T)]\cap \sigma(T))={\rm Ran}E^T((-\infty,\lambda]\cap \sigma(T)) $$
  であるから、
  $$ E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0 $$
  である。もし $\mu_{n_0}(T)<\lambda$ ならば $\lambda\in (\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T)$ であり、$\lambda\in \sigma_{\rm d}(T)$ であるから、
  $$ 0< E^T(\{\lambda\})\leq E^T((\mu_{n_0}(T),\lambda]\cap \sigma(T))=0 $$
  となり矛盾する。よって $\mu_{n_0}(T)=\lambda$ である。これより、
  $$ \{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda< s\}\subset\{\mu_n(T):\mu_n(T)< s\} $$
  が成り立つ。ゆえに 補題7 の $(5)$ と $(*)$ より、
  $$ \{\lambda\in \sigma(T):\lambda< s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda< s\}=\{\mu_n(T):\mu_n(T)< s\} $$
  が成り立つ。
• $(2)$　$s=\infty$ ならば、$(1)$ より $\sigma(T)=\sigma_{\rm d}(T)$ である。$s<\infty$ であるとする。$\sigma(T)$ が閉であることと 補題7 の $(5)$ より $s=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_n(T)\in \sigma(T)$ である。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。
  $$ \mu_n(T)< s+\epsilon\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であるから、 補題7 の $(3)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty $$
  である。また $s-\epsilon<\mu_{n_0}(T)$ なる $n_0\in \mathbb{N}$ が存在するので 補題7 の $(2)$ より、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,s-\epsilon]\cap \sigma(T))\leq n_0-1<\infty $$
  である。よって、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((s-\epsilon,s+\epsilon)\cap \sigma(T))=\infty\quad(\forall \epsilon\in(0,\infty)) $$
  であるから、 定理1 より $s\in \sigma_{\rm ess}(T)$ である。$(1)$ より、
  $$ \{\lambda\in \sigma_{\rm ess}(T):\lambda< s\}\subset \sigma_{\rm ess}(T)\cap \sigma_{\rm d}(T)=\emptyset $$
  であるから $s={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(T))$ である。
• $(3)$　 補題7 の $(1)$ より $(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ は単調増加列であり $\mu_n(T)< s$ $(\forall n\in\mathbb{N})$、$s=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(T)$ であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n< k$、$\mu_{n}(T)<\mu_{k}(T)$ なる $k\in\mathbb{N}$ が取れる。そこで $k(1)=1$ とし、$k(n)\in \mathbb{N}$ が定まったとき、$k(n)< k$、$\mu_{k(n)}(T)<\mu_k(T)$ を満たす最小の $k\in \mathbb{N}$ を $k(n+1)$ と定義する。こうして$(\mu_n(T))_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(\mu_{k(n)}(T))_{n\in \mathbb{N}}$ を帰納的に定義する。このとき、
  $$ \mu_{k(n)}(T)<\mu_{k(n+1)}(T)\quad(\forall n\in \mathbb{N}),\quad \{\mu_n(T):n\in \mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in \mathbb{N}\} $$
  である。$(1)$ より、
  $$ \{\lambda\in \sigma(T):\lambda< s\}=\{\lambda\in \sigma_{\rm d}(T):\lambda< s\}=\{\mu_n(T):n\in\mathbb{N}\}=\{\mu_{k(n)}(T):n\in\mathbb{N}\} $$
  であるから、$s$ より小さい離散固有値は無限個存在する。$(\mu_n(T))_{n\in\mathbb{N}}$ が $s$ より小さい $T$ の離散固有値を重複度を込めて下から並べたものであることを示すには、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})=k(n+1)-k(n)\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(****) $$
  が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ を取る。
  $$ \mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)<\mu_{k(n+1)}(T) $$
  であることと、$\mu_{k(n)}(T)=\mu_{k(n+1)-1}(T)\in \sigma_{\rm d}(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であることに注意して、 補題7 の $(2),(3)$ を用いれば、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1 $$
  であることが分かる。ここで、
  $$ (-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T)=\bigcup_{j=1}^{n}\{\mu_{k(j)}(T)\} $$
  であるから、
  $$ E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=\sum_{j=1}^{n}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\}) $$
  なので、
  $$ \sum_{j=1}^{n}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})={\rm dim}{\rm Ran}E^T((-\infty,\mu_{k(n)}(T)]\cap \sigma(T))=k(n+1)-1 $$
  である。よって、
  $$ {\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(1)}(T)\})=k(2)-1=k(2)-k(1) $$
  であり、任意の $n\geq 2$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(n)}(T)\})\\ &=\sum_{j=1}^{n}{\rm dim}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})-\sum_{j=1}^{n-1}{\rm dim}{\rm Ran}E^T(\{\mu_{k(j)}(T)\})\\ &=(k(n+1)-1)-(k(n)-1)=k(n+1)-k(n) \end{aligned} $$
  であるから、$(****)$ が成り立つ。

命題4 より、
$$ \begin{aligned} \mu_1(T)&=\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T),\| u\|=1\}\leq \inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K},\| u\|=1\}\\ &=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in\mathcal{K},\| u\|=1\}=\lambda_1 \end{aligned} $$
であり、任意の $n\in\{2,\ldots,N\}$、任意の $v_1,\ldots,v_{n-1}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\inf\{(u\mid Tu):u\in D(T)\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\\ &\leq\inf\{(u\mid Tu):u\in \mathcal{K}\cap \{v_1,\ldots,v_{N-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\\ &=\inf\{(u\mid T_{\mathcal{K}}u):u\in \mathcal{K}\cap \{P_{\mathcal{K}}v_1,\ldots,P_{\mathcal{K}}v_{N-1}\}^{\perp},\| u\|=1\}\leq \lambda_n \end{aligned} $$
であるから、$\mu_{n}(T)\leq \lambda_n$ である。