Hilbert空間上の作用素論8：スペクトル測度とBorel汎関数計算

連続汎関数計算
$$ C(\sigma(T))\ni f\mapsto f(T)\ni C^*(\{1,T\})\subset\mathbb{B}(\mathcal{H}) $$
は単位元を単位元に写す $*$-環準同型写像であるから、射影値測度に関するRiesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理1 ）より、射影値測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ で、
$$ f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\quad(\forall f\in C(\sigma(T))) $$
を満たすものが存在する。特に、
$$ T=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda) $$
である。よって存在が示せた。射影値測度 $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が、
$$ \int_{\sigma(T)}\lambda dE(\lambda)=T=\int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda) $$
を満たすとする。恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in \mathbb{C}$ に対し、Stone-Weierstrassの定理（ 定理17 ）より、
$$ C(\sigma(T))=\overline{\text{span}\left\{\overline{\rm id}^n{\rm id}^m:n,m\in\mathbb{Z}_+\right\}} $$
であるから、任意の $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$ \int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE(\lambda)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dF(\lambda) $$
が成り立つ。ここで $\sigma(T)$ は第二可算コンパクトHausdorff空間であるから 注意 より $E,F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は自動的にRadon射影値測度である。ゆえに 定理1 より $E=F$ である。これで一意性が示せた。

$$ C\colon\mathbb{R}\ni t\mapsto (t-i)(t+i)^{-1}\in \mathbb{T}\backslash \{1\}\quad\quad(*) $$
は同相写像であり、逆写像は、
$$ C^{-1}\colon\mathbb{T}\backslash \{1\}\ni \lambda\mapsto i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}\in\mathbb{R} $$
である。 定理4 より $T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ は $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素であり、 定理3 より、
$$ C(\sigma(T))=\sigma(C(T))\backslash\{1\}\quad\quad(**) $$
が成り立つ。$C(T)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はユニタリ作用素であるから正規作用素である。そこで $C(T)$ に付随するスペクトル測度（ 定義1 ）を、
$$ F\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}),\quad C(T)=\int_{\sigma(C(T))}\lambda dF(\lambda) $$
とおく。 命題3 より、
$$ 1-C(T)=\int_{\sigma(C(T))}(1-\lambda)dF(\lambda) $$
は単射であるから、 命題4 の $(5)$ より、
$$ \{0\}={\rm Ker}(1-C(T))={\rm Ran} F(\{\lambda\in \sigma(C(T)):1-\lambda=0\})={\rm Ran}F(\sigma(C(T))\cap \{1\}) $$
である。よって $(**)$ より、
$$ F(C(\sigma(T)))=F(\sigma(C(T))\backslash\{1\})=F(\sigma(C(T)))=1 $$
である。これと $(*)$ が同相写像であることから、
$$ E\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto F(C(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(***) $$
は射影値測度である。今、任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ \int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)\quad\quad(****) $$
が成り立つことを示す。$E$ の定義より $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は明らかに成り立つ。また任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（ 命題6 ）ので、$(****)$ は $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n:=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、単調収束定理より、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対して、
$$ \begin{aligned} \int_{\sigma(T)}\lvert f(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert f_n(t)\rvert^2dE_{v,v}(t)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f_n(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda)\\ &=\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}\lvert f(C^{-1}(\lambda))\rvert^2dF_{v,v}(\lambda) \end{aligned} $$
となるから、$D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$ である。よって任意の $v\in D_E(f)=D_F(f\circ C^{-1})$、任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$ \begin{aligned} \left(u\mid \int_{\sigma(T)}f(t)dE(t)v\right)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}f_n(t)dE(t)v\right) =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f_n(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right)\\ &=\left(u\mid \int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF(\lambda)v\right) \end{aligned} $$
となる。これより $(****)$ は任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。 命題3 と 命題4 の $(1),(5)$ より、
$$ \begin{aligned} T&=i(1+C(T))(1-C(T))^{-1}=i\int_{\sigma(\sigma(T))}(1+\lambda)dF(\lambda)\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda)\\ &\subset \int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}i(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}dF(\lambda) =\int_{\sigma(C(T))\backslash\{1\}}C^{-1}(\lambda)dF(\lambda) =\int_{\sigma(T)}tdE(t) \end{aligned} $$
であるので、 命題4 の $(2)$ より、
$$ T\subset \int_{\sigma(T)}tdE(t)=\left(\int_{\sigma(T)}tdE(t)\right)^*\subset T^*=T $$
である。ゆえに、
$$ T=\int_{\sigma(T)}tdE(t) $$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。射影値測度 $E'\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ も、
$$ T=\int_{\sigma(T)}tdE'(t) $$
を満たすとし、$E'=E$（ただし $E$ は $(***)$ によって定義したもの）が成り立つことを示す。射影値測度
$$ F'\colon\mathcal{B}_{\sigma(C(T))}\ni B\mapsto E'(C^{-1}(B))\in\mathbb{P}(\mathcal{H}) $$
を考えると、$(****)$ を示したのと全く同様にして、任意のBorel関数 $g\colon\sigma(C(T))\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ \int_{\sigma(C(T))}g(\lambda)dF'(\lambda)=\int_{\sigma(T)}g(C(t))dE'(t) $$
が成り立つことが分かる。よって 命題4 の $(1),(5)$ より、
$$ \begin{aligned} \int_{\sigma(C(T))}\lambda dF'(\lambda)&=\int_{\sigma(T)}C(t)dE'(t) =\int_{\sigma(T)}(t-i)(t+i)^{-1}dE'(t)\\ &=\int_{\sigma(T)}(t-i)dE'(t)\int_{\sigma(T)}(t+i)^{-1}dE'(t)\\ &=(T-i)(T+i)^{-1}=C(T) \end{aligned} $$
となるので、$C(T)$ のスペクトル測度の一意性（ 命題1 ）より $F'=F$ である。ゆえに任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し、
$$ E'(B)=E'(C^{-1}(C(B)))=F'(C(B))=F(C(B))=E(B) $$
である。よって $E'=E$ であるので一意性が示せた。

$$ F\colon\mathcal{B}_{\sigma(T)}\ni B\mapsto E(f^{-1}(B))\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad\quad(*) $$
とおく。 命題7 より $\sigma(T)={\rm ess.Ran}_E(f)$ であるから、
$$ F(\sigma(T))=E(f^{-1}(\sigma(T)))=E(f^{-1}({\rm ess.Ran}_E(f)))=1 $$
である。よって $F$ は射影値測度である。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ \int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x)\quad\quad(**) $$
が成り立つことを示す。$(*)$ より $g$ がBorel単関数である場合は成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（ 命題6 ）ので、$(**)$ は $g$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$g_n\colon=g\chi_{(\lvert g\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ として $\sigma(T)$ 上の有界Borel関数の列 $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義すると、任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、単調収束定理より、
$$ \begin{aligned} \int_{\sigma(T)}\lvert g(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda) &=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{\sigma(T)}\lvert g_n(\lambda)\rvert^2dF_{v,v}(\lambda) =\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert g_n(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x)\\ &=\int_{X}\lvert g(f(x))\rvert^2dE_{v,v}(x) \end{aligned} $$
であるから、$D_F(g)=D_E(g\circ f)$ であり、任意の $v\in D_F(g)=D_E(g\circ f)$、任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$ \begin{aligned} \left(u\mid \int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)v\right) &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{\sigma(T)}g_n(\lambda)dF(\lambda)v\right) =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}g_n(f(x))dE(x)v\right)\\ &=\left(u\mid \int_{X}g(f(x))dE(x)v\right) \end{aligned} $$
である。これより $(**)$ は任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対して成り立つ。よって特に、
$$ \int_{\sigma(T)}\lambda dF(\lambda)=\int_{X}f(x)dE(x)=T $$
であるから、$F$ は $T$ のスペクトル測度である。よって任意のBorel関数 $g\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$(**)$ より、
$$ g(f(T))=\int_{\sigma(T)}g(\lambda)dF(\lambda)=\int_{X}g(f(x))dE(x) $$
である。

• $(1)$　 命題4 の $(1),(2),(3)$ による。
• $(2)$　 命題4 の $(4)$ による。
• $(3)$　 命題4 の $(5)$ による。
• $(4)$　恒等写像 ${\rm id}\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し 命題7 より、
  $$ \sigma(T)=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)\right) ={\rm ess.Ran}_{E^T}({\rm id})=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty),E^T( (\lvert\lambda-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0\} $$
  である。$\sigma(T)$ の任意の空でない開集合 $U$ を取り、任意の $\lambda_0\in U$ を取る。$U$ が $\sigma(T)$ の開集合であることから、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon)\subset U$ となる。よって、
  $$ E^T(U)\geq E^T( (\lvert \lambda_0-{\rm id}\rvert<\epsilon))>0 $$
  である。
• $(5)$　$\lambda\in\sigma(T)$ に対し 命題4 の $(5)$ より、
  $$ {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ran}E^T( (\lambda-{\rm id}=0))={\rm Ran}E^T(\{\lambda\}) $$
  であるから、
  $$ \sigma_{\rm p}(T)=\{\lambda\in\sigma(T):{\rm Ker}(\lambda-T)\neq\{0\}\} =\{\lambda\in\sigma(T):E^T(\{\lambda\})>0\} $$
  である。
• $(6)$　$\lambda\in\sigma(T)$ が $\sigma(T)$ の孤立点であるならば、$\{\lambda\}$ は $\sigma(T)$ の開集合であるから、$(4)$ より $E^T(\{\lambda\})>0$ である。よって $(5)$ より $\lambda$ は $T$ の固有値である。
• $(7)$　 命題7 より、
  $$ \sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\right) ={\rm ess.Ran}_{E^T}(f)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall\epsilon\in(0,\infty), E^T( (\lvert \lambda-f\rvert<\epsilon))>0\} $$
  である。また 命題4 の $(5)$ より、任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ker}(\lambda-f(T))={\rm Ran}E^T( (f=\lambda))$ であるから、
  $$ \sigma_{\rm p}(f(T))=\{\lambda\in \mathbb{C}:E^T( (f=\lambda))>0\} $$
  である。
• $(8)$　$(4)$ と 系 による。
• $(9)$　 命題3 による。

Borel汎関数計算により、
$$ \sqrt[n]{T}=\int_{\sigma(T)}\sqrt[n]{\lambda}dE^T(\lambda) $$
を考えると、 命題4 の $(1),(8)$ より $\sqrt[n]{T}$ は非負自己共役作用素であり、 命題4 の $(2)$ より、
$$ (\sqrt[n]{T}))^n=\int_{\sigma(T)}(\sqrt[n]{\lambda})^ndE^T(\lambda)=\int_{\sigma(T)}\lambda dE^T(\lambda)=T $$
である。また非負自己共役作用素 $S$ が $S^n=T$ を満たすとすると、 命題4 の $(2), (9)$ より、
$$ \sqrt[n]{T}=\sqrt[n]{S^n}=\int_{\sigma(S)}\sqrt[n]{\lambda^n}dE^S(\lambda)=\int_{\sigma(S)}\lambda dE^S(\lambda)=S $$
である。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとすると、$T=\sqrt{T}^2$ であるから、任意の $v\in D(T)$ に対し、
$$ (v\mid Tv)=(\sqrt{T}v\mid \sqrt{T}v)=\| \sqrt{T}v\|^2\geq0 $$
である。よって $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。任意の $\lambda\in \sigma(T)$ を取る。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\| (\lambda-T)v_{\epsilon}\|<\epsilon\| v_{\epsilon}\|$ を満たすものが存在する。実際、もしある $\epsilon_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \| (\lambda-T)v\|\geq\epsilon_0\| v\|\quad(\forall v\in D(T))\quad\quad(*) $$
が成り立つとすると、${\rm Ker}(\lambda-T)=\{0\}$ であり、$\lambda-T$ が閉線形作用素であることと $(*)$ より ${\rm Ran}(\lambda-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって 命題1 の $(5)$ より、
$$ {\rm Ran}(\lambda-T)=( ({\rm Ran}(\lambda-T))^{\perp})^{\perp}=({\rm Ker}(\lambda-T))^{\perp}=\mathcal{H} $$
であるから、$\lambda-T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射であることになる。これは $\lambda\in \sigma(T)$ であることに矛盾する。ゆえに任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $v_{\epsilon}\in D(T)$ で、$\| (\lambda-T)v_{\epsilon}\|<\epsilon\| v_{\epsilon}\|$ を満たすものが取れる。今、$\lambda\geq0$ であることを示す。もし $\lambda<0$ ならば、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $-\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})\geq0$ であるから、
$$ \epsilon^2\| v_{\epsilon}\|^2>\| (\lambda-T)v_{\epsilon}\|^2 =\lambda^2\| v_{\epsilon}\|^2-2\lambda(v_{\epsilon}\mid Tv_{\epsilon})+\| Tv_{\epsilon}\|^2\geq \lambda^2\| v_{\epsilon}\|^2 $$
となる。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\epsilon>\lvert\lambda\rvert$ となる。これは $\lambda=0$ を意味するので、$\lambda<0$ であることに矛盾する。ゆえに $\lambda\geq0$ である。こうして任意の $\lambda\in \sigma(T)$ に対し $\lambda\geq0$ であるから $\sigma(T)\subset [0,\infty)$ であるので、$T$ は非負自己共役作用素である。