Hilbert空間上の作用素論18：作用素位相とvon Neumann環

定理11 より $(*)$ は等長線形同型写像であり、 注意 より、$\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に $\sigma$-WOTに関して収束することは、任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し ${\rm Tr}(A_{\lambda}T)\rightarrow {\rm Tr}(AT)$ となること、すなわち $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の弱 $*$-位相に関して ${\rm Tr}( A_{\lambda}\cdot)\rightarrow {\rm Tr}(A\cdot )$ となることと同値である。よってネットによる連続性の特徴付け（ ネットによる位相空間論の定理3 ）より、 $(*)$ は $\sigma$-WOTと弱 $*$-位相に関して同相写像である。そしてAlaogluの定理（ 定理1 ）より $(\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ の単位ノルム閉球は弱 $*$-位相でコンパクトであるので $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTコンパクトである。

$$ (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\ni A\mapsto A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1\quad\quad(*) $$
が $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像であること（resp. $\sigma$-SOTとSOTに関して同相写像であること）を示せばよい。 注意 より $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOT（resp. $\sigma$-SOTとSOT）に関して連続である。そして 命題1 より $(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ は $\sigma$-WOTによりコンパクト空間であるから $(*)$ は $\sigma$-WOTとWOTに関して同相写像である。（注：コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相写像である。 Banach環とC*-環のスペクトル理論の補題6.4 を参照。）後は$(*)$ がSOTと $\sigma$-SOTに関して連続であることを示せばよい。
$(\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ がSOTに関して $A\in (\mathbb{B}(\mathcal{H}))_1$ に収束するとする。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ と任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取る。十分大きい $N\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$ \sum_{n\geq N+1}4\| v_n\|^2<\frac{\epsilon}{2} $$
となり、SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ であることから、$\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、
$$ \sum_{n=1}^{N}\|(A_{\lambda}-A)v_n\|^2<\frac{\epsilon}{2}\quad(\forall \lambda\geq \lambda_0) $$
となる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$ \sum_{n\in \mathbb{N}}\| (A_{\lambda}-A)v_n\|^2 \leq\sum_{n=1}^{N}\| (A_{\lambda}-A)v_n\|^2+\sum_{n\geq N+1}4\| v_n\|^2<\epsilon $$
となるので、$\sigma$-SOTに関して $A_{\lambda}\rightarrow A$ が成り立つ。ゆえに $(*)$ はSOTと $\sigma$-SOTに関して連続である。

SOTはWOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ はSOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、 命題1 より有限個の $v_1,\ldots,v_n\in \mathcal{H}$ が取れて、
$$ \bigcap_{j=1}^{n}\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\| Av_j\|<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\} $$
となる。よって、
$$ \lvert\varphi(A)\rvert\leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\| Av_j\|^2}\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
が成り立つので、直和Hilbert空間 $\mathcal{H}^n=\bigoplus_{j=1}^{n}\mathcal{H}$ の部分空間
$$ \mathcal{K}\colon=\{(Av_j)_{j=1,\ldots,n}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\} $$
を考えると、
$$ \psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_j)_{j=1,\ldots,n}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C} $$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（ 定理3 ）より $\psi$ は $\mathcal{H}^n$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_j)_{j=1,\ldots,n}\in \mathcal{H}^n$ を取れば、
$$ \varphi(A)=\psi((Av_j)_{j=1,\ldots,n})=((u_j)_{j=1,\ldots,n}\mid (Av_j)_{j=1,\ldots,n})=\sum_{j=1}^{n}(u_j\mid Av_j)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
となる。これより $\varphi$ はWOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ についてWOT閉であることとSOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（ 系 ）による。

有限個の $v^j=(v^j_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ $(j=1,\ldots,m)$ に対し、
$$ v\colon=(v^1_1,\ldots,v^m_1,v^1_2,\ldots,v^m_2,v^1_3,\ldots,v^m_3,\ldots)\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H} $$
とおけば、$(p_v<1)\subset \bigcap_{j=1}^{m}(p_{v^j}<1)$ となる。このことと 命題1 による。

$\sigma$-SOTは $\sigma$-WOTより強いので、$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとすると $\{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert \varphi(A)\rvert<1\}$ は $\sigma$-SOTに関する $0\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ の近傍であるから、 命題5 より $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ が取れて、
$$ \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\| (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\|<1\}\subset \{A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}):\lvert\varphi(A)\rvert<1\} $$
となる。よって、
$$ \lvert\varphi(A)\rvert\leq \| (Av_n)_{n\in \mathbb{N}}\|\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
が成り立つので、$\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$ の部分空間
$$ \mathcal{K}\colon=\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})\} $$
を考えると、
$$ \psi\colon \mathcal{K}\ni (Av_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \varphi(A)\in \mathbb{C} $$
はwell-definedな有界線形汎関数である。Hahn-Banachの拡張定理（ 定理3 ）より $\psi$ は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ 上のある有界線形汎関数 $\widetilde{\psi}$ に拡張でき、Rieszの定理により $\widetilde{\psi}$ に対応する $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ を取れば、
$$ \varphi(A)=\psi((Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid (Av_n)_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u_n\mid Av_n)\quad(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})) $$
となる。これより $\varphi$ は $\sigma$-WOT連続であるので $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
凸集合 $\mathcal{C}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ について $\sigma$-WOT閉であることと $\sigma$-SOT閉であることが同値であることはHahn-Banachの分離定理の系（ 系 ）による。

• $(1)$　$\mathcal{M}'$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の単位元を含み、加法、スカラー倍、乗法で閉じていることは自明である。任意の $A\in \overline{\mathcal{M}'}^{\rm WOT}$ に対し、WOTに関して $A$ に収束する $\mathcal{M}'$ のネット $(A_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ が取れる（ ネットによる位相空間論の命題2.4 ）。任意の $B\in \mathcal{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ (u\mid ABv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid A_{\lambda}Bv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid BA_{\lambda}v)=(u\mid BAv) $$
  であるから $A\in \mathcal{M}'$ である。よって $\mathcal{M}'$ はWOT閉である。
• $(2)$　任意の $A\in \mathcal{M}'$ と任意の $B\in\mathcal{M}$ に対し、
  $$ A^*B=(B^*A)^*=(AB^*)^*=BA^* $$
  であるから、$A^*\in\mathcal{M}'$ である。
• $(3)$　自明である。
• $(4)$　任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し閉部分空間 $\overline{\mathcal{M}v}$ の上への射影作用素を $P_v\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ とおく。すると、
  $$ A\overline{\mathcal{M}v}\subset \overline{\mathcal{M}v}={\rm Ran}(P_v)\quad(\forall A\in\mathcal{M}) $$
  であるから、
  $$ AP_v=P_vAP_v\quad(\forall A\in \mathcal{M}) $$
  である。よって、
  $$ AP_v=P_vAP_v=(P_vA^*P_v)^*=(A^*P_v)^*=P_vA\quad(\forall A\in\mathcal{M}) $$
  であるから $P_v\in \mathcal{M}'$ である。任意の $A\in \mathcal{M}$、$u\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ (Au\mid (1-P_v)v)=(u\mid (1-P_v)A^*v)=(u\mid A^*v-A^*v)=0 $$
  であり、$\mathcal{M}\mathcal{H}={\rm span}\{Au:A\in \mathcal{M},u\in \mathcal{H}\}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるから $(1-P_v)v=0$、したがって $v=P_vv$ である。よって、
  $$ \mathcal{M}' 'v=\mathcal{M}' 'P_vv=P_v\mathcal{M}' 'v\subset {\rm Ran}(P_v)=\overline{{\mathcal{M}}v} $$
  である。

任意の $v=(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}$, 任意の $i\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ P_i(T-S)v=P_i(T-S)\sum_{j\in \mathbb{N}}Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}P_i(T-S)Q_jv_j=\sum_{j\in \mathbb{N}}(T_{i,j}-S_{i,j})v_j $$
であることによる。

$\mathcal{M}$ は凸集合であるから 命題3 と 命題5 より $\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}$, $\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}$ である。また $\sigma$-WOTはWOTより強く、 命題6 より $\mathcal{M}' '$ は $\mathcal{M}$ を含み、WOT閉であるから、
$$ \overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-WOT}}\subset\overline{\mathcal{M}}^{\text{SOT}}=\overline{\mathcal{M}}^{\text{WOT}}\subset \mathcal{M}' ' $$
である。よって、
$$ \mathcal{M}' '\subset \overline{\mathcal{M}}^{\text{$\sigma$-SOT}}\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。そのためには 補題4 における $\sigma$-SOTに関する $0\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の基本近傍系 $\{(p_v<1)\}_{v\in \bigoplus_{n\in\mathcal{H}}\mathcal{H}}$ を考え、任意の $A\in\mathcal{M}' '$ と任意の $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、
$$ (A+(p_v<1))\cap \mathcal{M}\neq\emptyset\quad\quad(**) $$
が成り立つことを示せばよい。今、$\pi\colon \mathbb{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ を、
$$ \pi(A)(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\colon=(Av_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad\left(\forall A\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall (v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right) $$
として定義する。すると $\pi$ は $*$-環準同型写像であるから $\pi(\mathcal{M})$ は $\mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ の部分 $*$-環である。そして $\mathcal{M}\mathcal{H}$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることから、
$$ \pi(\mathcal{M})\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}={\rm span}\left\{(Av_n)_{n\in\mathbb{N}}:A\in \mathcal{M},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right\} $$
は $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ において稠密である。よって 命題6 の $(4)$ より、
$$ \pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)\quad\quad(***) $$
が成り立つ。今、
$$ \pi(\mathcal{M}' ')\subset \pi(\mathcal{M})' '\quad\quad(****) $$
が成り立つことを示す。$R\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right)$ に対し、 補題7 より、
$$ \begin{aligned} R\in \pi(\mathcal{M})' \quad&\Leftrightarrow\quad R\pi(A)=\pi(A)R\quad(\forall A\in \mathcal{M})\\ &\Leftrightarrow\quad R_{i,j}A=AR_{i,j}\quad(\forall i,j\in \mathbb{N},\forall A\in \mathcal{M})\\ &\Leftrightarrow\quad R_{i,j}\in \mathcal{M}' \quad(\forall i,j\in \mathbb{N}) \end{aligned} $$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$, 任意の $R\in \pi(\mathcal{M})'$ に対し、
$$ AR_{i,j}=R_{i,j}A\quad(\forall i,j\in \mathbb{N}), $$
したがって 補題7 より $\pi(A)R=R\pi(A)$ である。よって $(****)$ が成り立つので、$(***)$ より、
$$ \pi(\mathcal{M}' ')v\subset \pi(\mathcal{M})' 'v\subset \overline{\pi(\mathcal{M})v}\quad\left(\forall v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}\right) $$
であるから、任意の $A\in \mathcal{M}' '$ と任意の $v\in \bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}$ に対し、$B\in \mathcal{M}$ で、
$$ 1>\| \pi(A)v-\pi(B)v\|=p_v(A-B) $$
を満たすものが存在する。$B\in A+(p_v<1)$ であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(*)$ が成り立つ。