Hilbert空間上の作用素論17：Schrödinger作用素への応用

Sobolev空間の基本事項の命題38.1 と 緩増加超関数とFourier変換の命題18.3 より、
$$ \begin{aligned} H^2(\mathbb{R}^N)&=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):(1+\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\} =\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}\\ &=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\mathcal{F}\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\}=\{u\in L^2(\mathbb{R}^N):-\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\} \end{aligned} $$
であり、
$$ -\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^N)\ni u\mapsto -\Delta u\in L^2(\mathbb{R}^N)\quad\quad(*) $$
は、$\lvert{\rm id}\rvert^2\colon \mathbb{R}^N\ni x\mapsto \lvert x\rvert^2\in [0,\infty)$ による掛け算作用素により、
$$ -\Delta =\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F} $$
と表せる。$\lvert {\rm id}\rvert^2$ による掛け算作用素は $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である（注：非負値可測関数の射影値測度による積分は 命題4 の $(2)$ と 命題7 より非負自己共役作用素である。）ので、$(*)$ も $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の非負自己共役作用素である。そして $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)$, $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ である。
命題3 より $\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ であるから $\sigma(-\Delta)=\sigma(\lvert {\rm id}\rvert^2)=[0,\infty)$ である。$\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ を示せすためには $\sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)=\emptyset$ を示せばよい。そこで $\lambda\in \sigma_{\rm p}(\lvert {\rm id}\rvert^2)$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素 $\lvert {\rm id}\rvert^2$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトル $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ を取る（固有ベクトルなので $[g]\neq0$ である）。このとき、
$$ 0=\| (\lambda-\lvert{\rm id}\rvert^2)[g]\|_2^2=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)\rvert^2 dx $$
であるから、
$$ (\lambda-\lvert x\rvert^2)g(x)=0\quad(\text{Lebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$})\quad\quad(**) $$
である。ここで、
$$ \{x\in \mathbb{R}^N:\lambda-\lvert x\rvert^2=0\}\quad\quad(***) $$
は $\lambda=0$ の場合は $\{0\}$ であり、$\lambda>0$ の場合は $\mathbb{R}^N$ 内の $N-1$ 次元多様体（球面）である（注：$h\colon\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ を $h(x)=\lambda-\lvert x\rvert^2$ とおけば $(***)$ の任意の元 $x$ に対し $dh_x=-\sum_{j=1}^{N}2x_jdx_j\neq0$ であるから 定理11 （陰関数定理）より $(**)$ は $\mathbb{R^N}$ 内の $N-1$ 次元多様体である。）ので、 命題9 より $(***)$ のLebesgue測度は $0$ である。ゆえにLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で、$\lvert x\rvert^2\neq\lambda$ であるから、$(**)$ よりLebesgue測度に関して a.e. $x\in \mathbb{R}^N$ で $g(x)=0$ である。これは $[g]\in L^2(\mathbb{R}^N)$ が $0$ であることを意味するので矛盾する。ゆえに $\sigma_{\rm p}(-\Delta)=\emptyset$ である。
今、$E\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ を $L^2(\mathbb{R}^N)$ 上の掛け算作用素を表す射影値測度（ 定義1 ）とすると、
$$ -\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2dE(x)\mathcal{F} $$
であるから、 命題5 より、射影値測度 $\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F}\colon \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(\mathbb{R}^N))$ に対し、
$$ -\Delta=\int_{\mathbb{R}^N}\lvert x\rvert^2d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x) $$
である。よって 命題3 と 命題5 より、
$$ f(-\Delta)=\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)d(\mathcal{F}^{-1}E\mathcal{F})(x) =\mathcal{F}^{-1}\left(\int_{\mathbb{R}^N}f(\lvert x\rvert^2)dE(x)\right)\mathcal{F} =\mathcal{F}^{-1}f(\lvert {\rm id}\rvert^2)\mathcal{F} $$
である。
$f$ が連続関数の場合は 命題4 の $(8)$ より $f(-\Delta)=\overline{f(\sigma(-\Delta))}=\overline{f([0,\infty))}$ である。

Fourier変換 $\mathcal{F}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対し、 命題1 より、
$$ (-\Delta+1)^{-1}=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F} $$
である。$(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であるから、Hölderの不等式より、
$$ (\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in L^1(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$
であり、 緩増加超関数とFourier変換の命題15.3 の $(5)$ より $\mathcal{F}^{-1}(L^1(\mathbb{R}^3))\subset C_0(\mathbb{R}^3)$ であるので、
$$ (-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\in C_0(\mathbb{R}^3)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$
である。今、急減少関数空間 $\mathcal{S}_3$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| V-V_n\|_2=0$ なるものを取る。すると 合成積とFourier変換の定理24.3 と 命題29.3 （Youngの不等式）より $L^2(\mathbb{R}^3)$ において、
$$ \begin{aligned} V(-\Delta+1)^{-1}f&=\lim_{n\rightarrow\infty}V_n(-\Delta+1)^{-1}f =\lim_{n\rightarrow\infty}(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}V_n)\mathcal{F}^{-1}(\lvert {\rm id}\rvert^2+1)\mathcal{F}f\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V_n\right)\\ &=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) \end{aligned} $$
となる。そこで $K\in L^2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$ を、
$$ K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\frac{\mathcal{F}V(x-y)}{\lvert y\rvert^2+1}\quad(\forall (x,y)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3) $$
と定義し、$K$ を積分核とするHilbert-Schmidt積分作用素（ 定理13 ）を $\widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ とおけば、
$$ V(-\Delta+1)^{-1}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\left((\lvert {\rm id}\rvert^2+1)^{-1}\mathcal{F}f\right)*\mathcal{F}V\right)=\mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}f\quad(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^3)) $$
である。Hilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ は $\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3))$ のイデアル（ 命題4 ）であるから、
$$ \mathcal{F}^{-1}\widehat{K}\mathcal{F}\in \mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3)) $$
である。よって、
$$ L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3) $$
はHilbert-Schmidtクラス $\mathbb{B}^2(L^2(\mathbb{R}^3))$ に属する。

補題2 より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ V_n(-\Delta+1)^{-1}\colon L^2(\mathbb{R}^3)\ni f\mapsto V_n(-\Delta+1)^{-1}f\in L^2(\mathbb{R}^3) $$
は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である。
$$ V(-\Delta+1)^{-1}=(V-V_n)(-\Delta+1)^{-1}+V_n(-\Delta+1)^{-1}\in \mathbb{B}(L^2(\mathbb{R}^3)) $$
であり、
$$ \| V(-\Delta+1)^{-1}-V_n(-\Delta+1)^{-1}\|\leq \| V-V_n\|_{\infty}\| (-\Delta+1)^{-1}\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
であるから $V(-\Delta+1)^{-1}$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上のコンパクト作用素である（注：コンパクト作用素環 $\mathbb{B}_0(L^2(\mathbb{R}^3))$ は作用素ノルムで閉であることによる。）よって $V$ は $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。

$(1)$　各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $V_n\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$ V_n(x)\colon=\begin{cases}V(x)\quad&(\lvert x\rvert\leq n)\\0&(n<\lvert x\rvert)\end{cases} $$
とおくと、極座標変換（ 定理15 ）と $2\alpha<3$ より、
$$ \int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_n(x)\rvert^2 dx=\mu_{S_2}(S_2)\int_{0}^{n}r^2\frac{k^2}{r^{2\alpha}}dr=\mu_{S_2}(S_2)\frac{k^2}{3-2\alpha}n^{3-2\alpha}<\infty $$
であるから $V_n\in L^2(\mathbb{R}^3)$ であり、$0<\alpha$ より、
$$ \| V-V_n\|_{\infty}\leq \frac{k}{n^{\alpha}}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
である。よって 定理3 より $V$ は掛け算作用素として $-\Delta$ に対して相対コンパクトである。ここで 命題1 より $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり $\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$ である。よって 定理3 と 定理1 より $H_V=-\Delta+V\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ も $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の下に有界な自己共役作用素であり、$-\Delta$ の芯 $D(\mathbb{R}^3)$（注： Sobolev空間の基本事項の定理32.2 を参照。） は $H_V$ の芯でもあり、$\sigma_{\rm ess}(H_V)=\sigma_{\rm ess}(-\Delta)=[0,\infty)$ である。

• $(2)$　$(1)$ より $H_V$ は下に有界な自己共役作用素である。そこで $H_V$ の特性レベル（ 定義4 ）を $(\mu_n(H_V))_{n\in \mathbb{N}}$ とおく。$(1)$ より $\sigma_{\rm ess}(H_V)=[0,\infty)$ であるから 定理8 の $(2)$ より、
  $$ \sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_n(H_V)={\rm min}(\sigma_{\rm ess}(H_V))=0 $$
  である。よって 定理8 の $(3)$ より、
  $$ \mu_n(H_V)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$
  が成り立つことを示せばよい。今、Urysohnの補題（ 定理3 ）により非負値の $\psi\in D(\mathbb{R}^3)$ で、
  $$ \| \psi\|_2=1,\quad {\rm supp}(\psi)\subset \{x\in \mathbb{R}^2:1<\lvert x\rvert<2\} $$
  を満たすものを取る。そして任意の $R\in (0,\infty)$ に対し $\psi_R\in D(\mathbb{R}^3)$ を、
  $$ \psi_R(x)\colon=R^{-\frac{3}{2}}\psi(R^{-1}x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^3) $$
  として定義する。このとき変数変換より、
  $$ \| \psi_R\|_2=1,\quad {\rm supp}(\psi_R)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:R<\lvert x\rvert<2R\}\quad\quad(**) $$
  であり、
  $$ (\psi_R\mid -\Delta\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta\psi)_2,\quad (\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\quad(\forall R\in (0,\infty))\quad\quad(***) $$
  である。
  $$ 2-\alpha>0,\quad(\psi\mid V\psi)_2<0 $$
  であるから、$(***)$ より、十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
  $$ \begin{aligned} (\psi_R\mid H_V\psi_R)_2&=(\psi_R\mid -\Delta \psi_R)_2+(\psi_R\mid V\psi_R)_2=R^{-2}(\psi\mid -\Delta \psi)_2+R^{-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\\ &=R^{-2}\left((\psi\mid -\Delta\psi)_2+R^{2-\alpha}(\psi\mid V\psi)_2\right)<0\quad(\forall R\in [R_0,\infty))\quad\quad(****) \end{aligned} $$
  となる。そこで、
  $$ \varphi_n\colon=\psi_{2^nR_0}\in D(\mathbb{R}^3)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  とおくと、$(**)$, $(****)$ より、
  $$ \| \varphi_n\|_2=1,\quad {\rm supp}(\varphi_n), {\rm supp}(H_V\varphi_n)\subset \{x\in \mathbb{R}^3:2^nR_0<\lvert x\rvert<2^{n+1}R_0\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}),\quad\quad(*****) $$
  $$ (\varphi_n\mid H_V\varphi_n)<0\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(******) $$
  が成り立つ。$(*****)$ より特に $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はHilbert空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$ のONSである。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ によって張られる $L^2(\mathbb{R}^3)$ の $n$ 次元部分空間の上への射影作用素を $P_n$ とおき、
  $$ H_{V,n}\colon {\rm Ran}(P_n)\ni f\mapsto P_nH_Vf\in {\rm Ran}(P_n) $$
  なる ${\rm Ran}(P_n)$ 上の自己共役作用素を定義する。このとき $(*****)$ より $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in {\rm Ran}(P_n)$ は $H_{V,n}$ の単位固有ベクトルからなるCONSである。よって $H_{V,n}$ の固有値は $(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2$ ($j=1,\ldots,n$) であるから、Reyleigh-Ritzの原理（ 命題9 ）と $(******)$ より、
  $$ \mu_n(H_V)\leq \mu_n(H_{V,n})={\rm max}\{(\varphi_j\mid H_{V}\varphi_j)_2:j=1,\ldots,n\}<0 $$
  である。よって $(*)$ が成り立つ。

定理1 より、掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示せば十分である。
任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ $(j\neq k)$ に対し $V_j,V_{j,k}\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}^{3N})$ を、
$$ V_j(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{k_j}{\lvert x_j\rvert^{\alpha}},\quad V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\colon=-\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j-x_k\rvert^{\alpha}} $$
と定義する。掛け算作用素 $V$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示すには、掛け算作用素 $V_j,V_{j,k}$ がそれぞれ $-\Delta$ に対して無限小であることを示せばよい。

• $(1)$　各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_j$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。 定理4 より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{k_j}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_j(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$
  が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
  $$ \| V_j\varphi\|_2\leq \epsilon\| -\Delta_{x_j}\varphi\|_2+b_{\epsilon}\|\varphi\|_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(*) $$
  が成り立つ。 命題1 より、
  $$ -\Delta_{x_j}=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F},\quad -\Delta=\mathcal{F}^{-1}\lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F} $$
  であるから、
  $$ \| V_j\varphi\|_2=\| \lvert {\rm id}_j\rvert^2\mathcal{F}\varphi\|_2 \leq \| \lvert {\rm id}\rvert^2\mathcal{F}\varphi\|_2=\|-\Delta\varphi\|_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(**) $$
  である。よって $(*),(**)$ より、
  $$ \| V_j\varphi\|_2\leq\epsilon\| -\Delta \varphi\|_2+b_{\epsilon}\| \varphi\|_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N}))\quad\quad(***) $$
  が成り立つ。ここで $D(\mathbb{R}^{3N})$ は $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^{3N})\rightarrow L^2(\mathbb{R}^{3N})$ の芯であり（注： Sobolev空間の基本事項の定理32.2 を参照。）、掛け算作用素は閉作用素であるから、$(***)$ より、
  $$ \| V_jf\|_2\leq \epsilon\| -\Delta f\|_2+b_{\epsilon}\| f\|_2\quad(\forall f\in H^2(\mathbb{R}^{3N})) $$
  が成り立つ。よって掛け算作用素 $V_j$ は $-\Delta$ に対して無限小である。
• $(2)$　$j\neq k$ なる任意の $j,k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることを示す。 定理4 より $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上の掛け算作用素 $-\frac{K_{j,k}}{\lvert {\rm id}\rvert^{\alpha}}$ は自己共役作用素 $-\Delta\colon H^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ に対して相対コンパクトであるので特に無限小である。よって任意の $\epsilon\in (0,1)$ に対し $b_{\epsilon}\in [0,\infty)$ が存在し、任意の $\varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert V_{j,k}(x_1,\ldots,x_N)\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} =\left(\int_{\mathbb{R}^3}\left\lvert\frac{K_{j,k}}{\lvert x_j\rvert}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\right\rvert^2\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq \epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_j+x_k,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\epsilon\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert\Delta_{x_j}\varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}}+b_{\epsilon}\left(\int_{\mathbb{R}^3}\lvert \varphi(x_1,\ldots,x_N)\rvert^2dx_j\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$
  が成り立つ。よってMinkowskiの不等式とTonelliの定理より、
  $$ \| V_{j,k}\varphi\|_2\leq \epsilon\| -\Delta_{x_j}\varphi\|_2+b_{\epsilon}\|\varphi\|_2\quad(\forall \varphi\in D(\mathbb{R}^{3N})) $$
  であるから、後は $(1)$ と同様にすれば $V_{j,k}$ が $-\Delta$ に対して無限小であることが分かる。