Hilbert空間上の作用素論12：テンソル積Hilbert空間上の作用素

直積線形空間 $\prod_{n\in \mathbb{N}}X$ の線形部分空間
$$ \mathcal{C}\colon=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \prod_{n\in \mathbb{N}}X: (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\text{ はCauchy列}\right\} $$
と、$\mathcal{C}$ 上のセミノルム
$$ p\colon\mathcal{C}\ni (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{n\rightarrow\infty}\| x_n\|\in [0,\infty) $$
を考える。そして $\mathcal{C}$ の線形部分空間
$$ \mathcal{N}\colon=\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}: p( (x_n)_{n\in\mathbb{N}})=0\} $$
に対し、商線形空間（ 速習「線形空間論」の定義3.2 ）$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ を考え、商写像を、
$$ \mathcal{C}\ni z\mapsto [z]\in \mathcal{C}/\mathcal{N} $$
とおく。このとき、
$$ \| \cdot\|\colon\mathcal{C}/\mathcal{N}\ni [z]\mapsto \| [z]\|:=p(z)\in [0,\infty) $$
は $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ 上のノルムである。$\mathcal{C}/\mathcal{N}$ にこのノルムを入れたノルム空間を $\widetilde{X}$ とおく。
$$ \iota\colon X\ni x\mapsto [(x)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X} $$
として等長線形写像を定義する。任意の $\omega=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \| x_n-x_m\|\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
なる $n_0\in \mathbb{N}$ を取ると、
$$ \| \omega-\iota(x_{n_0})\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| x_n-x_{n_0}\|\leq\epsilon $$
であるから、$\iota(X)$ は $\widetilde{X}$ において稠密である。$\widetilde{X}$ の任意のCauchy列 $(\omega_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$ \| \omega_n-\iota(x_n)\|<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
なる $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \prod_{n\in\mathbb{N}}X$ を取ると、
$$ \| x_n-x_m\|\leq \| \iota(x_n)-\omega_n\|+\| \omega_n-\omega_m\|+\| \omega_m-\iota(x_m)\|<\frac{1}{n}+\| \omega_n-\omega_m\|+\frac{1}{m}\quad(\forall n,m\in\mathbb{N}) $$
であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{C}$ である。そこで $\omega\colon=[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]\in \widetilde{X}$ とおけば、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$ \| \omega-\omega_n\|\leq \| \omega-\iota(x_n)\|+\| \iota(x_n)-\omega_n\|<\lim_{m\rightarrow\infty}\| x_m-x_n\|+\frac{1}{n} $$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n=\omega$ である。よって $\widetilde{X}$ はBanach空間である。

命題1 の証明における $\mathcal{C},p,\mathcal{N},\widetilde{X},\iota$ をそのまま用いる。
$$ [\cdot,\cdot]\colon\mathcal{C}\times \mathcal{C}\ni ( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}, (y_n)_{n\in\mathbb{N}})\mapsto [(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\mid y_n)\in \mathbb{C} $$
は準双線形汎関数であり、任意の $z,w\in \mathcal{C}$ に対し、
$$ \overline{[z,w]}=[w,z],\quad [z,z]=p(z)^2\geq0\quad(*), $$
$$ \lvert [z,w]\rvert\leq p(z)p(w)\quad\quad(**) $$
である。$[\cdot,\cdot]$ の準双線形性と $(**)$ より、
$$ (\cdot\mid \cdot)\colon\widetilde{X}\times \widetilde{X}\ni ([z],[w])\mapsto ([z]\mid [w]):=[z,w]\in \mathbb{C} $$
はwell-definedであり、$(*)$ よりこれは $\widetilde{X}$ 上の内積で、この内積が定めるノルムはBanach空間 $\widetilde{X}$ のノルムである。よって $\widetilde{X}$ はHilbert空間である。そして、
$$ (\iota(x)\mid \iota(y))=([(x)_{n\in\mathbb{N}}]\mid [(y)_{n\in\mathbb{N}}])=(x\mid y)\quad(\forall x,y\in X) $$
であるから、$\iota\colon X\rightarrow \widetilde{X}$ は内積を保存する。

一意性はテンソル積線形空間 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ の任意の元が $v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ なる形の元の線形結合全体であることによる。存在を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$ \mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C} $$
は多重線形写像であるから、 速習「線形空間論」の定理8.4 より線形汎関数
$$ \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (v_1\mid u_1)\cdots (v_N\mid u_N)\in \mathbb{C} $$
が定まる。この線形汎関数の各点ごとの複素共役を取ることで反線形汎関数
$$ (\cdot\mid v_1)\otimes\cdots\otimes (\cdot\mid v_N):\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni u_1\otimes\cdots\otimes u_N\mapsto (u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N)\in \mathbb{C} $$
が定まる。 $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の反線形汎関数全体 $AL(\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C})$ は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線形空間をなし、
$$ \mathcal{H}_1\times \cdots\times \mathcal{H}\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right) $$
は多重線形写像である。よって 速習「線形空間論」の定理8.4 より線形写像
$$ M\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes \cdots\otimes v_N\mapsto (\cdot \mid v_1)\otimes \cdots \otimes (\cdot \mid v_N)\in AL\left(\bigodot_{jh=1}^{N}\mathcal{H}_j,\mathbb{C}\right) $$
が定まる。そこで準双線形汎関数
$$ (\cdot \mid \cdot)\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\times \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\mathbb{C},\quad (T\mid S)\colon=M(S)(T)\quad(\forall S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j)\quad\quad(*) $$
を定義する。このとき任意の $u_j,v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
$$ (u_1\otimes\cdots \otimes u_N\mid v_1\otimes\cdots\otimes v_N) =(u_1\mid v_1)\cdots (u_N\mid v_N) $$
であるので、$(*)$ が $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積であることを示せばよい。明らかに任意の $S,T\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し $\overline{(S\mid T)}=(T\mid S)$ が成り立つ。任意の
$$ T=\sum_{l=1}^{n}v_{1,l}\otimes\cdots\otimes v_{N,l}\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j $$
を取る。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $\mathcal{H}_j$ の有限次元部分空間 $\text{span}\{v_{j,1},\ldots,v_{j,n}\}$ のCONS $\{e_{j,1},\ldots,e_{j,m(j)}\}$ を取れば、ある $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{C}$ に対し、
$$ T=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes \cdots\otimes e_{N,k_N} $$
と表せる。よって、
$$ (T\mid T)=\sum_{k_1,\ldots,k_N}\lvert \alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0 $$
であり、$(T\mid T)=0$ であるならば $T=0$ であるから $(*)$ は $\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ 上の内積である。

• $(1)$
  $$ \| v_1\otimes\cdots\otimes v_N\|=\| v_1\|\cdots\| v_N\|\quad(\forall v_1\in \mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in \mathcal{H}_N) $$
  であるから、
  $$ \mathcal{H}_1\times\cdots\times \mathcal{H}_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_N\in \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N $$
  は有界多重線形写像である。よって任意の $j\in \{1,\ldots,N\}$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し $v_j$ に収束する $D_j$ の列 $(v_{j,n})_{n\in \mathbb{N}}$ を取れば、
  $$ v_1\otimes\cdots\otimes v_N=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{1,n}\otimes\cdots\otimes v_{N,n}\in \overline{D_1\odot\cdots \odot D_N} $$
  である。ゆえに、
  $$ \mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N=\overline{\mathcal{H}_1\odot \cdots \odot\mathcal{H}_N}=\overline{D_1\odot \cdots\odot D_N} $$
  である。
• $(2)$　$(*)$ は明らかに $\mathcal{H}_1\otimes \cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のONSである。CONSの定義より各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $D_j:=\text{span}\{e_{j,i}\}_{i\in I_j}$ は $\mathcal{H}_j$ の稠密部分空間であるから、$(1)$ より、
  $$ D_1\odot \cdots\odot D_N=\text{span}\{e_{1,i_1}\otimes\cdots\otimes e_{N,i_N}:(i_1,\ldots,i_N)\in I_1\times\cdots\times I_N\} $$
  は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ の稠密部分空間である。よって $(*)$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ のCONSである。

まず各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、 命題7 より、
$$ X\colon=X_1\times \cdots\times X_N $$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$ \mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N} $$
である。また各 $\mu_j$ は $\sigma$-有限であるので、直積測度
$$ \mu=\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N $$
が定義でき、$X$ の任意のコンパクト集合はコンパクト集合の直積に含まれる（注：$K\subset X$ をコンパクト集合、$\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ を自然な射影 $(j=1,\ldots,N)$ とすると、各 $\pi_j(K)$ はコンパクトであり、$K\subset \pi_1(K)\times \cdots\times \pi_N(K)$ である。）から、 定理12 より、$\mu$ は自動的にRadon測度である。任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対しTonelliの定理より $[f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu)$ であり、
$$ \prod_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni ([f_1],\ldots,[f_N])\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu) $$
はwell-definedな多重線形写像である。よって 速習「線形空間論」の定理8.4 より線形作用素
$$ U_0:\bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\ni [f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]\mapsto [f_1\times\cdots\times f_N]\in L^2(X,\mu) $$
が定まり、Fubiniの定理より $U_0$ は内積を保存する。よって $U_0$ は内積を保存する線形作用素
$$ U:\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)\rightarrow L^2(X,\mu) $$
に一意拡張できる。$\mu$ はRadon測度なので測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度の定理32より、
$$ L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\| \cdot\|_2} $$
が成り立つ。任意の $f\in C_c(X)$ を取る。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $\text{supp}(f)$ の $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j(\text{supp}(f))\subset X_j$ はコンパクトであるから、 命題2 より、閉包がコンパクトな開集合 $V_j\supset \pi_j(\text{supp}(f))$ が取れる。
$$ \text{supp}(f)\subset \pi_1(\text{supp}(f))\times\cdots\times \pi_N(\text{supp}(f))\subset V_1\times\cdots\times V_N $$
より、
$$ f\in C_c(V_1\times\cdots\times V_N)\subset C_0(V_1\times\cdots\times V_N) $$
であり、Urysohnの補題とStone-Weierstrassの定理（ 定理3 と 定理18 ）より、
$$ C_0(V_1\times\cdots\times V_N)=\overline{\text{span}\{\varphi_1\times\cdots\times\varphi_N:\varphi_1\in C_0(V_1),\ldots,\varphi_N\in C_0(V_N)\}}^{\sup\text{ノルム}} $$
であるから、
$$ \mu(V_1\times\cdots\times V_N)\leq \mu_1(\overline{V_1})\cdots\mu_N(\overline{V_N})<\infty $$
より、
$$ [f]\in \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\| \cdot\|_2} $$
である。よって、
$$ \begin{aligned} &L^2(X,\mu)=\overline{[C_c(X)]}^{\| \cdot\|_2}\subset \overline{U(L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots\odot L^2(X_N,\mu_N))}^{\| \cdot\|_2}\\ &=U(\overline{L^2(X_1,\mu_1)\odot \cdots \odot L^2(X_N,\mu_N)}^{\| \cdot\|_2})=U(L^2(X_1,\mu_1)\otimes\cdots\otimes L^2(X_N,\mu_N))\subset L^2(X,\mu) \end{aligned} $$
であるから、$U$ はユニタリ作用素である。

• $(1)$　$A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ かつ $\| A\|<1$ を満たす任意の $A$ に対し、ユニタリ元 $U_+,U_-\in \mathcal{A}$ で、
  $$ A=\frac{1}{2}(U_++U_-) $$
  を満たすものが取れることを示す。$A^*A\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ であるから連続汎関数計算（ Banach環とC*-環のスペクトル理論の定義6.6 ）より $\lvert A\rvert=\sqrt{A^*A}\in {\rm GL}(\mathcal{A})\cap \mathcal{A}_+$ である。そこで、
  $$ W\colon=A\lvert A\rvert^{-1}\in {\rm GL}(\mathcal{A}) $$
  とおくと、$W^*W=\lvert A\rvert^{-1}A^*A\lvert A\rvert^{-1}=\lvert A\rvert^{-1}\lvert A\rvert^2\lvert A\rvert^{-1}=1$ であるから $W$ はユニタリであり、$A=W\lvert A\rvert$ である。$\| \lvert A\rvert\|^2=\| A^*A\|=\| A\|^2<1$ であるから $1-\lvert A\rvert^2\in \mathcal{A}_+$ である。そこで、
  $$ V_{\pm}\colon=\lvert A\rvert\pm i\sqrt{1-\lvert A\rvert^2} $$
  とおけば連続汎関数計算より、
  $$ V_{\pm}V_{\mp}=\lvert A\rvert^2+(1-\lvert A\rvert^2)=1 $$
  であるから $V_{\pm}$ はユニタリである。そして $\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(V_++V_-)$ であるから、
  $$ A=W\lvert A\rvert=\frac{1}{2}(WV_++WV_-) $$
  である。$U_{\pm}=WV_{\pm}$ とおけば $U_{\pm}$ はユニタリであり、$A=\frac{1}{2}(U_++U_-)$ である。
• $(2)$　$\| A\|<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ に対し、ユニタリ元 $U,V$ で、
  $$ 1+A=U+V $$
  を満たすものが取れることを示す。 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より $1+A\in {\rm GL}(\mathcal{A})$ であるから、
  $$ \frac{1}{2}(1+A)\in {\rm GL}(\mathcal{A}),\quad \left\| \frac{1}{2}(1+A)\right\|<1 $$
  である。よって $(1)$ よりユニタリ元 $U,V\in \mathcal{A}$ で、
  $$ \frac{1}{2}(1+A)=\frac{1}{2}(U+V) $$
  なるものが取れる。
• $(3)$　$\| A\|<1$ を満たす任意の $A\in \mathcal{A}$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$n+1$ 個のユニタリ $U_1,\ldots,U_n,V_n\in \mathcal{A}$ で、
  $$ 1+nA=U_1+\cdots+U_n+V_n $$
  を満たすものが取れることを示す。$n\in \mathbb{N}$ に関する帰納法で示す。$n=1$ の場合は $(2)$ より成り立つ。ある $n-1\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。すなわち $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_{n-1},V_{n-1}\in \mathcal{A}$ で、
  $$ 1+(n-1)A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1} $$
  を満たすものが取れるとする。このとき $V_{n-1}+A=V_{n-1}(1+V_{n-1}^*A)$ であり、$\| V_{n-1}^*A\|<1$ であるから、$(2)$ よりユニタリ元 $U_n,V_n$ で、
  $$ V_{n-1}+A=U_n+V_n $$
  なるものが取れる。よって、
  $$ 1+nA=1+(n-1)A+A=U_1+\cdots+U_{n-1}+V_{n-1}+A=U_1+\cdots+U_n+V_n $$
  であるから $n$ の場合も成り立つ。
• $(4)$　$A\in \mathcal{A}$ と $n\in \mathbb{N}$ が $\| A\|<1-\frac{2}{n}$ を満たすとき、$n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
  $$ A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n) $$
  を満たすものが取れることを示す。
  $$ B\colon=\frac{1}{n-1}(1-nA)\in\mathcal{A} $$
  とおくと、
  $$ \| B\|\leq \frac{1}{n-1}(1+n\| A\|)<\frac{1}{n-1}(1+n-2)=1 $$
  であるから、$(3)$ より $n$ 個のユニタリ元 $U_1,\ldots,U_n$ で、
  $$ nA=1+(n-1)B=U_1+\cdots+U_n $$
  を満たすものが取れる。よって $A=\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)$ である。

• $(1)$　まず $\mathcal{H}_j=\mathcal{K}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ の場合に成り立つことを示す。このときRusso-Dyeの定理（ 補題6 ）より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ は $\mathcal{H}_j$ 上のユニタリ作用素の線形結合で表せる。ここで $U_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ をユニタリ作用素とすると、
  $$ U_1\odot\cdots\odot U_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto U_1v_1\otimes\cdots\otimes U_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j $$
  は内積を保存するので有界作用素であり、
  $$ T_1\odot \cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\rightarrow\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j $$
  はこのタイプの線形作用素の線形結合であるから有界線形作用素である。よって、
  $$ T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots\odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes\mathcal{H}_j\right) $$
  が成り立つ。任意の $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、
  $$ \mathbb{B}(\mathcal{H}_k)\ni T_k\mapsto 1\otimes\cdots\otimes 1\otimes \overset{k\text{番目}}{T_k}\otimes1\otimes\cdots\otimes 1 $$
  は $C^*$-環から $C^*$-環への単射 $*$-環準同型写像であるので、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の定理10.2 よりノルムを保存する。よって、
  $$ \| T_1\otimes\cdots\otimes T_N\|\leq \| T_1\|\cdots\| T_N\| $$
  が成り立つ。逆の不等式を示す。任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し、
  $$ \| T_1v_1\|\cdots\| T_Nv_N\|=\| T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\|\leq \| T_1\otimes\cdots\otimes T_N\|\| v_1\|\cdot\| v_N\| $$
  であるから、
  $$ \| T_1\|\cdots\| T_N\|=\sup\{(\| T_1v_1\|\cdots\| T_Nv_N\|:v_j\in \mathcal{H}_j,\text{ }\| v_j\|\leq 1\text{ }(j=1,\ldots,N)\}\leq\| T_1\otimes\cdots\otimes T_N\| $$
  である。よって $\| T_1\otimes\cdots\otimes T_N\|=\| T_1\|\cdots\| T_N\|$ が成り立つ。
• $(2)$　一般の場合を示す。$T_j^*T_j\in \mathbb{B}(\mathcal{H}_j)$、$\| T_j^*T_j\|=\| T_j\|^2$ $(j=1,\ldots,N)$ であるから $(1)$ より、
  $$ \| T_1^*T_1\otimes\cdots\otimes T_N^*T_N\|=\| T_1^*T_1\|\cdots\| T_N^*T_N\|=(\| T_1\|\cdots\| T_N\|)^2 $$
  である。よって、
  $$ T_1\odot\cdots\odot T_N\colon\bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\ni v_1\otimes\cdots\otimes v_N\mapsto T_1v_1\otimes\cdots\otimes T_Nv_N\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j $$
  は任意の $v\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j$ に対し、
  $$ \| (T_1\odot \cdots\odot T_N)v\|^2=(v\mid (T_1^*T_1\odot \cdots\odot T_N^*T_N)v)\leq \| (\| T_1\|\cdots\| T_N\|\| v\|)^2 $$
  を満たすので有界線形作用素であり、
  $$ \| T_1\odot \cdots\odot T_N\|\leq \| T_1\|\cdots\| T_N\| $$
  が成り立つ。ゆえに、
  $$ T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\overline{T_1\odot \cdots \odot T_N}\in \mathbb{B}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigotimes_{j=1}^{N}\mathcal{K}_j\right) $$
  であり、
  $$ \| T_1\otimes\cdots\otimes T_N\|=\| T_1\odot \cdots\odot T_N\|\leq \| T_1\|\cdots\| T_N\| $$
  が成り立つ。逆の不等式が成り立つことは $(1)$ と全く同様にして示せる。

存在を示す。$\mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ とおく。
各 $X_j$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、 命題7 より、
$$ X\colon=X_1\times \cdots\times X_N $$
も第二可算局所コンパクトHausdorff空間であり、
$$ \mathcal{B}_X=\mathcal{B}_{X_1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{B}_{X_N}=\sigma(\mathcal{C}) $$
である。ただし $\mathcal{C}$ は半集合代数（ 定義1 ）
$$ \mathcal{C}=\mathcal{B}_{X_1}\times\cdots\times \mathcal{B}_{X_N}=\{B_1\times\cdots\times B_N:B_1\in \mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in \mathcal{B}_{X_N}\} $$
である。今、
$$ E^{(0)}\colon\mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_1(B_1)\otimes\cdots\otimes E_N(B_N)\in \mathbb{P}(\mathcal{H}) $$
とおく。$C_1,C_2\in\mathcal{C}$ が互いに交わらないならば、$E^{(0)}(C_1),E^{(0)}(C_2)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は明らかに直交する。$E^{(0)}$ が $\mathcal{C}$ 上で $\sigma$-加法的であること、すなわち $\mathcal{C}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\in\mathcal{C}$ なるものに対し、
$$ E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示す。そのためには $\mathcal{H}$ における
$$ \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j=\text{span}\{v_1\otimes\cdots\otimes v_N:v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,v_N\in\mathcal{H}_N\} $$
の稠密性より、任意の $u_1,v_1\in\mathcal{H}_1,\ldots,u_N,v_N\in\mathcal{H}_N$ に対し、
$$ u=u_1\otimes\cdots\otimes u_N,\quad v=v_1\otimes\cdots\otimes v_N $$
とおいて、
$$ \left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right) =\left(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right) $$
が成り立つことを示せば十分である。しかし任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$ \begin{aligned} (u\mid E^{(0)}(B_1\times\cdots\times B_N)v)&=(u_1\mid E_1(B_1)v_1)\cdots(u_N\mid E_N(B_N)v_N)\\ &=E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\quad\quad(**) \end{aligned} $$
であり、偏極恒等式より各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し複素数値Borel測度 $E_{j,u_j,v_j}\colon\mathcal{B}_{X_j}\rightarrow\mathbb{C}$ は有限Borel測度の線形結合であるから、有限Borel測度の直積測度を考えることにより、
$$ \mathcal{C}\ni B_1\times\cdots\times B_N\mapsto E_{1,u_1,v_1}(B_1)\cdots E_{N,u_N,v_N}(B_N)\in \mathbb{C} $$
は $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{C})$ 上のある複素数値Borel測度
$$ E^{(0)}_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow \mathbb{C} $$
に拡張できることが分かる。$(**)$ より、
$$ (u\mid E^{(0)}(C)v)=E^{(0)}_{u,v}(C)\quad(\forall C\in\mathcal{C}) $$
であるから、
$$ \left(u\mid E^{(0)}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)v\right) =E^{(0)}_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}_{u,v}(C_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(0)}(C_n)v) =\left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(C_n)v\right) $$
である。（$(E^{(0)}(C_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であることに注意。）ゆえに $(*)$ が成り立つ。$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ を半集合代数 $\mathcal{C}$ から生成される有限加法族とすると、 命題7 と全く同様にして、$E^{(0)}\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は、$\sigma$-加法的な
$$ E^{(1)}\colon\mathcal{A}(\mathcal{C})\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}) $$
に一意拡張できる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$ \mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty) $$
は有限加法族 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度であるからCarathéodoryの拡張定理（ 定理11 ）より $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上の有限Borel測度に一意拡張できる。よって偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し複素数値Borel測度 $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ で、
$$ \mu_{u,v}(A)=(u\mid E^{(1)}(A)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))\quad\quad(***) $$
を満たすものが存在する。そして単調族定理（ 定理6 ）により $(***)$ を満たす複素数値Borel測度は $\mu_{u,v}$ は唯一つである。（注：複素数値Borel測度 $\mu_1,\mu_2:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{C}$ が ${\cal A}({\cal C})$ 上で一致するとする。$\{B\in {\cal B}_X: \mu_1(B)=\mu_2(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$ を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（ 定理6 ）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ である。）
この一意性より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し、
$$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in \mathbb{C} $$
は準双線形汎関数である。今、任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$ \lvert \mu_{u,v}(B)\rvert\leq \| u\|\| v\|\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})\quad\quad(****) $$
が成り立つことを示す。$X$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、 定理12 より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{u,v}\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{C}$ は複素数値Radon測度である。よって $B$ を含む開集合の列 $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_{u,v}(U_n)=\mu_{u,v}(B)$ を満たすものが取れるので、$(****)$ を示すには任意の開集合 $U\subset X$ に対し、
$$ \lvert \mu_{u,v}(U)\rvert\leq \| u\|\| v\|\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}) $$
が成り立つことを示せばよい。$X$ の開集合の可算基底として $\mathcal{C}$ の元からなるものが取れるから、$U$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列の合併で表される。そこで $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ の非交叉列で $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ なるものとすると、$(E^{(1)}(A_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるので、その和 $\sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(0)}(A_n)$ も射影作用素であるから、
$$ \begin{aligned} \lvert \mu_{u,v}(U)\rvert&=\left\lvert \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_{u,v}(A_n)\right\rvert=\left\lvert\sum_{n\in\mathbb{N}}(u\mid E^{(1)}(A_n)v)\right\rvert =\left\lvert \left(u\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right)\right\rvert\\ &\leq\| u\| \left\| \sum_{n\in\mathbb{N}}E^{(1)}(A_n)v\right\|\leq \| u\|\| v\| \end{aligned} $$
となる。よって $(****)$ が成り立つ。これより任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、$\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、 定理1 より作用素ノルムが $1$ 以下の $E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$ (u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}) $$
を満たすものが一意的に定まる。これにより $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$ を定義する。$(***)$ より、
$$ E(A)=E^{(1)}(A)\quad(\forall A\in {\cal A}({\cal C})) $$
であり、特に $E(X)=E^{(1)}(A)=1$ である。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$ \mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)=\mu_{u,v}(B)\in\mathbb{C} $$
は複素数値測度であるから、$E(B)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ が成り立つことを示せば $E$ が求める射影値測度であることになる。任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し $\mu_{v,v}$ は $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上の $\sigma$-加法的測度 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto (v\mid E^{(1)}(A)v)\in [0,\infty)$ をCarathéodoryの拡張定理により $\mathcal{B}_X=\sigma(\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ 上に拡張した非負値測度であるから、
$$ (v\mid E(B)v)=\mu_{v,v}(B)\geq0\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X) $$
である。よって $E(B)=E(B)^*$ $(\forall B\in\mathcal{B}_X)$ である。$E(A)=E^{(1)}(A)$ $(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}))$ であるから、$E$ の $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上への制限 $\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ は加法的である。よって、
$$ E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C})) $$
が成り立つ（注：$\mathcal{A}(\mathcal{C})\ni A\mapsto E(A)\in\mathbb{P}(\mathcal{H})$ の加法性より、$A\subset B$ ならば $E(B)=E(A)+E(B\backslash A)\geq E(A)$ であるから、$E(A)=E(A)E(B)$ である。また $A\cap B=\emptyset$ ならば $E(A)$ と $E(B)$ は直交する。よって任意の $A,B\in\mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し $E(A)E(B)=E(A\cap B)E(B)+E(A\backslash B)E(B)=E(A\cap B)$ である。）。今、
$$ E(A\cap B)=E(A)E(B)\quad(\forall A,B\in\mathcal{B}_X)\quad\quad(*****) $$
が成り立つことを示す。これが成り立てば任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し $E(B)^2=E(B)$ であるので、$E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ を示せたことになる。任意の $u,v\in\mathcal{H}$ を取り固定する。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{C})$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\ &\mathcal{B}_X\ni B\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C} \end{aligned} $$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$ (u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A\in\mathcal{A}(\mathcal{C}),\forall B\in\mathcal{B}_X) $$
が成り立つ。次に任意の $B\in\mathcal{B}_X$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A)E(B)v)\in \mathbb{C},\\ &\mathcal{B}_X\ni A\mapsto (u\mid E(A\cap B)v)\in \mathbb{C} \end{aligned} $$
はそれぞれ複素数値Borel測度であり、$\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 上で一致する。よって単調族定理より、
$$ (u\mid E(A)E(B)v)=(u\mid E(A\cap B)v)\quad(\forall A, B\in\mathcal{B}_X) $$
が成り立つ。$u,v\in\mathcal{H}$ は任意であるので、$(*****)$ が成り立つ。
一意性を示す。$E,F:{\cal B}_X\rightarrow \mathbb{P}({\cal H})$ が条件を満たす射影値測度であるとすると、$E,F$ は ${\cal A}({\cal C})$ 上で　一致する。$\{B\in {\cal B}_X:E(B)=F(B)\}$ は ${\cal A}({\cal C})$　を含む単調族であるから、${\cal A}({\cal C})$ から生成される単調族 ${\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ を含む。単調族定理（ 定理6 ）より ${\cal B}_X=\sigma({\cal A}({\cal C}))={\cal M}({\cal A}({\cal C}))$ であるから、任意の $B\in {\cal B}_X$ に対し $E(B)=F(B)$ である。

任意の $B_1\in\mathcal{B}_{X_1},\ldots,B_N\in\mathcal{B}_{X_N}$ に対し、
$$ E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)=E_{\mu_1}(B_1)\cdots E_{\mu_N}(B_N) $$
が成り立つことを示せばよい。そのためには、
$$ \bigodot_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)=\text{span}\left\{[f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]:[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)\right\} $$
の $\bigotimes_{j=1}^{N}L^2(X_j,\mu_j)$ における稠密性より、任意の $[f_1]\in L^2(X_1,\mu_1),\ldots,[f_N]\in L^2(X_N,\mu_N)$ に対し、
$$ E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]) $$
が成り立つことを示せば十分であるが、
$$ \begin{aligned} &E_{\mu_1\otimes\cdots\otimes \mu_N}(B_1\times\cdots\times B_N)([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N])=[\chi_{B_1}f_1]\otimes\cdots\otimes [\chi_{B_N}f_N]\\ &=E_{\mu_1}(B_1)[f_1]\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N)[f_N]=(E_{\mu_1}(B_1)\otimes\cdots\otimes E_{\mu_N}(B_N))([f_1]\otimes\cdots\otimes [f_N]) \end{aligned} $$
である。よって成り立つ。

$$ \mathcal{H}\colon=\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N,\quad X\colon=X_1\times \cdots\times X_N,\quad E\colon=E_1\otimes \cdots\otimes E_N\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}) $$
とおく。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ がBorel単関数である場合は $(*)$ は明らかに成り立つ。また、
$$ \mathbb{B}(\mathcal{H_1})\times \cdots\times \mathbb{B}(\mathcal{H}_N) \ni (T_1,\ldots,T_N)\mapsto T_1\otimes\cdots\otimes T_N\in \mathbb{B}(\mathcal{H}) $$
は有界多重線形写像であり（ 定理7 ）、任意の有界Borel関数はBorel単関数の列により一様近似できる（ 命題6 ）ので、$(*)$ は各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が有界Borel関数の場合も成り立つ。各 $f_j\colon X_j\rightarrow\mathbb{C}$ が一般のBorel関数の場合に $(*)$ が成り立つことを示す。各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ について有界Borel関数の列 $f_{j,n}\colon=f_{j}\chi_{(\lvert f_j\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義する。任意の $v_j\in D_{E_j}(f_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$ \int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)v_j=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)v_j\quad(j=1,\ldots,N) $$
であるから、
$$ B_n\colon=(\lvert f_1\rvert\leq n)\times \cdots\times (\lvert f_N\rvert\leq n)\in \mathcal{B}_X\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
とおけば、
$$ \begin{aligned} &\left\{\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\ &=\left(\int_{X_1}f_1(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_N(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)v_1\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)v_N\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(\int_{X_1}f_{1,n}(x_1)dE_1(x_1)\right)\otimes \cdots\otimes \left(\int_{X_N}f_{N,n}(x_N)dE_N(x_N)\right)\right\}(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)\\ &=\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N) \end{aligned} $$
となる。ただし $4$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、最後の等号で $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)(v_1\otimes\cdots\otimes v_N)=v_1\otimes\cdots\otimes v_N$ であること射影値測度による積分が閉線形作用素であることを用いた。よって、
$$ \bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)=\overline{\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)}\subset \int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\quad\quad(**) $$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(f_1\times\cdots\times f_N)$ を取り、
$$ v_m\in \bigodot_{j=1}^{N}\mathcal{H}_j\quad(\forall m\in\mathbb{N}),\quad \lim_{m\rightarrow\infty}\| v-v_m\|=0 $$
なるものを取る。このとき、$v=\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}E(B_n)v_m$ であるから、
$$ \begin{aligned} &\left(\int_{X}f_1(x_1)\cdots f_N(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f_{1,n}(x_1)\cdots f_{N,n}(x_N)dE(x_1,\ldots,x_N)\right)v\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v =\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\right)v_m\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\bigodot_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v_m =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j}(x_j)dE_j(x_j)\right)E(B_n)v\\ &=\left(\bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_j(x_j)dE_j(x_j)\right)v \end{aligned} $$
となる。ただし $1$ 番目の等号でLebesgue優収束定理を用い、$2$ 番目の等号で有界Borel関数に対して $(*)$ が成り立つことを用い、
$3$ 番目の等号で、
$$ \bigotimes_{j=1}^{N}\int_{X_j}f_{j,n}(x_j)dE_j(x_j)\in \mathbb{B}({\cal H})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
であることを用いた。よって $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。

Borel汎関数計算の定義（ 定義3 ）より、任意のBorel関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ f_j(T_j)=\int_{\sigma(T_j)}f_j(\lambda_j)dE^{T_j}(\lambda_j)\quad(j=1,\ldots,N) $$
であるから、 定理10 より $(**)$ が成り立つ。特に、
$$ T_1\otimes\cdots\otimes T_N=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}\lambda_1\cdots \lambda_Nd(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)\quad\quad(*****) $$
であり、右辺の被積分関数は実数値であるから $T_1\otimes\cdots\otimes T_N$ は $\mathcal{H}_1\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_N$ 上の自己共役作用素である（ 命題4 の $(2)$ を参照）。そして任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(*****)$ と 命題3 より、
$$ f(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)=\int_{\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)}f(\lambda_1\cdots\lambda_N)d(E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(\lambda_1,\ldots,\lambda_N) $$
が成り立つ。$\sigma(T_1)\times\cdots\times \sigma(T_N)$ の任意の空でない開集合 $U$ に対し、$U_1\times\cdots\times U_N\subset U$ を満たす空でない開集合 $U_j\subset \sigma(T_j)$ $(j=1,\ldots,N)$ が取れる。 命題4 の $(4)$ より $E^{T_j}(U_j)>0$ であるので、 定理7 より、
$$ (E^{T_1}\otimes\cdots\otimes E^{T_N})(U)\geq E^{T_1}(U_1)\otimes\cdots\otimes E^{T_N}(U_N)>0 $$
である。よって 系 より連続関数 $f_j\colon\sigma(T_j)\rightarrow\mathbb{C}$ $(j=1,\ldots,N)$ に対し $(***)$
が成り立つ。特に $(*)$ が成り立つ。また 系 より連続関数 $f:\sigma(T_1\otimes\cdots\otimes T_N)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(****)$ が成り立つ。