Hilbert空間上の作用素論3：非有界線形作用素の基礎
3. Hilbert空間上の有界とは限らない線形作用素の定義と基本的性質
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ をHilbert空間とする。$T$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素であると言うとき、$T$ は $\mathcal{H}$ 全体で定義されているとは限らず、$\mathcal{H}$ のある線形部分空間 $D(T)$ 上で定義され、$\mathcal{K}$ に値を取る線形作用素であることを意味することとする。$D(T)\subset \mathcal{H}$ を $T$ の定義域、${\rm Ran}(T)=T(D(T))\subset \mathcal{K}$ を $T$ の値域と言う。 そして直和Hilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$（
定義9
）の線形部分空間
$$
G(T)\colon=\{(v,Tv)\in \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}:v\in D(T)\}
$$
を $T$ のグラフと言う。
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への線形作用素のことを単にHilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の線形作用素と言う。
$T$ がHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への有界線形作用素であると言うとき、それは $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ を意味することとする。すなわち $D(T)=\mathcal{H}$ かつ $G(T)\subset \mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ が閉であることを言う。（閉グラフ定理（
定理1
）を参照。）
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ が稠密に定義されているとは、$D(T)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを言う。また $T$ が閉であるとは $T$ のグラフ $G(T)$ が $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ において閉であることを言う。
$S,T$ をそれぞれHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。
$$
S\subset T\quad \iff\quad G(S)\subset G(T)
$$
と定義する。これを $T$ は $S$ を包含する（$S$ は $T$ に包含される）と言う。明らかにこの包含関係は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素全体における順序である。
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とする。このとき線形同型写像 $D(T)\ni v\mapsto Tv\in {\rm Ran}(T)$ の逆写像として定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素を、
$$
T^{-1}:D(T^{-1})\colon={\rm Ran}(T)\ni Tv\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
と表す。
$S,T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $S+T$ を、
$$
S+T\colon D(S+T)\colon=D(S)\cap D(T)\ni v\mapsto Sv+Tv\in \mathcal{K}
$$
と定義する。また $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素 $\alpha T$ を、
$$
\begin{aligned}
&\alpha T\colon D(\alpha T)\colon=D(T)\ni v\mapsto \alpha Tv\in \mathcal{K}\quad(\alpha\neq0\text{ の場合 }),\\
&\alpha T:D(\alpha T):=\mathcal{H}\ni v\mapsto 0\in \mathcal{K}\quad(\alpha=0\text{ の場合 })
\end{aligned}
$$
と定義する。
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とし、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素 $ST$ を、
$$
ST:D(ST)\colon=\{v\in D(T):Tv\in D(S)\}\ni v\mapsto STv\in \mathcal{L}
$$
と定義する。
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とする。$\mathcal{K}$ の線形部分空間
$$
D\colon=\{v\in \mathcal{K}: D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}\text{ は有界線形汎関数 }\}
$$
を考える。任意の $v\in D$ に対し、有界線形汎関数 $D(T)\ni u\mapsto (v\mid Tu)\in \mathbb{C}$ は $\mathcal{H}=\overline{D(T)}$ 上の有界線形汎関数に一意拡張できる（
命題3
）から、Rieszの定理（
定理5
）より、$T^*v\in \mathcal{H}$ で、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)\quad(\forall u\in D(T))
$$
を満たすものが定まる。こうして定義される $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への線形作用素
$$
T^*:D(T^*)\colon=D\ni v\mapsto T^*v\in \mathcal{H}
$$
を $T$ の共役作用素と言う。この共役作用素の定義は有界線形作用素 $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ の共役作用素 $T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ の定義（
定義1
）と矛盾しない。
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への線形作用素とする。$T$ を包含する閉線形作用素が存在するとき、$T$ は可閉であると言う。
$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への可閉線形作用素とする。
$$
\pi\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni (v,w)\mapsto v\in \mathcal{H}
$$
に対し、線形部分空間
$$
D\colon=\pi(\overline{G(T)})\subset \mathcal{H}
$$
を定義する。このとき任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ を満たす $w\in \mathcal{K}$ は唯一つである。実際、$T$ が可閉であることから $T\subset S$ を満たす閉線形作用素が存在し、$\overline{G(T)}\subset G(S)$ であるから、 $(v,w_1),(v,w_2)\in \overline{G(T)}$ ならば $w_1=Sv=w_2$ である。そこで任意の $v\in D$ に対し $(v,w)\in \overline{G(T)}$ として定まる $w$ に対し $w:=\overline{T}v$ とおき、線形作用素
$$
\overline{T}\colon D(\overline{T}):=D\ni v\mapsto \overline{T}v\in \mathcal{K}
$$
を定義する。このとき明らかに $G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ である。閉線形作用素 $\overline{T}$ を可閉線形作用素 $T$ の閉包と言う。$\overline{T}$ は $T$ を包含する閉線形作用素の中で最小のものとして特徴付けられる。
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ から Hilbert空間 $\mathcal{K}$ への閉線形作用素とする。線形部分空間 $D\subset D(T)$ で、
$$
\overline{T|_D}=T
$$
を満たすものを $T$ の芯と言う。ただし $T|_D$ は $T$ の $D$ 上への制限である。
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ をそれぞれHilbert空間とする。
- $(1)$ $T_1,T_2$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とする。このとき、
$$ S(T_1+T_2)\supset ST_1+ST_2 $$
が成り立つ。また、$T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S_1,S_2$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とすると、
$$ (S_1+S_2)T=S_1T+S_2T $$
が成り立つ。 - $(2)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$ S(\alpha T)=(\alpha S)T=\alpha(ST) $$
が成り立つ。 - $(3)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への単射線形作用素とし、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素とすると、$ST$ は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への単射線形作用素であり、
$$ (ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1} $$
が成り立つ。 - $(4)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$\alpha\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ とすると、
$$ (\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^* $$
が成り立つ。 - $(5)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、
$$ ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*) $$
が成り立つ。 - $(6)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とすると、$T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への閉線形作用素である。
- $(7)$ $S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S\subset T$ であるとすると、$T^*\subset S^*$ が成り立つ。
- $(8)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された可閉線形作用素とすると、$(\overline{T})^*=T^*$ が成り立つ。
- $(9)$ $T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素、$S$ を $\mathcal{K}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$ST$ が $\mathcal{H}$ から $\mathcal{L}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$ (ST)^*\supset T^*S^* $$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であれば、
$$ (ST)^*=T^*S^* $$
が成り立つ。 - $(10)$ $S,T$ を $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素とし、$S+T$ も $\mathcal{H}$ から $\mathcal{K}$ への稠密に定義された線形作用素であるとすると、
$$ (S+T)^*\supset S^*+T^* $$
が成り立つ。またもし $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であれば、
$$ (S+T)^*=S^*+T^* $$
が成り立つ。 - $(11)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal K}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素とすると、$ST$ は ${\cal H}$ から ${\cal L}$ への閉線型作用素である。
- $(12)$ $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$、$S$ を ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素とすると、$S+T$ は ${\cal H}$ から ${\cal K}$ への閉線型作用素である。
$(1),(2)$ は線形作用素の和、スカラー倍、積の定義（
定義5
）より明らかである。$(3)$ は単射線形作用素の逆作用素の定義（
定義4
）より明らかである。$(4)$ は稠密に定義された線形作用素の共役作用素の定義（
定義6
）より明らかである。
$(5)$ を示す。任意の $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから、$v\in D(T^*)$ であり、
$$
(T^*v\mid u)=(v\mid Tu)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
である。$\overline{D(T)}=\mathcal{H}$ であるからこれは $v\in {\rm Ker}(T^*)$ を意味する。逆に $v\in {\rm Ker}(T^*)$ ならば、
$$
(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)=0\quad(\forall u\in D(T))
$$
であるから $v\in ({\rm Ran}(T))^{\perp}$ である。
$(6)$ を示す。$\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ において、
$$
(v_n,T^*v_n)\rightarrow (v,w)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるとすると、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(w\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v_n\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n\mid Tu)=(v\mid Tu)
$$
であるから $v\in D(T^*)$ であり、$w=T^*v$ である。よって $G(T^*)$ は $\mathcal{K}\oplus \mathcal{H}$ の閉部分空間なので $T^*$ は閉である。
$(7)$ を示す。任意の $v\in D(T^*)$ を取る。任意の $u\in D(S)$ に対し $Su=Tu$ であるから、
$$
(v\mid Su)=(v\mid Tu)=(T^*v\mid u)
$$
である。よって $v\in D(S^*)$ であり、$S^*v=T^*v$ である。ゆえに $T^*\subset S^*$ である。
$(8)$ を示す。$(7)$ より $(\overline{T})^*\subset T^*$ であるから逆の包含関係を示す。任意の $u\in D(\overline{T})$ と任意の $v\in D(T^*)$ を取る。$(u,\overline{T}u)\in G(\overline{T})=\overline{G(T)}$ より $D(T)$ の列 $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
(u_n,Tu_n)\rightarrow (u,\overline{T}u)\quad(n\rightarrow\infty)
$$
なるものが取れる。これより、
$$
(T^*v\mid u)=\lim_{n\rightarrow\infty}(T^*v\mid u_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v\mid Tu_n)=(v\mid \overline{T}u)
$$
であるから、$v\in D((\overline{T})^*)$ であり、$(\overline{T})^*v=T^*v$ である。よって $T^*\subset (\overline{T})^*$ が成り立つ。
$(9)$ を示す。任意の $v\in D(T^*S^*)$、任意の $u\in D(ST)$ に対し、
$$
(v\mid STu)=(S^*v\mid Tu)=(T^*S^*v\mid u)
$$
であるから $v\in D((ST)^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって $T^*S^*\subset (ST)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ であるとき逆の包含関係 $(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D(ST)^*$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(S^*v\mid Tu)=(v\mid STu)=( (ST)^*v\mid u)
$$
であるから、$S^*v\in D(T^*)$ であり、$T^*S^*v=(ST)^*v$ である。よって$(ST)^*\subset T^*S^*$ が成り立つ。
$(10)$ を示す。任意の $v\in D(S^*+T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)$、任意の $u\in D(S+T)=D(S)\cap D(T)$ に対し、
$$
(v\mid (S+T)u)=(v\mid Su)+(v\mid Tu)=(S^*v\mid u)+(T^*v\mid u)=((S^*+T^*)v\mid u)
$$
であるから、$v\in D( (S+T)^*)$ であり、$(S+T)^*v=(S^*+T^*)v$ である。よって $S^*+T^*\subset (S+T)^*$ が成り立つ。$S\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であるとき逆の包含関係 $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つことを示す。任意の $v\in D( (S+T)^*)$、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$
(v\mid Tu)=(v\mid (S+T)u)-(v\mid Su)=( (S+T)^*v\mid u)-(S^*v\mid u)
$$
であるから、$v\in D(T^*)=D(S^*)\cap D(T^*)=D(S^*+T^*)$ であり、$(S+T)^*v=S^*v+T^*v$ である。よって $(S+T)^*\subset S^*+T^*$ が成り立つ。
$(11)$ を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(ST)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,STv_n)=(v,w)$ なる $D(ST)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 $T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(Tv,w)=\lim_{n\rightarrow\infty}(Tv_n,STv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w=STv$ であるから $(v,w)=(v,STv)\in G(ST)$ である。これより $\overline{G(ST)}=G(ST)$ なので $ST$ は閉である。
$(12)$を示す。任意の $(v,w)\in \overline{G(S+T)}$ に対し $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n)=(v,w)$ なる $D(S+T)$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を取る。$T\in \mathbb{B}({\cal H},{\cal K})$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n=Tv$ であるので、
$$
(v,w-Tv)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,(S+T)v_n-Tv_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Sv_n)\in \overline{G(S)}=G(S)
$$
である。よって $w-Tv=Sv$ であるから $(v,w)=(v,(S+T)v)\in G(S+T)$ である。これより $\overline{G(S+T)}=G(S+T)$ なので $S+T$ は閉である。
$T$ をHilbert空間 $\mathcal{H}$ からHilbert空間 $\mathcal{K}$ への稠密に定義された閉線形作用素とする。このとき、
- $(1)$ $D(T^*T)$ は $T$ の芯であり、$1+T^*T\colon D(T^*T)\rightarrow\mathcal{H}$ は全単射である。
- $(2)$ $T^*$ は $\mathcal{K}$ から $\mathcal{H}$ への稠密に定義された閉線形作用素である。
- $(3)$ $T^{**}=T$ が成り立つ。
- $(4)$ $(T^*T)^*=T^*T$ が成り立つ。
- $(1)$ $T$ は閉線形作用素であるから $G(T)$ はHilbert空間 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $G(T)$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の内積によりHilbert空間である。Hilbert空間 $G(T)$ からHilbert空間 $\mathcal{H}$ への有界線形作用素
$$ \pi\colon G(T)\ni (v,Tv)\mapsto v\in \mathcal{H} $$
を考える。$\pi$ は単射であるから 命題1 の $(5)$ より、
$$ (\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp}={\rm Ker}(\pi)=\{0\} $$
である。よって、
$$ \overline{\pi^*(\mathcal{H})}=( (\pi^*(\mathcal{H}))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=G(T) $$
である（ 命題4 ）。そこで、
$$ D\colon=\pi(\pi^*(\mathcal{H}))\subset D(T) $$
とおけば $G(T|_D)=\pi^*(\mathcal{H})$ であるから、
$$ \overline{G(T|_D)}=\overline{\pi^*(\mathcal{H})}=G(T) $$
である。よって $D$ は $T$ の芯である。今、任意の $v=\pi(\pi^*(w))\in \pi(\pi^*(\mathcal{H}))=D$ を取る。このとき $\pi^*(w)=(v,Tv)$ であるから、任意の $u\in D(T)$ に対し、
$$ (v\mid u)+(Tv\mid Tu)=( (v,Tv)\mid (u,Tu))=(\pi^*(w)\mid (u,Tu))=(w\mid u) $$
である。よって、
$$ (w-v\mid u)=(Tv\mid Tu)\quad(\forall u\in D(T)) $$
であるから、$v\in D(T^*T)$、$w=v+T^*Tv$ である。これより $D\subset D(T^*T)$ であるから $D(T^*T)$ も $T$ の芯であり、また $w\in {\cal H}$ の任意性より $\mathcal{H}={\rm Ran}(1+T^*T)$ である。後は $1+T^*T$ が単射であることを示せばよい。そこで任意の $v\in {\rm Ker}(1+T^*T)$ を取る。
$$ 0=(v\mid (1+T^*T)v)=(v\mid v)+(v\mid T^*Tv)=\| v\|^2+\| Tv\|^2 $$
であるから $v=0$ である。ゆえに $1+T^*T$ は単射である。 - $(2)$ $(1)$ より $D(T^*T)$ は $T$ の芯であるから任意の $v\in D(T)$ に対し $D(T^*T)$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ (v_n,Tv_n)\rightarrow (v,Tv)\quad(n\rightarrow\infty) $$
なるものが取れる。よって、
$$ Tv=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_n\in \overline{D(T^*)} $$
であるから、
$$ {\rm Ran}(T)\subset \overline{D(T^*)} $$
が成り立つ。これと 命題1 の $(5)$ より、
$$ (D(T^*))^{\perp}=(\overline{D(T^*)})^{\perp}\subset ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)\subset D(T^*) $$
であるから $(D(T^*))^{\perp}=\{0\}$ である。よって
$$ \overline{D(T^*)}=( (D(T^*))^{\perp})^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{K} $$
であるから $T^*$ は稠密に定義された線形作用素である。$T^*$ が閉であることは 命題1 の $(6)$ による。 - $(3)$
$$ (u\mid T^*v)=(Tu\mid v)\quad(\forall v\in D(T^*),\forall u\in D(T)) $$
であるから $T\subset T^{**}$ である。同様に $T^*\subset T^{***}$ である。ここで $T\subset T^{**}$ と 命題1 の $(7)$ より $T^{***}\subset T^*$ であるので $T^*=T^{***}$ である。$T=T^{**}$ を示すにはHilbert空間 $G(T^{**})$ における閉部分空間 $G(T)$ の直交補空間 $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ が $\{0\}$ であることを示せばよい。そこで任意の $(v,T^{**}v)\in G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}$ を取る。
$$ 0=( (u,Tu)\mid (v,T^{**}v))=(u\mid v)+(Tu\mid T^{**}v)\quad(\forall u\in D(T)) $$
であるから $v\in D(T^*T^{**})=D(T^{***}T^{**})$ であり、
$$ 0=(1+T^*T^{**})v=(1+T^{***}T^{**})v $$
である。$T^{**}$ は稠密に定義された閉線形作用素であるので $(1)$ より $1+T^{***}T^{**}$ は単射である。よって $v=0$、したがって $(v,T^{**}v)=0$ であるので $G(T^{**})\cap (G(T))^{\perp}=\{0\}$ である。ゆえに $T=T^{**}$ である。 - $(4)$ $(1)$ より $T^*T$ は稠密に定義された線形作用素であり、
$$ (u\mid T^*Tv)=(Tu\mid Tv)=(T^*Tu\mid v)\quad(\forall u,v\in D(T^*T)) $$
であるから $T^*T\subset (T^*T)^*$ である。$T^*T=(T^*T)^*$ を示すには $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ を示せばよい。任意の $w\in D( (T^*T)^*)=D(1+(T^*T)^*)=D( (1+T^*T)^*)$ を取る。$(1)$ より ${\rm Ran}(1+T^*T)=\mathcal{H}$ であるから、
$$ (1+T^*T)^*w=(1+T^*T)v $$
なる $v\in D(T^*T)$ が取れる。 $1+T^*T\subset 1+(T^*T)^*=(1+T^*T)^*$ なので、
$$ (1+T^*T)^*(w-v)=0 $$
である。よって 命題1 の $(5)$ より、
$$ w-v\in {\rm Ker}( (1+T^*T)^*)=({\rm Ran}(1+T^*T))^{\perp}=\mathcal{H}^{\perp}=\{0\} $$
である。ゆえに $w=v\in D(T^*T)$ であるので $D( (T^*T)^*)\subset D(T^*T)$ である。よって $T^*T=(T^*T)^*$ である。
