Hilbert空間上の作用素論11：直和Hilbert空間上の作用素
11. 直和Hilbert空間上の線形作用素
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間（
定義9
）$\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ から直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $\bigoplus_{j\in J}T_j$ を、
$$
D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\colon=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j: v_j\in D(T_j)\text{ }(\forall j\in J),\text{ } (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j \right\},
$$
$$
\bigoplus_{j\in J}T_j\colon D\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)\ni (v_j)_{j\in J}\mapsto (T_jv_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j
$$
と定義する。$\bigoplus_{j\in J}T_j$ を $(T_j)_{j\in J}$ の直和と言う。
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{K}_j$ への線形作用素 $T_j,S_j$ と、Hilbert空間 $\mathcal{K}_j$ からHilbert空間 $\mathcal{L}_j$ への線形作用素 $R_j$ が与えられているとする。このとき、
- $(1)$ $(T_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$（注：$\bigoplus_{j\in J}^{(\infty)}\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j)$ はBanach空間の族 $(\mathbb{B}(\mathcal{H}_j,\mathcal{K}_j) )_{j\in J}$ の $\ell^\infty$ 直和Banach空間（
定義8
）である。） ならば、
$$ \bigoplus_{j\in J}T_j\in \mathbb{B}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\text{ }\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j\right),\quad \left\| \bigoplus_{j\in J}T_j\right\|=\sup_{j\in J}\| T_j\|=\| (T_j)_{j\in J}\|_{\infty} $$
が成り立つ。 - $(2)$ 各 $j\in J$ に対し $T_j$ が可閉ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も可閉であり、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j} $$
が成り立つ。そして、
$$ D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D_j(T_j)\subset \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j $$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ の芯である。 - $(3)$ 各 $j\in J$ に対し $T_j$ が稠密に定義された線形作用素ならば $\oplus_{j\in J}T_j$ も稠密に定義された線形作用素であり、
$$ \left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)^*=\bigoplus_{j\in J}T_j^* $$
が成り立つ。 - $(4)$
$$ \bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j) $$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉ならば、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j} $$
が成り立つ。 - $(5)$
$$ \bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}R_jT_j $$
であり、もし各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉ならば、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j} $$
が成り立つ。
$$
\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j,\quad
\mathcal{K}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{K}_j,\quad
\mathcal{L}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{L}_j
$$
とおき、自然に、
$$
\mathcal{H}_j\subset \mathcal{H},\quad \mathcal{K}_j\subset \mathcal{K},\quad
\mathcal{L}_j\subset \mathcal{L}\quad(\forall j\in J)
$$
とみなす。
- $(1)$ $T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \sum_{j\in J}\| T_jv_j\|^2\leq (\sup_{j\in J}\| T_j\|)^2\sum_{j\in J}\| v_j\|^2=(\sup_{j\in J}\| T_j\|)^2 \| v\|^2 $$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ であり、$\| T\|\leq \sup_{j\in J}\| T_j\|$ である。また任意の $j\in J$、任意の $v_j\in \mathcal{H}_j$ に対し、
$$ \| T_jv_j\|=\| Tv_j\|\leq\| T\|\| v_j\| $$
であるから $\| T_j\|\leq \| T\|$ である。よって $\| T\|=\sup_{j\in J}\| T_j\|$ が成り立つ。 - $(2)$
$$ U\colon\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}\ni ( (u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J})\mapsto (u_j,v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j) $$
は明らかにユニタリ作用素である。そして、
$$ U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right) =\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)} $$
である。右辺は $\bigoplus_{j\in J}(\mathcal{H}_j\oplus \mathcal{K}_j)$ の閉部分空間であるから、$G(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j})$ は $\mathcal{H}\oplus \mathcal{K}$ の閉部分空間である。よって $\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}$ は閉線形作用素である。また、
$$ U\left(\overline{G\left(\bigoplus_{j\in J}T_j\right)}\right) =\overline{\bigoplus_{j\in J}G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}\overline{G(T_j)}=\bigoplus_{j\in J}G(\overline{T_j})=U\left(G\left(\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j}\right)\right) $$
であるから、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{T_j} $$
である。$T=\bigoplus_{j\in J}T_j$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T)$ を取り、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係を入れた有向集合とする。
$$ v_F\colon=\sum_{j\in F}v_j\in D=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$
とおけば、
$$ Tv_F=\sum_{j\in F}T_jv_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$
なので、
$$ (v_F,Tv_F)\rightarrow(v,Tv)\quad(F\rightarrow J) $$
である。よって $G(T)\subset \overline{G(T|_D)}$ であるから、
$$ G(\overline{T})=\overline{G(T)}\subset \overline{G(T|_D)}\subset G(\overline{T}) $$
である。ゆえに $D$ は $\overline{T}$ の芯である。 - $(3)$ $T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$、$T'\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j^*$ とおく。
$\text{span}\bigcup_{j\in J}D(T_j)\subset D(T)$ であり、左辺は $\mathcal{H}$ において稠密であるので $T$ は稠密に定義された線形作用素である。任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in D(T)$、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T')$ に対し、
$$ (v\mid Tu)=\sum_{j\in J}(v_j\mid T_ju_j)=\sum_{j\in J}(T_j^*v_j\mid u_j) =(T'v\mid u) $$
であるから、$T'\subset T^*$ である。逆の包含関係を示す。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D(T^*)$ を取り、$v\in D(T')$ であることを示せばよい。
$$ w=(w_j)_{j\in J}=T^*v\in \mathcal{H} $$
とおく。このとき任意の $j\in J$、任意の $u_j\in D(T_j)$ に対し、
$$ (v_j\mid T_ju_j)=(v\mid Tu_j)=(T^*v\mid u_j)=(w_j\mid u_j) $$
であるから $v_j\in D(T_j^*)$ であり、$w_j=T_j^*v_j$ である。よって、
$$ (T_j^*v_j)_{j\in J}=(w_j)_{j\in J}=w\in \mathcal{H} $$
であるから、$v\in D(T')$ である。 - $(4)$
$$ \bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j\subset \bigoplus_{j\in J}(S_j+T_j) $$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $S_j+T_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{S_j+T_j}$ は閉線形作用素であり、
$$ D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(S_j+T_j) $$
は $\bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j})$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$ \bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j}) $$
であるから、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}S_j+\bigoplus_{j\in J}T_j}= \bigoplus_{j\in J}(\overline{S_j+T_j}) $$
が成り立つ。 - $(5)$
$$ \bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j\subset\bigoplus_{j\in J}R_jT_j $$
は自明である。各 $j\in J$ に対し $R_jT_j$ が可閉であるとすると、$(2)$ より $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ は閉線形作用素であり、
$$ D\colon=\text{span}\bigcup_{j\in J}D(R_jT_j) $$
は $\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j}$ の芯である。そして $D$ 上で、
$$ \bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j} $$
であるから、
$$ \overline{\bigoplus_{j\in J}R_j\bigoplus_{j\in J}T_j}=\bigoplus_{j\in J}\overline{R_jT_j} $$
が成り立つ。
$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ と射影値測度 $E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ が与えられているとする。このとき、
$$
\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B_j)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
は射影値測度であり、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。そして点スペクトル（
定義1
）に関して、
$$
\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right),\quad\quad(**)
$$
スペクトルに関して、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)d\left(\bigoplus_{j\in J}E_j\right)(x)\right)
=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
$\mathcal{H}\colon=\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$、$E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ とおく。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取り $B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ とおく。任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\begin{aligned}
(v\mid E(B)v)=\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B)=\sum_{j\in J}\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}E_{j,v_j,v_j}(B_n)
=\sum_{n\in\mathbb{N}}(v\mid E(B_n)v)
\end{aligned}
$$
であり、偏極恒等式より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
(u\mid E(B)v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid E(B)(i^ku+v))
$$
であるから、任意の $u,v\in {\cal H}$ に対し
$E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\in B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ は複素数値測度である。よって $E\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ は射影値測度である。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $(*)$ が成り立つこと、すなわち、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)
$$
が成り立つことを示す。$f$ が可測単関数である場合は明らかに成り立つ。また有界可測関数は可測単関数の列によって一様近似できる（
命題6
）ので、$f$ が有界可測関数の場合も成り立つ。そこで任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列を定義すると、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
&\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\|\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\|^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{j\in J}\left\|\int_{X}f_n(x)dE_j(x)v_j\right\|^2
=\sup_{n\in \mathbb{N}}\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\sum_{j\in J}\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
\quad\quad(****)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{v\in \mathcal{H}: \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:\sum_{j\in J} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)<\infty\right\}\\
&=\left\{(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}:v_j\in D_{E_j}(f)\text{ }(\forall j\in J),\text{ }\sum_{j\in J}\left\| \int_{X}f(x)dE_{j}(x)v_j\right\|^2<\infty\right\}\\
&=D\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
\end{aligned}
$$
である。そして任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $(****)$ で $f$ を $f-f_n$ に置き換えたものを考えると、
$$
\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)
$$
であるから、任意の $v=(v_j)_{j\in J}\in D_E(f)=D(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x))$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\left\|\int_{X}f(x)dE(x)v-\int_{X}f_n(x)dE(x)v\right\|^2=\left\| \int_{X}(f(x)-f_n(x) )dE(x)v\right\|^2\\
&=\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sum_{j\in J}\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\\
&=\left\|\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(f(x)-f_n(x))dE_j(x)\right)v\right\|^2\\
&=\left\|\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v-\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v\right\|^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*****)
\end{aligned}
$$
であり、Lebesgue優収束定理より $(*****)$ の左から$3$ 番目の式は $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
$$
\int_{X}f(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f_n(x)dE_j(x)\right)v=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)v
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
$(**)$ が成り立つことを示す。任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取る。任意の $\lambda\in\mathbb{C}$ に対し、
$$
\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)\quad\quad(******)
$$
であり、明らかに $\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射であることと全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)=\lambda-\int_{X}f(x)dE_j(x)$ が単射であることは同値である。よって $(**)$ が成り立つ。
$(***)$ が成り立つことを示す。$\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、$\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ が単射かつ値域が $\mathcal{H}$ ならば、明らかに全ての $j\in J$ に対し $\int_{X}(\lambda-f(x))dE_j(x)$ は単射で値域は $\mathcal{H}_j$ である。よって $(******)$ よりレゾルベント集合に関して、
$$
\rho\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\subset \bigcap_{j\in J}\rho\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)
$$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
$$
\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)}\quad\quad(*******)
$$
を取り、
$$
\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)=\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\colon D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}
$$
が全単射であることを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE_j(x))$ であるから $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE_j(x)\colon D_{E_j}(f)\rightarrow\mathcal{\mathcal{H}}$ は全単射である。よって $\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は単射であり、任意の $u=(u_j)_{j\in J}\in \mathcal{H}$ に対し、$v_j\in D_{E_j}(f)$ $(\forall j\in J)$ で、
$$
u_j=\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\quad(\forall j\in J)
$$
を満たすものが取れる。$(v_j)_{j\in J}\in {\cal H}$ であることを示す。$(*******)$ よりある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap \sigma\left(\int_{X}f(x)dE_j(x)\right)=\emptyset\quad(\forall j\in J)
$$
が成り立つから、
命題7
より、
$$
\{\lambda\in \mathbb{C}:\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<\epsilon\}\cap {\rm ess.Ran}_{E_j}(f)=\emptyset\quad(\forall j\in J),
$$
よって本質的値域の定義（
定義5
）より、
$$
E_j( (\lvert\lambda_0-f\rvert<\epsilon) )=0\quad(\forall j\in J)
$$
である。これより、
$$
\begin{aligned}
\| u_j\|^2&=\left\| \int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\|^2
=\left\| \int_{(\lvert\lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right\|^2\\
&=\int_{(\lvert \lambda_0-f\rvert\geq\epsilon)}\lvert\lambda_0-f(x)\rvert^2dE_{j,v_j,v_j}(x)\geq \epsilon^2\| v_j\|^2\quad(\forall j\in J),
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\sum_{j\in J}\| v_j\|^2\leq \sum_{j\in J}\frac{1}{\epsilon^2}\| u_j\|^2=\frac{1}{\epsilon^2}\| u\|^2<\infty
$$
である。よって $v:=(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j=\mathcal{H}$ であり、
$$
u=(u_j)_{j\in J}=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}
$$
であるから、$v=(v_j)_{j\in J}\in D(\bigoplus_{j\in J}(\lambda_0-f(x))dE_j(x))=D(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$
u=\left(\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)v_j\right)_{j\in J}=\left(\bigoplus_{j\in J}\int_{X}(\lambda_0-f(x))dE_j(x)\right)v=\left(\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v
$$
であり、$u\in \mathcal{H}$ は任意なので、$\lambda_0-\int_{X}f(x)dE(x)$ は全射である。ゆえに $\lambda_0\in \mathbb{C}\backslash \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(***)$ が成り立つ。
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対しHilbert空間 $\mathcal{H}_j$ 上の自己共役作用素 $T_j$ が与えられているとする。このとき直和Hilbert空間 $\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j$ 上の線形作用素 $T\colon=\bigoplus_{j\in J}T_j$ は 自己共役作用素であり、
$$
\sigma(T)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(T_j)}
$$
が成り立つ。さらに任意のBorel関数 $f\colon\sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
であり、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),\quad
\sigma(f(T))=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T))}
$$
が成り立つ。
$T$ が自己共役作用素であることは
命題1
による。各 $j\in J$ に対し 自己共役作用素 $T_j$ のスペクトル測度を $E^{T_j}\colon\mathcal{B}_{\sigma(T_j)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H}_j)$ とおき、射影値測度
$$
E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto E^{T_j}(B\cap \sigma(T_j))\in \mathbb{P}(\mathcal{H}_j)
$$
を定義する。このとき明らかに任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\int_{\sigma(T_j)}f(\lambda)dE^{T_j}(\lambda)=f(T_j)
$$
である。
定理2
により射影値測度
$$
E\colon=\bigoplus_{j\in J}E_j\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\ni B\mapsto \bigoplus_{j\in J}E_j(B)\in \mathbb{P}\left(\bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}_j\right)
$$
を定義すると、
$$
\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}\lambda dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}T_j=T
$$
である。そして
命題3
より任意のBorel関数 $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
f(T)=f\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda dE(\lambda)\right)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)
$$
であるから、
定理2
より、
$$
f(T)=\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)=\bigoplus_{j\in J}f(T_j)
$$
である。さらに
定理2
より、
$$
\sigma_{\rm p}(f(T))=\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)=
\bigcup_{j\in J}\sigma_{\rm p}(f(T_j)),
$$
$$
\sigma(f(T))=\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE(\lambda)\right)=\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma\left(\int_{\mathbb{R}}f(\lambda)dE_j(\lambda)\right)}=
\overline{\bigcup_{j\in J}\sigma(f(T_j))}
$$
である。
