Hilbert空間上の作用素論6：射影値測度による積分

• $(1)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid E(\emptyset)v)=E_{u,v}(\emptyset)=0$ であるから $E(\emptyset)=0$ である。
• $(2)$　$\mathbb{P}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_+(\mathcal{H})$ であるから任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{v,v}$ は非負値測度である。よって非負値測度の単調性より $A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\subset B$ を満たすならば、
  $$ (v\mid E(A)v)=E_{v,v}(A)\leq E_{v,v}(B)=(v\mid E(B)v)\quad(\forall v\in \mathcal{H}) $$
  であるから、 命題2 より $E(A)\leq E(B)$ が成り立つ。
• $(3)$　$A,B\in \mathfrak{M}$ が $A\cap B=\emptyset$ を満たすとすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ (u\mid E(A\cup B)v)=E_{u,v}(A\cup B)=E_{u,v}(A)+E_{u,v}(B)=(u\mid (E(A)+E(B))v) $$
  であるから、$E(A)+E(B)=E(A\cup B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ である。よって Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題8.3 より $E(A)$ と $E(B)$ は直交するので $E(A)E(B)=0=E(A\cap B)$ である。
  任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ を取る。$A=(A\backslash B)\cup (A\cap B)$ であり、$(A\backslash B)\cap (A\cap B)=\emptyset$ であるから上段の結果より、
  $$ E(A)=E(A\backslash B)+E(A\cap B) $$
  である。そして $(A\backslash B)\cap B=\emptyset$ であるので、再び上段の結果より、
  $$ E(A\backslash B) E(B)=0 $$
  である。$(2)$ より $E(A\cap B)\leq E(B)$ であるから Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題8.2 より、
  $$ E(A\cap B)=E(A\cap B)E(B) $$
  である。よって、
  $$ E(A)E(B)=(E(A\backslash B)+E(B))E(B)=E(A\backslash B)E(B)+E(A\cap B)E(B)=E(A\cap B) $$
  である。
• $(4)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の非交叉列ならば $(3)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の直交族であるから $\sum_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)$ はSOTで収束する（ 定義2 を参照）。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ \left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right) =E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right) =\sum_{n\in\mathbb{N}}E_{u,v}(B_n) =\sum_{n\in \mathbb{N}}(u\mid E(B_n)v) =(u\mid \sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)v) $$
  であるから $E(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}E(B_n)$ が成り立つ。
• $(5)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調増加列ならば 命題1 の $(3)$ より任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ \left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right) =E_{u,v}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n\right) =\lim_{n\rightarrow\infty}E_{u,v}(B_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v) $$
  である。そして $(2)$ より $(E(B_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は射影作用素の単調増加列であるから 定理2 より、
  $$ \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n) $$
  である。よって任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
  $$ \left(u\mid E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)v\right) =\lim_{n\rightarrow\infty}(u\mid E(B_n)v) =(u\mid \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)v) =(u\mid \sup_{n\in\mathbb{N}}E(B_n)v) $$
  であるから、
  $$ E\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n\right)=\text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=\sup_{n\in \mathbb{N}}E(B_n) $$
  である。
• $(6)$　$(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\mathfrak{M}$ の単調減少列ならば $(X\backslash B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であり、$X\backslash \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(X\backslash B_n)$ である。このことと $(5)$ より分かる。

一意性は自明である。存在を示す。まず任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\ni B\mapsto (u\mid E(B)v)\in \mathbb{C}$ の全変動（ 定義8 ）$\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ が $\lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \| u\|\| v\|$ を満たすことを示す。そのためには
$\mathfrak{M}$ の有限非交叉列 $B_1,\ldots,B_n$ で $X=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ なるものを取り、
$$ \sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq \| u\|\| v\|\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。そこで各 $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\alpha_jE_{u,v}(B_j)$、$\lvert\alpha_j\rvert=1$ を満たす $\alpha_j\in \mathbb{C}$ を取る。このとき、
$$ \sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert=\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE_{u,v}(B_j) =\sum_{j=1}^{n}(u\mid \alpha_jE(B_j)v)\leq \| u\|\left\|\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\| $$
であり、$B_1,\ldots,B_n$ が非交叉であることから $E(B_1)v,\ldots,E(B_n)v$ は互いに直交する（ 命題1 ）ので、
$$ \left\|\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\|^2=\sum_{j=1}^{n}\| \alpha_jE(B_j)v\|^2=\sum_{j=1}^{n}\| E(B_j)v\|^2 =\left\| \sum_{j=1}^{n}E(B_j)v\right\|^2=\| E(X)v\|^2=\| v\|^2 $$
である。よって、
$$ \sum_{j=1}^{n}\lvert E_{u,v}(B_j)\rvert\leq\| u\|\left\|\sum_{j=1}^{n}\alpha_jE(B_j)v\right\|=\| u\|\| v\| $$
より $(*)$ が成り立つので、
$$ \lvert E_{u,v}\rvert(X)\leq \| u\|\| v\|\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**) $$
が成り立つ。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ を取り固定する。$f$ は可測単関数によって一様近似できる（ 命題6 ）から、
$$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C}\quad\quad(***) $$
は準双線形汎関数であり、$(**)$ より、
$$ \left\lvert \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert\leq\| f\|\lvert E_{u,v}\rvert (X)\leq \| f\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
であるから、$(***)$ はノルムが $\| f\|$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって 定理1 より任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し $\Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$ (u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
を満たすものが定まり、$\| \Phi_E(f)\|\leq \| f\|$ である。こうしてノルム減少な有界線形作用素
$$ \Phi_E:\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})\ni f\mapsto \Phi_E(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}) $$
が定義される。$\Phi_E$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$(v\mid \Phi_E(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}dE_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)dE_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Phi_E(f)v)}=(\Phi_E(f)v\mid v)=(v\mid \Phi_E(f)^*v) \quad(\forall v\in \mathcal{H}) $$
であるから、偏極恒等式（ 定義4 ）より、
$$ \Phi_E(\overline{f})=\Phi_E(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})) $$
である。よって $\Phi_E$ は対合を保存する。後は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対し、
$$ \Phi_E(fg)=\Phi_E(f)\Phi_E(g)\quad\quad(****) $$
が成り立つことを示せばよい。任意の $B\in \mathfrak{M}$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (u\mid \Phi_E(\chi_B)v)=\int_{X}\chi_B(x)dE_{u,v}(x)=E_{u,v}(B)=(u\mid E(B)v) $$
であるから、
$$ \Phi_E(\chi_B)=E(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M}) $$
である。よって任意の $A,B\in \mathfrak{M}$ に対し 命題1 より、
$$ \Phi_E(\chi_A\chi_B)=\Phi_E(\chi_{A\cap B})=E(A\cap B)=E(A)E(B)=\Phi_E(\chi_A)\Phi_E(\chi_B) $$
であるから、$\Phi_E$ の線形性より $(****)$ は任意の可測単関数 $f,g$ に対して成り立つ。任意の有界可測関数は可測単関数によって一様近似できること（ 命題6 ）と、$\Phi_E$ が有界線形作用素であることから、$(****)$ は任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M})$ に対して成り立つ。よって $\Phi_E$ は*-環準同型写像である。

• $(1)$　任意の $v\in D_E(f)$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
  $$ E_{\alpha v,\alpha v}(B)=\| E(B)\alpha v\|^2=\lvert\alpha\rvert^2\| E(B)v\|^2=\lvert \alpha\rvert^2E_{v,v}(B)\quad(\forall B\in \mathfrak{M}) $$
  であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{\alpha v,\alpha v}(x)=\lvert\alpha\rvert^2\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)<\infty $$
  である。よって $\alpha v\in D_E(f)$ である。また任意の $u,v\in D_E(f)$ に対し、
  $$ E_{u+v,u+v}(B)=\| E(B)u+E(B)v\|^2 \leq 2(\| E(B)u\|^2+\| E(B)v\|^2)=2(E_{u,u}(B)+E_{v,v}(B))\quad(\forall B\in\mathfrak{M}) $$
  であるから、非負値可測関数の非負値可測単関数の各点単調増加列による近似より、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u+v,u+v}(x)\leq 2\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{u,u}(x)+\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)<\infty $$
  である。よって $u+v\in D_E(f)$ であるので $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v_n=E( (\lvert f\rvert\leq n))v$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおくと、
  $$ E_{v_n,v_n}(B)=\| E(B)v_n\|^2=\| E(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))v\|^2 =E_{v,v}(B\cap (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in \mathfrak{M}) $$
  であるから、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v_n,v_n}(x)=\int_{(\lvert f\rvert\leq n)}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\leq n^2\| v\|^2<\infty\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  である。よって $v_n\in D_E(f)$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ である。また 命題1 より、
  $$ \text{SOT-}\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))=E(X)=1 $$
  であるから、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}v_n=\lim_{n\rightarrow\infty}E( (\lvert f\rvert\leq n))v=v $$
  である。よって $D_E(f)$ は $\mathcal{H}$ の稠密部分空間である。
• $(2)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in \mathcal{H}$、任意の $v\in D_E(f)$ を取り固定する。複素数値測度 $E_{u,v}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{C}$ の全変動 $\lvert E_{u,v}\rvert\colon\mathfrak{M}\rightarrow [0,\infty)$ に対するRadon-Nikodym微分を $h\in\mathcal{L}(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ とする（複素数値測度による積分の定義（ 定義9 ）を参照）と、射影値測度による有界可測関数の積分の定義（ 定義3 ）より、
  $$ \begin{aligned} \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)&=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE_{u,v}(x)=\left(u\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)\right)v\right)\\ &\leq \| u\|\left\|\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)\right)v\right\| \end{aligned} $$
  であり、
  $$ \begin{aligned} \left\|\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\right\|^2 &=\left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert\overline{h(x)}dE(x)v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert \overline{h(x)}dE(x)v\right)\\ &=\left(v\mid \left(\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)\right)v\right)=\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}\\ &\leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \| u\|\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  が成り立つ。よって単調収束定理より、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x) =\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x) \leq\| u\|\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}<\infty $$
  であるから $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\lvert E_{u,v}\rvert)$ であり、
  $$ \left\lvert\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\right\rvert \leq\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert E_{u,v}\rvert(x)\leq \| u\|\left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}} $$
  が成り立つ。
• $(3)$　$f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。有界可測関数は可測単関数により一様近似できるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
  は準双線形汎関数である。そしてLebesgue優収束定理より、
  $$ \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f_n(x)dE_{u,v}(x) $$
  であるから、
  $$ \mathcal{H}\times D_E(f)\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
  は準双線形汎関数である。
• $(4)$　任意の $v\in D_E(f)$ に対し $(2),(3)$ より、
  $$ \mathcal{H}\ni u\mapsto \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
  は有界反線形汎関数であるから、Rieszの定理（ 定理5 ）より $\Phi_E(f)v\in \mathcal{H}$ で、
  $$ (u\mid \Phi_E(f)v)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)\quad(\forall u\in \mathcal{H}) $$
  を満たすものが一意的に定まる。そして $(3)$ より、
  $$ \Phi_E(f)\colon D_E(f)\ni v\mapsto \Phi_E(f)v\in \mathcal{H} $$
  は線形作用素であり、$(2)$ より、
  $$ \|\Phi_E(f)v\|\leq \left(\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall v\in D_E(f)) $$
  である。よって 任意の $v\in D_E(f)$ に対し、
  $$ \| \Phi_E(f)v-\Phi_E(f_n)v\|=\|\Phi_E(f-f_n)v\|\leq\left(\int_{X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\right)^{\frac{1}{2}}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であり、右辺はLebesgue優収束定理より $n\rightarrow\infty$ で $0$ に収束するので、
  $$ \|\Phi_E(f)v\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\|\Phi_E(f_n)v\| $$
  が成り立つ。ここで射影値測度による有界可測関数の積分の性質（ 定義3 ）より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \|\Phi_E(f_n)v\|^2=\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)v\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)v\right) =\left(v\mid \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE(x)v\right) =\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x) $$
  であるから、単調収束定理より、
  $$ \|\Phi_E(f)v\|^2=\lim_{n\rightarrow\infty}\|\Phi_E(f_n)v\|^2 =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x) =\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x) $$
  となる。

• $(1)$　任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$、$g_n=g\chi_{\lvert g\rvert\leq n}$ として有界可測関数の列 $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$、$(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。任意の $u\in\mathcal{H}$ と任意の $v\in D_E(g)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g_m(x)dE(x)v\right)\\ &=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g_m(x)dE(x)v\right) =\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right) \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall v\in D_E(g),\forall n\in\mathbb{N}) $$
  である。よって任意の $v\in D_E(g)$ に対し、
  $$ w:=\int_{X}g(x)dE(x)v\in \mathcal{H} $$
  とおけば、
  $$ \int_{X}f_n(x)dE(x)w=\int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であるから、ノルムの二乗を取れば、
  $$ \int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  となる。よって単調収束定理より、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{w,w}(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2dE_{v,v}(x) $$
  となる。これが任意の $v\in D_E(g)$ に対して成り立つので、
  $$ D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\right)=D_E(fg)\cap D_E(g) $$
  が成り立つ。そして任意の $v\in D_E(fg)\cap D_E(g)=D(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x))$ と任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)v\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)g(x)dE(x)v\right)= \left(u\mid\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v\right) \end{aligned} $$
  となる。よって、
  $$ \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)\subset \int_Xf(x)g(x)dE(x) $$
  が成り立つ。
• $(2)$　有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考える。任意の $u,v\in D_E(f)=D_E(\overline{f})$ に対し Lebesgue優収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \int_{X}f_n(x)dE(x)\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)u\mid v\right) =\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)u\mid v\right) \end{aligned} $$
  となるので、
  $$ \int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\subset \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^* $$
  が成り立つ。逆の包含関係を示す。任意の
  $$ v\in D\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\right) $$
  を取り、$v\in D_E(\overline{f})$ を示せばよい。まず $(1)$ より、
  $$ \int_{X}f_n(x)dE(x)=\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)E( (\lvert f\rvert\leq n))\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であるから、 命題1 の $(9)$ より、
  $$ E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\subset \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)^*=\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  である。よって単調収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\|\int_{X}\overline{f_n(x)}dE(x)v\right\|^2\\ &=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\| E( (\lvert f\rvert\leq n))\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\|^2\leq \left\| \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*v\right\|^2<\infty \end{aligned} $$
  であるから、$v\in D_E(\overline{f})$ である。
• $(3)$　任意の可測関数 $f\colon X\Rightarrow \mathbb{C}$ に対し $(2)$ より、
  $$ \int_{X}f(x)dE(x)=\left(\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\right)^* $$
  であるから、 命題1 の $(6)$ より $\int_{X}f(x)dE(x)$ は閉線形作用素である。
  任意の可測関数 $f,g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $D_E(f)\cap D_E(g)\subset D_E(f+g)$ であることと射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
  $$ \overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)+g(x)dE(x) $$
  が成り立つ。逆の包含関係を示す。
  $$ B_n\colon=(\lvert f\rvert\leq n)\cap (\lvert g\rvert\leq n)\in \mathfrak{M}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  とおくと、SOTで $\lim_{n\rightarrow\infty}E(B_n)=1$ であるから、任意の $v\in D_E(f+g)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
  $$ \begin{aligned} &\int_{X}f(x)+g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}(f(x)+g(x))\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v+\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)\right)E(B_n)v\\ &=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)+\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v \end{aligned} $$
  である。よって逆の包含関係が成り立つ。$(1)$ と射影値測度による積分が閉線形作用素であることから、
  $$ \overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\subset \int_{X}f(x)g(x)dE(x) $$
  である。この逆の包含関係を示す。任意の $v\in D_E(fg)$ に対しLebesgue優収束定理と $(1)$ より、
  $$ \begin{aligned} &\int_{X}f(x)g(x)dE(x)v=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)\chi_{B_n}(x)dE(x)v\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)E(B_n)v\\ &=\left(\overline{\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}g(x)dE(x)}\right)v \end{aligned} $$
  である。よって逆の包含関係が成り立つ。
• $(4)$　任意の $n\in \mathbb{N}$、$v\in D_E(f^n)$ に対し $E_{v,v}$ が有限測度であることから、Hölderの不等式より、
  $$ \lvert f\rvert^2\in \mathcal{L}^n(X,\mathfrak{M},E_{v,v})\subset \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},E_{v,v}) $$
  である。よって、
  $$ D_E(f^n)\subset D_E(f)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  が成り立つ。今、ある $n\in\mathbb{N}$ に対し、
  $$ \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^n=\int_{X}f(x)^ndE(x)\quad\quad(*) $$
  が成り立つと仮定すると、$(1)$ より、
  $$ \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}=\int_{X}f(x)^ndE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)^{n+1}dE(x) $$
  であり、$(1)$ と $D_E(f^{n+1})\subset D_E(f)$ より、
  $$ D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{n+1}\right)=D_E(f^{n+1})\cap D_E(f)=D_E(f^{n+1}) $$
  である。よって $(*)$ は $n+1$ の場合も成り立つので、帰納法より $(*)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。また $(1),(2)$ より、
  $$ \left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right) =\int_{X}\overline{f(x)}dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x) $$
  であり、$(1)$ と $D_E(\lvert f\rvert^2)\subset D_E(f)$ より、
  $$ D_E\left(\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)^*\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\right) =D_E(\lvert f\rvert^2)\cap D_E(f)=D_E(\lvert f\rvert^2) $$
  であるから、$(\int_{X}f(x)dE(x))^*(\int_{X}f(x)dE(x))=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE(x)$ が成り立つ。
• $(5)$　任意の $v\in {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ に対し、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{v,v}(x)=\left\| \int_{X}f(x)dE(x)v\right\|^2=0 $$
  であるから、
  $$ \| E( (\lvert f\rvert>0))v\|^2=E_{v,v}( (\lvert f\rvert>0))=0 $$
  である。よって、
  $$ v=E( (f=0))v+E( (\lvert f\rvert>0))v=E( (f=0))v\in {\rm Ran} E( (f=0)) $$
  であるから ${\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))\subset {\rm Ran}E( (f=0))$ が成り立つ。また $(1)$ より、
  $$ \int_{X}f(x)dE(x)E( (f=0))=\int_{X}f(x)\chi_{(f=0)}(x)dE(x)=0 $$
  であるから ${\rm Ran}E( (f=0))\subset {\rm Ker}(\int_{X}f(x)dE(x))$ も成り立つ。
  $\int_{X}f(x)dE(x)$ が単射、すなわち $E( (f=0))=0$ であるとし、$f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$ $(\forall x\in X\backslash (f=0))$ なる可測関数 $f^{-1}:X\rightarrow \mathbb{C}$ を考えると、$(1)$ より、
  $$ \int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset \int_{X}f(x)f^{-1}(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1, $$
  $$ D\left(\int_{X}f(x)dE(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\right)=D_E(f^{-1}) $$
  であるから、
  $$ \int_{X}f(x)\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f^{-1})) $$
  である。よって $\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\subset (\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}$ が成り立つ。また $(1)$ より、
  $$ \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\subset \int_{X}f^{-1}(x)f(x)dE(x)=E( (f\neq0))=E(X)=1, $$
  $$ D\left(\int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)\right)=D_E(f) $$
  であるから、
  $$ \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)\int_{X}f(x)dE(x)v=v\quad(\forall v\in D_E(f)) $$
  が成り立つ。よって $(\int_{X}f(x)dE(x))^{-1}\subset \int_{X}f^{-1}(x)dE(x)$ も成り立つ。

$UEU^*$ が射影値測度の定義( 定義2 )の条件を満たすことは容易に分かる。$(*)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が可測単関数である場合は明らかに成り立ち、有界可測関数は可測単関数により一様近似できること（ 命題6 ）から、$f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$ が有界可測関数の場合も $(*)$ は成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、有界可測関数の列 $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を考えると、任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し単調収束定理より、
$$ \begin{aligned} \int_{X}\lvert f(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)&=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2d(UEU^*)_{v,v}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\| \int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)v\right\|^2\\ &=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\| \left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right\|^2 =\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x)\\ &=\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE_{U^*v,U^*v}(x) \end{aligned} $$
であるから $D_{UEU^*}(f)=UD_E(f)$ が成り立つ。そして任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $v\in D_{UEU^*}(f)$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$ \begin{aligned} &\left(u\mid \int_{X}f(x)d(UEU^*)(x)v\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid \left(\int_{X}f_n(x)d(UEU^*)(x)\right)v\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(u\mid U\left(\int_{X}f_n(x)dE(x)\right)U^*v\right) =\left(u\mid U\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)U^*v\right) \end{aligned} $$
である。よって $(*)$ は任意の可測関数 $f:X\rightarrow \mathbb{C}$ に対して成り立つ。

任意の $v\in \mathcal{H}$ を取り、$\mathbb{C}$ 上の有限Borel測度
$$ \mathcal{B}_{\mathbb{C}}\ni B\mapsto E_{v,v}(f^{-1}(B))\in \mathbb{C}\quad\quad(*) $$
を考える。$\mathbb{C}$ は第二可算局所コンパクトHausdorff空間であるから、 定理12 より $(*)$ はRadon測度である。よって、
$$ E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=\sup\{E_{v,v}(K):K\subset U_0\text{ はコンパクト}\}\quad\quad(**) $$
が成り立つ。任意のコンパクト集合 $K\subset U_0$ を取る。$U_0$ の定義より $\mathbb{C}$ の有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ で、
$$ K\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_k,\quad E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0\quad(k=1,\ldots,n) $$
を満たすものが取れる。よって、
$$ E_{v,v}(f^{-1}(K))\leq \sum_{k=1}^{n}E_{v,v}(f^{-1}(U_k))=0 $$
より $E_{v,v}(f^{-1}(K))=0$ であるから、$K$ の任意性と $(**)$ より $E_{v,v}(f^{-1}(U_0))=0$ である。$v\in \mathcal{H}$ の任意性と偏極恒等式より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $E_{u,v}(U_0)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^kE_{i^ku+v,i^ku+v}(U_0)=0$ であるから、$E(U_0)=0$ である。

本質的値域の定義より、
$$ {\rm ess.Ran}_E(f)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\forall \epsilon\in(0,\infty),\text{ }E( (\lvert\lambda-f\rvert)<\epsilon)>0\}\quad\quad(*) $$
である。任意の $\lambda\in {\rm ess.Ran}_E(f)$ を取る。$(*)$ より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $E( (\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}))>0$ であるので、単位ベクトル
$$ v_n\in {\rm Ran}E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right) $$
が取れる。そして 命題4 の $(1)$ より、
$$ \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)E\left(\left(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n}\right)\right)=\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)\in\mathbb{B}(\mathcal{H}) $$
であるから、$v_n\in D_E(\lambda-f)=D_E(f)$ であり、
$$ \left\| \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\| =\left\|\int_{X}(\lambda-f(x))\chi_{(\lvert\lambda-f\rvert<\frac{1}{n})}(x)dE(x)v_n\right\|\leq\frac{1}{n} $$
である。よってもし $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ ならば、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ 1=\| v_n\|=\left\| \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)v_n\right\|\leq \frac{1}{n}\left\|\left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)^{-1}\right\| $$
となり矛盾する。ゆえに $\lambda\in \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ である。これより、
$$ {\rm ess.Ran}_E(f)\subset \sigma\left(\int_{X}f(x)dE(x)\right)\quad\quad(**) $$
が成り立つ。逆の包含関係を示す。そのためには $\lambda\notin {\rm ess.Ran}_E(f)$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ が成り立つことを示せばよい。$(*)$ よりある $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$ E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0 $$
である。特に、
$$ E( (\lambda-f=0))\leq E( (\lvert\lambda-f\rvert<\epsilon))=0 $$
であるから、 命題4 の $(5)$ より、
$$ \lambda-\int_{X}f(x)dE(x)=\int_{X}\lambda-f(x)dE(x):D_E(f)\rightarrow\mathcal{H}\quad\quad(***) $$
は単射である。今、可測関数 $g\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$ g(x)=\begin{cases}(\lambda-f(x))^{-1}&(\lvert\lambda-f(x)\rvert\geq\epsilon)\\ 0&(\lvert\lambda-f(x)\rvert<\epsilon)\end{cases} $$
とおくと $g$ は有界であり、 命題4 の $(1)$ より、
$$ \left(\lambda-\int_{X}f(x)dE(x)\right)\int_{X}g(x)dE(x)=\int_{X}(\lambda-f(x))g(x)dE(x)=E( (\lvert\lambda-f\rvert\geq\epsilon) )=1 $$
であるから $(***)$ は全射でもある。ゆえに $\lambda\notin \sigma(\int_{X}f(x)dE(x))$ であるから $(**)$ の逆の包含関係が成り立つ。

$f^{-1}(\mathbb{C}\backslash \overline{f(X)})=\emptyset$ であるから本質的値域の定義（ 命題6 ）より、
$$ {\rm ess.Ran}_E(f)\subset \overline{f(X)} $$
である。逆の包含関係を示す。${\rm ess.Ran}_E(f)$ は閉集合であるので $f(X)\subset {\rm ess.Ran}_E(f)$ が成り立つことを示せばよい。そのためには、 命題6 の最後における ${\rm ess.Ran}_E(f)$ の特徴付けより、任意の $x_0\in X$ と 任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$ E(\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)>0\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。$f$ の $x_0\in X$ における連続性より、$x_0$ の開近傍 $U\subset X$ が存在し、
$$ U\subset (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon) $$
となる。よって仮定より、
$$ 0< E(U)\leq E( (\lvert f-f(x_0)\rvert<\epsilon)) $$
であるから、$(*)$ が成り立つ。