Hilbert空間上の作用素論13：コンパクト作用素

$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が対合演算で閉じていることのみを示す。（それ以外は自明である。）任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。${\rm Ran}(T)$ は有限次元であるので $\mathcal{H}$ の閉部分空間である（ 系 ）から、$\mathcal{H}$ は、
$$ \mathcal{H}={\rm Ran}(T)\oplus ({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ran}(T)\oplus {\rm Ker}(T^*) $$
と直交分解される。よって、
$$ {\rm Ran}(T^*)=T^*(\mathcal{H})=T^*({\rm Ran}(T)) $$
であるので、${\rm Ran}(T^*)$ は有限次元である。ゆえに $T^*\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ であるから $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ は対合演算で閉じている。

$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。
$(3)$ が成り立つとすると $\| 1-T\|<1$ を満たす $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。よって Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題1.2 より $T=1-(1-T)$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の可逆元であるから $1=TT^{-1}\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathcal{H}={\rm Ran}(1)$ は有限次元なので $(1)$ が成り立つ。

全て 定義3 より直接的に示せる。

$(1)$ は 命題3 の $(3),(4)$ より自明である。$(2)$ を示す。$(1)$ より $(e_j\odot e_j)_{j\in J}$ は射影作用素の直交族である。そして $(e_j)_{j\in J}$ が $\mathcal{K}$ のCONSであることから、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ Pv=\sum_{j\in J}(e_j\mid Pv)e_j=\sum_{j\in J}(Pe_j\mid v)e_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid v)e_j=\left(\sum_{j\in J}e_j\odot e_j\right)v $$
が成り立つ。よって $P=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ が成り立つ。

$\mathcal{H}^*$ の単位ノルム閉球 $(\mathcal{H}^*)_1=\{\varphi\in \mathcal{H}^*:\|\varphi\|\leq1\}$ はAlaogluの定理（ 定理1 ）より弱 $*$-位相でコンパクトである。Rieszの定理より $\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ はノルムを保存する全単射であり、$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \begin{aligned} v_{\lambda}\rightarrow v\quad(\text{w.r.t.弱位相})\quad\Leftrightarrow\quad (u\mid v_{\lambda})\rightarrow(u\mid v)\quad(\forall u\in\mathcal{H})\quad\Leftrightarrow\quad \Leftrightarrow\quad (v_{\lambda}\mid \cdot)\rightarrow(v\mid \cdot)\quad(\text{w.r.t.弱 $*$-位相}) \end{aligned} $$
であるから、$\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*$ は弱位相と弱 $*$-位相に関して同相写像である（ ネットによる位相空間論の定理3 ）。よって $({\cal H}^*)_1$の弱$*$-位相に関するコンパクト性より　$(\mathcal{H})_1$ は弱位相でコンパクトである。

有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ のCONSを $e_1,\ldots,e_N$ とすると、 命題4 の $(2)$ より、
$$ P\colon=\sum_{j=1}^{N}e_j\odot e_j $$
は ${\rm Ran}(T)$ の上への射影作用素である。よって、
$$ Tv=PTv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\odot e_j)Tv=\sum_{j=1}^{N}(e_j\mid Tv)e_j=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)e_j\quad(\forall v\in\mathcal{H}) $$
である。$\mathcal{H}$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $v\in \mathcal{H}$ に弱位相で収束するならば、
$$ (T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow(T^*e_j\mid v)\quad(j=1,\ldots,N) $$
であるから、ノルム位相で、
$$ Tv_{\lambda}=\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v_{\lambda})\rightarrow\sum_{j=1}^{N}(T^*e_j\mid v)=Tv $$
が成り立つ。よって ネットによる位相空間論の定理3 より $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ は弱位相とノルム位相に関して連続である。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとして $(2)$ が成り立つことを示す。そのためには $(\mathcal{H})_1$ のネット $(v_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱位相で $v\in (\mathcal{H})_1$ に収束すると仮定して $\| Tv_{\lambda}-Tv\|\rightarrow0$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対しコンパクト作用素の定義より、
$$ \| T-S\|<\frac{\epsilon}{3} $$
を満たす $S\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ が取れる。そして 補題6 より、
$$ \| Sv_{\lambda}-Sv\|<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0) $$
を満たす $\lambda_0\in\Lambda$ が取れる。よって任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し、
$$ \| Tv_{\lambda}-Tv\|\leq \| Tv_{\lambda}-Sv_{\lambda}\|+\| Sv_{\lambda}-Sv\|+\| Sv-Tv\| \leq 2\| T-S\|+\| Sv_{\lambda}-Sv\|<\epsilon $$
が成り立つので、$\| Tv_{\lambda}-Tv\|\rightarrow0$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(3)$ は 補題5 による。$(3)\Rightarrow(4)$ は自明である。
$(4)\Rightarrow(5)$ を示す。$(4)$ が成り立ち、$(5)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。このときある $\epsilon\in(0,\infty)$ が存在し、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $F'\in \mathcal{F}_J$ で、
$$ F'\supset F,\quad \| P_{F'}T-T\|>\epsilon $$
を満たすものが取れる。よって作用素ノルムの定義より任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $v_F\in (\mathcal{H})_1$ で、
$$ \| P_{F'}Tv_F-Tv_F\|>\epsilon $$
を満たすものが取れる。$(Tv_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ はノルム位相でコンパクトな集合のネットであるから、 ネットによる位相空間論の定理5 より、$(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ はノルム位相に関する堆積点 $u$ を持つ。
$$ \begin{aligned} \epsilon&<\| P_{F'}Tv_F-Tv_F\|=\| (1-P_{F'})Tv_F\|\leq \| (1-P_{F'})(Tv_F-u)\|+\| (1-P_{F'})u\|\\ &\leq \| Tv_F-u\|+\| u-P_{F'}u\|\quad(\forall F\in\mathcal{F}_J)\quad\quad(*) \end{aligned} $$
であり、$(e_j)_{j\in J}$ は $\mathcal{H}$ のCONSなので $\| u-P_Fu\|\rightarrow0$ であるから、十分大きい $F_0\in \mathcal{F}_J$ を取れば、
$$ \| u-P_{F'}u\|<\frac{\epsilon}{2}\quad (\forall F\supset F_0) $$
となる。よって $(*)$ より、
$$ \frac{\epsilon}{2}<\| Tv_F-u\|\quad(\forall F\supset F_0) $$
となる。しかしこれは $u$ が $(Tv_F)_{F\in\mathcal{F}_J}$ の堆積点であることに矛盾する。ゆえに $(4)\Rightarrow(5)$ が成り立つ。
$(5)\Rightarrow(1)$ は自明である。

$\mathcal{H}$ の直交分解 $\mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ より、
$$ {\rm Ran}(1-T)=(1-T)(({\rm Ker}(1-T))^{\perp}) $$
である。これが $\mathcal{H}$ の閉部分空間であることを示すには、ある $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \| (1-T)v\|\geq\epsilon\| v\|\quad(\forall v\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}) $$
が成り立つことを示せば十分である。そこでこれが成り立たないと仮定して矛盾を導く。このとき $({\rm Ker}(1-T))^{\perp}$ の列 $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$ \| v_n\|=1,\quad \| (1-T)v_n\|<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*) $$
を満たすものが取れる。$Tv_n\in T((\mathcal{H})_1)$ であるから、 定理7 より $(Tv_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はノルム位相で収束する部分列 $(Tv_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を持つ。そこでその収束点を、
$$ u=\lim_{n\rightarrow\infty}Tv_{k(n)} $$
とおく。$(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0$ であるから、
$$ v_{k(n)}=(1-T)v_{k(n)}+Tv_{k(n)}\rightarrow u\quad\quad(**) $$
である。よって、
$$ u=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{k(n)}\in ({\rm Ker}(1-T))^{\perp} $$
であり、
$$ (1-T)u=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-T)v_{k(n)}=0 $$
であるから、$u\in {\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}$ である。しかし $(*),(**)$ より、
$$ \| u\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| v_{k(n)}\|=1 $$
であるから矛盾する。ゆえに ${\rm Ran}(1-T)$ は閉部部分空間である。

任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、Besselの不等式より
$$ \sum_{n\in\mathbb{N}}\lvert (e_n\mid v)\rvert^2\leq \| v\|^2<\infty $$
であるから $\lim_{n\rightarrow\infty}(e_n\mid v)=0$ が成り立つ。よってRieszの定理より 弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n\rightarrow 0$ が成り立つ。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立ち、$(2)$ が成り立たないと仮定して矛盾を導く。
$$ \mathcal{K}_n\colon={\rm Ker}((1-T)^n)\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+) $$
（ただし $(1-T)^0=1$）とおくと、
$$ \mathcal{K}_n\supset \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
であり、$(2)$ が成り立たないと言う仮定より、
$$ \mathcal{K}_1={\rm Ker}(1-T)\supsetneq \{0\}=\mathcal{K}_0 $$
である。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}$ が成り立つと仮定すると、$(1)$ が成り立つことから $(1-T)v\in \mathcal{K}_n\backslash \mathcal{K}_{n-1}$ を満たす $v\in {\cal H}$ が取れ、$v\in \mathcal{K}_{n+1}\backslash \mathcal{K}_n$ である。よって $\mathcal{K}_{n+1}\supsetneq \mathcal{K}_n$ が成り立つので、帰納法より、
$$ \mathcal{K}_n\supsetneq \mathcal{K}_{n-1}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*) $$
が成り立つ。各 $n\in\mathbb{N}$ についてHilbert空間 $\mathcal{K}_n$ の直交分解
$$ \mathcal{K}_n=\mathcal{K}_{n-1}\oplus (\mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp}) $$
を考えると、$(*)$ より、単位ベクトル
$$ e_n\in \mathcal{K}_n\cap \mathcal{K}_{n-1}^{\perp}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**) $$
が取れる。このとき $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathcal{H}$ のONSであるから 補題9 より弱位相に関して $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つ。よって 定理7 より、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| Te_n\|=0\quad\quad(***) $$
が成り立つ。しかし $(**)$ より、
$$ (1-T)e_n\perp e_n\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
であるから、
$$ \| Te_n\|^2=\| e_n-(1-T)e_n\|^2=\| e_n\|^2+\| (1-T)e_n\|^2\geq1\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
である。これは $(***)$ と矛盾する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。$T^*\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから 命題8 より ${\rm Ran}(1-T^*)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間である。よって、
$$ {\rm Ran}(1-T^*)=\overline{{\rm Ran}(1-T^*)}=({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H} $$
であるから、上段の結果より ${\rm Ker}(1-T^*)=\{0\}$ である。さらに 命題8 より ${\rm Ran}(1-T)$ は $\mathcal{H}$ の閉部分空間であるから、
$$ {\rm Ran}(1-T)=\overline{{\rm Ran}(1-T)}=({\rm Ker}(1-T^*))^{\perp}=\{0\}^{\perp}=\mathcal{H} $$
である。

まず ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つことを示す。もし ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)=\infty$ ならばSchmidtの直行化により ${\rm Ker}(1-T)$ の元からなるONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。 補題9 より $\mathcal{H}$ の弱位相で $\lim_{n\rightarrow\infty}e_n=0$ が成り立つので、 定理7 より、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| Te_n\|=0$ である。しかし、
$$ 1=\| e_n\|=\| Te_n+(1-T)e_n\|=\| Te_n\|\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
であるので矛盾する。よって ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<\infty$ が成り立つ。$T^*\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であることから ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)<\infty$ も成り立つ。次に ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ が成り立つことを示す。${\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)\leq {\rm dim}{\rm Ker}(1-T)$ を示せば十分である。そこで ${\rm dim}{\rm Ker}(1-T)<{\rm dim}{\rm Ker}(1-T^*)$ であると仮定して矛盾を導く。${\rm Ker}(1-T)$ のCONS $(e_1,\ldots,e_n)$と ${\rm Ker}(1-T^*)$ のCONS $(f_1,\ldots,f_m)$ $(n< m)$ を取り、
$$ V_1\colon {\rm Ker}(1-T)\ni \sum_{j=1}^{n}\alpha_je_j\mapsto \sum_{j=1}^{n}\alpha_jf_j\in {\rm Ker}(1-T^*) $$
とおくと、$V_1$ は等長線型作用素であり、
$$ {\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*) $$
である。これに対し、
$$ V\colon \mathcal{H}={\rm Ker}(1-T)\oplus ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}\ni v_1+v_2\mapsto V_1v_1\in \mathcal{H} $$
とおくと、$V$ は部分等長作用素であり、
$$ {\rm Ker}(V)=({\rm Ker}(1-T))^{\perp},\quad {\rm Ran}(V)={\rm Ran}(V_1)\subsetneq {\rm Ker}(1-T^*)=({\rm Ran}(1-T))^{\perp}\quad\quad(*) $$
である。任意の $v\in {\rm Ker}(1-(T+V))$ に対し $(*)$ の右の式より、
$$ (1-T)v=Vv\in {\rm Ran}(1-T)\cap {\rm Ran}(V)\subset {\rm Ran}(1-T)\cap ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\{0\} $$
であるから、$(*)$ の左の式より、
$$ v\in {\rm Ker}(1-T)={\rm Ker}(V)={\rm Ker}(1-T)\cap ({\rm Ker}(1-T))^{\perp}=\{0\} $$
である。よって、
$$ {\rm Ker}(1-(T+V))=\{0\} $$
が成り立つ。$V$ は有限階作用素なので $T+V\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから 定理10 より、
$$ \mathcal{H}={\rm Ran}(1-(T+V))={\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V) $$
となる。しかし $(*)$ より、
$$ {\rm Ran}(1-T)+{\rm Ran}(V)\subsetneq {\rm Ran}(1-T)\oplus ({\rm Ran}(1-T))^{\perp}=\mathcal{H} $$
であるから矛盾する。

帰納法よりある $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $v_1,\ldots,v_k$ が線形独立であると仮定して $v_1,\ldots,v_{k+1}$ も線形独立であることを示せばよい。そこで $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k+1}\in \mathbb{C}$ が、
$$ \sum_{j=1}^{k+1}\alpha_jv_j=0\quad\quad(*) $$
を満たすとする。$(*)$　に $T$ を作用させたものから $(*)$ に $\lambda_{k+1}$ を掛けたものを引けば、
$$ \sum_{j=1}^{k}\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})v_j=0 $$
となる。よって $v_1,\ldots,v_k$ の線形独立性より $\alpha_j(\lambda_j-\lambda_{k+1})=0$ $(j=1,\ldots,k)$ であり、$\lambda_j\neq\lambda_{k+1}$ $(j=1,\ldots,k)$ であるから、$\alpha_1=\ldots=\alpha_{k}=0$ である。よって (*)より $\alpha_{k+1}v_{k+1}=0$ より $\alpha_{k+1}=0$ である。
ゆえに $v_1,\ldots,v_{k+1}$ は線形独立である。

• $(1)$　任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda^{-1}T\in \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であり、
  $$ {\rm Ran}(\lambda-T)={\rm Ran}(1-\lambda^{-1}T),\quad {\rm Ker}(\lambda-T)={\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T) $$
  である。$\lambda\in \sigma(T)$ より $\lambda-T:{\cal H}\rightarrow {\cal H}$ は全単射ではないから、 定理10 より ${\rm Ker}(\lambda-T)\neq \{0\}$ である。よって $\lambda$ は $T$ の固有値であり、 補題12 より、
  $$ 0<{\rm dim}{\rm Ker}(\lambda-T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\lambda^{-1}T)={\rm dim}{\rm Ker}(1-\overline{\lambda}^{-1}T^*)={\rm dim}{\rm Ker}(\overline{\lambda}-T^*)<\infty $$
  であるから、$\overline{\lambda}$ は $T^*$ の固有値である。そして $T$ の固有値 $\lambda$ の重複度と $T^*$ の固有値 $\overline{\lambda}$ の重複度は一致する。
• $(2)$　任意の $\lambda\in \sigma(T)\backslash\{0\}$ を取り、$\lambda$ が $\sigma(T)$ の孤立点ではないと仮定して矛盾を導く。このとき任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\{\lambda\}\neq B(\lambda,\epsilon)\cap \sigma(T)$ であるから、$\sigma(T)$ の点列 $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
  $$ 0<\lvert \lambda-\lambda_{n+1}\rvert<\lvert\lambda-\lambda_n\rvert<\lvert\lambda\rvert,\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(*) $$
  を満たすものが取れる。$(*)$ と $(1)$ より各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $\lambda_n$ は $T$ の固有値であるから 固有ベクトル $v_n\in {\rm Ker}(\lambda-T)\backslash\{0\}$ が取れる。また $(*)$ より $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は互いに異なるので 補題12 より $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は線形独立であり、Schmidtの直交化より ONS $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
  $$ {\rm span}\{v_1,\ldots,v_n\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_n\}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  を満たすものが取れる。このとき、
  $$ \lambda_ne_n-Te_n\in {\rm span}\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}={\rm span}\{e_1,\ldots,e_{n-1}\}\quad(\forall n\geq 2) $$
  であるから $\lambda_ne_n-Te_n$ と $\lambda_n e_n$ は互いに直交する。よって、
  $$ \| Te_n\|^2=\| \lambda_ne_n-(\lambda_ne_n-Te_n)\|^2=\lvert\lambda_n\rvert^2+\| \lambda_ne_n-Te_n\rvert^2\geq\lvert\lambda_n\rvert^2\quad(\forall n\in\mathbb{N})\quad\quad(**) $$
  となる。ここで 補題9 と 定理7 より $\lim_{n\rightarrow\infty}\| Te_n\|=0$ であるから $(**)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。しかし $(*)$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=\lambda$ であるから、$\lambda\neq0$ であることに矛盾する。よって任意の $\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$ に対し $\lambda$ は $\sigma(T)$ の孤立点である。$\{\{\lambda\}\}_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}$ は $\sigma(T)\backslash \{0\}$ の開被覆であり、$\sigma(T)\backslash \{0\}$ はLindelöfであるから可算部分開被覆が取れる。よって $\sigma(T)\backslash\{0\}$ は可算集合であり、したがって $\sigma(T)$ も可算集合である。
• $(3)$　$(2)$ より $\sigma(T)$ は可算集合であるから、
  $$ 1=E^T(\sigma(T))=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}E^T(\{\lambda\}) $$
  である。 命題4 の $(3)$ より、
  $$ {\rm Ran}E^T(\{\lambda\})={\rm Ker}(\lambda-T)\quad(\forall \lambda\in\sigma(T))\quad\quad(***) $$
  であるから、 命題4 より、
  $$ E^T(\{\lambda\})=\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad(\forall \lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}) $$
  である。よって、
  $$ 1=E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}E^T(\{\lambda\}) =E^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j}\quad\quad(****) $$
  が成り立ち、
  $$ T=TE^T(\{0\})+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\})=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}TE^T(\{\lambda\}) =\sum_{\lambda\in\sigma(T)}\lambda\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j} $$
  が成り立つ。$E^T(\{0\})=0$ の場合、$(****)$ より、
  $$ 1=\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j} $$
  であるから、$\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。また $E^T(\{0\})\neq0$ の場合、$(***)$ より $0$ は $T$ の固有値であり、$\{e_{0,j}:j\in J_0\}$ を 固有空間 ${\rm Ran}E^T(\{0\})={\rm Ker}(T)$ のCONSとすると、 命題4 より、
  $$ E^T(\{0\})=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j} $$
  であるから、$(****)$ より、
  $$ 1=\sum_{j\in J_0}e_{0,j}\odot e_{0,j}+\sum_{\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}}\sum_{j=1}^{n(\lambda)}e_{\lambda,j}\odot e_{\lambda,j} $$
  である。よって $\{e_{0,j}:j\in J_0\}\cup\{e_{\lambda,j}:\lambda\in\sigma(T)\backslash\{0\},j=1,\ldots,n(\lambda)\}$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。よって $T$ の固有ベクトルからなるCONSが取れる。