ネットによる位相空間論5：コンパクト性

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の任意のネットとする。任意の $\lambda\in\Lambda$ に対し、$F_{\lambda}=\{x_{\mu}:\mu\geq\lambda\}$ とおく。このとき $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}\neq\emptyset$ である。実際、もし$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}=\emptyset$ ならばコンパクト性より有限個の $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \Lambda$ が取れて、$F_{\lambda_1}\cap\ldots\cap F_{\lambda_n}=\emptyset$ となるが、$\Lambda$ は有向集合なので $\mu\geq \lambda_1,\ldots,\mu\geq\lambda_n$ を満たす $\mu\in\Lambda$ が取れるので矛盾する。そこで $x\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}$ を取れば、 命題2 より $x$ の任意の近傍 $V$ と任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $V\cap F_{\lambda}\neq\emptyset$ であるから、 $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。
$(2)\Leftrightarrow(3)$ は 命題1 による。
$(2)\Rightarrow(4)$ は普遍ネットの堆積点は収束点であることによる。
$(4)\Rightarrow(3)$ は 定理2 より任意のネットが普遍部分ネットを持つことによる。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。もし $X$ がコンパクトではないならば $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。よって $J$ の空でない有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合 $\mathcal{F}_J$ を考えると、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ が取れ、$X$ のネット $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ ができる。$(2)$ が成り立つので $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_0}$ なる $j_0\in J$ を取る。$U_{j_0}$ は $x$ の開近傍であり、$x$ は$(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ の堆積点であるので、$\{j_0\}\in\mathcal{F}_J$ に対し、 $\{j_0\}\subset F$ なる $F\in \mathcal{F}_J$ で $x_F\in U_{j_0}$ なるものが取れる。よって、$x_F\in U_{j_0}\subset \bigcup_{j\in F}U_j$ となり、$x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。