ネットによる位相空間論2：収束点と堆積点
2.位相空間のネットの収束点と堆積点
編集上の案内： 対応する別の定式化は フィルターによる位相空間論2：収束点と堆積点 を参照。
$X$ を位相空間、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネット、 $x\in X$ とする。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is eventually in $V$.
が成り立つことを言う。 また、$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、 - $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $V$.
が成り立つことを言う。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であることを、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ は $x$ に収束すると言う。また、このことを、
$$ x_{\lambda}\rightarrow x,\quad \lim_{\lambda\in\Lambda}x_{\lambda}=x $$
などと表す。点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の収束点は $\lim_{n\in \mathbb{N}}x_n$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n$ と表すのが普通である。
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間 $X$ のネットとし、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
-
- $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。
-
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の部分ネットで $x$ に収束するものが存在する。
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ は $x$ の近傍全体 $\mathcal{B}(x)$が集合の逆包含関係による順序によって有向集合であることと 補題1 による。
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
-
- $x\in\overline{A}$.
-
- $x$ の任意の近傍 $V$ に対し $A\cap V\neq \emptyset$.
$x\notin \overline{A}$ ならば、$X\backslash \overline{A}$ は $x$ の開近傍であり、$A\cap (X\backslash \overline{A})=\emptyset$ である。よって $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
$x$ のある開近傍 $V$ に対し $A\cap V=\emptyset$ であるならば $A\subset X\backslash V$ であり、$X\backslash V$ は閉集合であるから $\overline{A}\subset X\backslash V$ である。よって $x\notin \overline{A}$ であるから $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
-
- $x\in\overline{A}$.
-
- $x$ に収束する $A$ のネットが存在する。
参考文献
