ネットによる位相空間論6：可算性と点列

$\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $x$ の可算な基本近傍系として、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$B_n:=U_1\cap\ldots \cap U_n$ とおけば、$(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は条件を満たす。

$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で 補題1 の条件を満たすものを取ると、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を、$x_{k(n)}\in B_{n}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ となるように取れる。このとき $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束するので、 $(2)$ が成り立つ。

$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で 補題1 の条件を満たすものを取る。$x\in \overline{A}$ ならば、 命題2 より任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $x_n\in A\cap B_n$ が取れる。こうしてできる $A$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。

$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を 補題1 における $x$ の近傍の列とする。$(2)\Rightarrow(1)$ の対偶を示す。 もし $(1)$ が成り立たたないならば、$f(x)$ の近傍 $V$ で、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $B_n\backslash f^{-1}(V)\neq\emptyset$ となるものが取れる。そこで任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in B_n\backslash f^{-1}(V)$ を取ることで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義する。これは明らかに $x$ に収束する。しかし $f(x_n)\notin V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ より $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(x)$ に収束しない。よって $(2)$ は成り立たない。

$X$ を第一可算なコンパクト空間とし、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の任意の点列とする。 定理1 より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。 命題2 より $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列は $x$ に収束する。よって $X$ は点列コンパクトである。

$X$ を点列コンパクトな Lindelöf空間 とする。$X$ がコンパクトではないと仮定すると、$X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。$X$ はLindelöf 空間であるので、$\{U_j\}_{j\in J}$ の可算部分開被覆 $\{U_{j_n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ を取り、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。$X$ は点列コンパクトであるので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持つ。よって 命題2 より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_{n_0}}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ を取る。$U_{j_{n_0}}$ は $x$ の近傍であり、$x$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の堆積点であるから、$n\geq n_0$ かつ $x_n\in U_{j_{n_0}}$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって $x_n\in U_{j_{n_0}}\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ となり、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。

第二可算空間が第一可算空間かつ Lindelöf 空間 であることと、 命題5 、 命題6 による。