ネットによる位相空間論4：Hausdorff性

$(1)\Rightarrow (2)$を示す。対偶を示す。$(2)$ が成り立たないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ と $X$のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ で $x_{\lambda}\rightarrow x$ かつ $x_{\lambda}\rightarrow y$ なるものが存在する。$x,y$　の任意の近傍　$U,V$　を取る。$x_{\lambda}\rightarrow x$、$x_{\lambda}\rightarrow y$ より $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\in U$ かつ $x_{\lambda}\in V$ となる。よって $U\cap V\neq \emptyset$ である。これより $X$ はHausdorffの分離公理を満たさない。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。対偶を示す。$X$ がHausdorffの分離公理を満たさないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ で、
$$ U\cap V\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x)) $$
を満たすものが存在する。ただし ${\cal B}(x), {\cal B}(y)$ はそれぞれ$x,y$の近傍全体である。
$$ \Lambda:=\{U\cap V: U\in {\cal B}(x), V\in {\cal B}(y)\} $$
は集合の逆包含関係による順序により有向集合であるから、
$$ z_{U\cap V}\in U\cap V\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x)) $$
としてネット $(z_{U\cap V})_{U\cap V\in \Lambda}$ が定義でき、これは $x,y$ のいずれにも収束する。よって$(2)$は成り立たない。ゆえに$(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。