ネットによる位相空間論3：連続性
3.連続性のネットによる特徴付け
編集上の案内： 対応する別の定式化は フィルターによる位相空間論3：連続性 を参照。
$X,Y$ を位相空間、$x\in X$, $f\colon X\rightarrow Y$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $f$ は任意の $x\in X$ において連続である。
- $(2)$ $x$ に収束する $X$ の任意のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対し、$Y$ のネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。
$(1)\Rightarrow(2)$を示す。$f$が$x$において連続であるとし、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $x$ に収束する $X$ のネットとする。$f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍であるから $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し $\lambda\geq \lambda_0$ なる任意の $\lambda$ に対し $x_{\lambda}\in f^{-1}(V)$ となる。よって任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し $f(x_{\lambda})\in V$ となるので、ネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in \Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$が成り立つとする。もし$f$ が $x$ において連続ではないならば $f(x)$ の近傍 $V$ が存在し、
$$
U\backslash f^{-1}(V)\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x))
$$
となる。ただし ${\cal B}(x)$ は $x$ の近傍全体である。そして ${\cal B}(x)$ は集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるから、
$$
x_{U}\in U\backslash f^{-1}(V)\quad(\forall U\in {\cal B}(x))\quad\quad(*)
$$
なる $X$ のネット $(x_U)_{U\in {\cal B}(x)}$ が定義できる。これは $x$ に収束するので $Y$ のネット $(f(x_U))_{U\in {\cal B}(x)}$ は $f(x)$ に収束する。しかし $(*)$ より任意の $U\in {\cal B}(x)$ に対し $f(x_U)\notin V$ であるから矛盾する。よって $f$ は $x$ において連続である。
参考文献
