本稿においては、ネットの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。ネットは単純に述べれば点列を一般化した概念である。位相空間論においてネットを用いるメリットは、位相的性質をネットの収束により直観的に扱うことが出来る点であり、複雑な関数空間の位相を取り扱う関数解析の議論においては頻繁に用いられる。点列は、距離空間に代表される第一可算空間における収束の問題を扱うのに十分有効であるが、関数解析学における弱位相、弱*-位相のような第一可算性のない位相における収束の問題を扱う際、必ずしも十分ではない。しかし点列の収束をネットの収束に一般化することで、位相空間の可算性に関わらず点列による収束の議論と全く同様の議論が有効になる。また、ネットの概念を用いればある種の命題の証明がほとんど自明化されることもある。ネットはフィルターと同値な概念であり、同様にフィルターによる位相空間論も展開されるが、こちらは集合論の議論において用いられることが多い。本稿においてはネットによる閉性、連続性、Hausdorff性、コンパクト性などの基本的な位相的性質の特徴付けを行う。また点列との対比のため可算性のある位相空間において、それらの点列による特徴付けを、実際に位相空間の可算性を用いて行う。そして最後にネットにより比較的容易な証明が可能であるTychonoffの定理を示す。

第I部 第1章 ネットの定義

第I部 第2章 収束点と堆積点

第I部 第3章 連続性

第I部 第4章 Hausdorff性

第I部 第5章 コンパクト性

第I部 第6章 可算性と点列

第I部 第7章 始位相・直積位相・Tychonoffの定理

第II部 第1章 フィルターの定義

第II部 第2章 収束点と堆積点

第II部 第3章 連続性

第II部 第4章 Hausdorff性

第II部 第5章 コンパクト性

第II部 第6章 始位相・直積位相・Tychonoffの定理

第II部 補節 ネットとフィルターの対応

# 2.位相空間のネットの収束点と堆積点
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論2：収束点と堆積点](RZYqJvJKAsaYv7Z21W2r)を参照。
&&&def ネットの収束点と堆積点 [def-t5n-2-1]
$X$ を位相空間、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネット、 $x\in X$ とする。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  is  eventually  in  $V$.
が成り立つことを言う。 また、$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  is  frequently  in  $V$.
が成り立つことを言う。$x$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の収束点であることを、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ は $x$ に収束すると言う。また、このことを、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x,\quad \lim_{\lambda\in\Lambda}x_{\lambda}=x
$$
などと表す。点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の収束点は $\lim_{n\in \mathbb{N}}x_n$ より $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n$ と表すのが普通である。
&&&
&&&prop 堆積点と部分ネット [prop-t5n-2-2]
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を位相空間 $X$ のネットとし、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- (1) $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。
- (2) $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  の部分ネットで $x$ に収束するものが存在する。
&&&
&&&prf
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ は $x$ の近傍全体 $\mathcal{B}(x)$が集合の逆包含関係による順序によって有向集合であることと[補題1](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac#lem-t5n-1-9)による。
&&&
&&&prop 閉包の点の近傍による特徴付け [prop-t5n-2-3]
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- (1) $x\in\overline{A}$.
- (2) $x$ の任意の近傍 $V$ に対し $A\cap V\neq \emptyset$.
&&&
&&&prf
$x\notin \overline{A}$ ならば、$X\backslash \overline{A}$ は $x$ の開近傍であり、$A\cap (X\backslash \overline{A})=\emptyset$ である。よって $(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
$x$ のある開近傍 $V$ に対し $A\cap V=\emptyset$ であるならば $A\subset X\backslash V$ であり、$X\backslash V$ は閉集合であるから $\overline{A}\subset X\backslash V$ である。よって $x\notin \overline{A}$ であるから $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
&&&
&&&prop 閉包の点のネットによる特徴付け [prop-t5n-2-4]
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- (1) $x\in\overline{A}$.
- (2) $x$ に収束する $A$ のネットが存在する。
&&&
&&&prf
$(2)\Rightarrow(1)$ は[命題2](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-3)による。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$x$ の近傍全体 $\mathcal{B}(x)$ は集合の逆包含関係による順序によって有向集合である。$x\in\overline{A}$ ならば、[命題2](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-3)より任意の $V\in \mathcal{B}(x)$ に対し $x_V\in
A\cap V$ が取れる。こうしてできる $A$ のネット $(x_V)_{V\in\mathcal{B}(x)}$ は $x$ に収束する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
&&&


ネットによる位相空間論2：収束点と堆積点

# 3. 連続性のフィルターによる特徴付け
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論3：連続性](qO6hj720ldzJPpkl5mf6)を参照。
&&&prop [prop-t5f-3]
$X,Y$ を位相空間、$x\in X$,  $f:X\rightarrow Y$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$  $f$ は $x$ において連続である。
- $(2)$  $x$ に収束する $X$ の任意のフィルター $\mathcal{F}$  に対し、$Y$ のフィルター $f[\mathcal{F}]$ は $f(x)$ に収束する。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$
$f$ は $x$ において連続であり、フィルター $\mathcal{F}$ は $x$ に収束するとする。今、$V\in\mathcal{N}_{f(x)}$ を一つとる。連続性より $f^{-1}(V)\in\mathcal{N}_x$ 更に収束の定義より $\mathcal{N}_x\mathcal{F}$ 。以上から $V\in f[\mathcal{F}]$、$V$ は任意なので、$\mathcal{N}_{f(x)}\subseteq f[\mathcal{F}]$ となり、$f[\mathcal{F}]$ は $f(x)$ に収束する。
$(2)\Rightarrow(1)$
$(2)$ を仮定する。今、$V\in\mathcal{N}_{f(x)}$ を一つとる。$\mathcal{N}_x$ は$x$ に収束するフィルターであるので、$f[\mathcal{N}_x]$ は $f(x)$ に収束する、フィルターの収束の定義より、$V\in f[\mathcal{N}_x]$ でありフィルターの像の定義から、$f^{-1}(V)\in\mathcal{N}_x$。$V\in\mathcal{N}_{f(x)}$ は任意だったので、$f$ は $x$ において連続である。
&&&


フィルターによる位相空間論3：連続性

# 7.始位相、直積位相、Tychonoff の定理
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論6：始位相・直積位相・Tychonoffの定理](SIlfFHHjUAuIZOlg6Hy0)を参照。
&&&def 始位相 [def-t5n-7-1]
$X, J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $(X_j,\mathcal{O}_j)_{j\in J}$ と写像 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\{f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap \ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n):n\in\mathbb{N}, j_1,\cdots,j_n\in J, U_1\in\mathcal{O}_{j_1},\ldots,U_n\in \mathcal{O}_{j_n}\}
$$
の要素の合併で表される集合全体 $\mathcal{O}$ は $X$ の位相である。$\mathcal{O}$ は任意の $j\in J$ に対し $f_j:X\rightarrow X_j$ が連続となるような $X$ の位相のうち最弱のものとして特徴付けられる。$\mathcal{O}$ を $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相と言う。
&&&
&&&prop 始位相に関するネットの収束の特徴付け [prop-t5n-7-2]
$X$ に $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相を入れる。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $x_{\lambda}\rightarrow x$.
- $(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $f_j(x_{\lambda})\rightarrow f_j(x)$.
&&&
&&&prf
始位相の定義より各 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ は連続であるので、[定理1](qO6hj720ldzJPpkl5mf6#thm-t5n-3)より $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。$(2)$ が成り立つとする。始位相の定義より $x$ の任意の近傍 $V$ に対し有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ と開集合 $U_1\subset X_{j_1},\ldots,U_n\subset X_{j_n}$ で、
$$
x\in f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V
$$
なるものが取れる。各 $k\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $U_k$ は $f_{j_k}(x)$ の開近傍であり、$(2)$ が成り立つので、$\lambda_k\in \Lambda$ が存在し、任意の$\lambda\geq\lambda_k$ に対し $f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k$ となる。$\Lambda$ は有向集合なので $\lambda_0\geq\lambda_1,\ldots,\lambda_0\geq \lambda_n$ なる $\lambda_0\in\Lambda$ が取れて、
$$
f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0,\forall k\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、
$$
x_{\lambda}\in  f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。よって $x_{\lambda}\rightarrow x$ が成り立つ。
&&&
&&&def 直積位相空間 [def-t5n-7-3]
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $X_j$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$ から $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。$(\pi_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ が $X$ に誘導する始位相による位相空間 $X$ を、位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間と言う。
&&&
&&&prop 直積位相空間のネットの収束の特徴付け [prop-t5n-7-4]
位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ とする。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$  $x_{\lambda}\rightarrow x$.
- $(2)$  任意の $j\in J$ に対し $\pi_j(x_{\lambda})\rightarrow \pi_j(x)$.
&&&
&&&prf
直積位相空間の定義と[命題1](QLNhrK4MvH2t5BqAzY1W#prop-t5n-7-2)による。
&&&
&&&thm Tychonoffの定理 [thm-t5n-7-5]
コンパクト空間の直積位相空間はコンパクト空間である。
&&&
&&&prf
$(X_j)_{j\in J}$ をコンパクト空間の族とし、$X=\prod_{j\in J}X_j$ をその直積位相空間、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j:X\rightarrow X_j$ とする。$X$ がコンパクト空間であることを示すには、[定理1](yu3vnioWfLlqGxOQLQVM#thm-t5n-5)より、 $X$ の任意の普遍ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が収束することを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $(\pi_j(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ は コンパクト空間 $X_j$ の普遍ネットである（容易に確かめられる）からある $y_j\in X_j$ に収束する。そこで $y=(y_j)_{j\in J}\in X$ とおけば、[命題2](QLNhrK4MvH2t5BqAzY1W#prop-t5n-7-4)より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $y$ に収束する。よって $X$ はコンパクトである。
&&&
# 参考文献
- [Gert K. Pedersen「Analysis Now」](https://amzn.to/3tqZRYZ)
# 関連項目
- [入門テキスト「位相空間論」](/textbooks/ltag4haZbIdgX3xx6m8h)
- [フィルターによる位相空間論](pszlkazYKDTujmoXTT8h)
- [距離空間の位相の基本的性質](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)
- [入門テキスト「位相線形空間」](/textbooks/phzd1OwzfNHR0FMvgbod)
- [関数解析の基礎](https://old.math.jp/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E)


ネットによる位相空間論7：始位相・直積位相・Tychonoffの定理

# 2. 位相空間上のフィルターの収束点と堆積点
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論2：収束点と堆積点](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc)を参照。
&&&def フィルターの収束点と堆積点 [def-t5f-2-1]
$X$ を位相空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルター、 $x\in X$ とする。$\mathcal{F}$ が $x$ の近傍系 $\mathcal{N}_x$ の細分となるとき、$x$ を $\mathcal{F}$ の収束点という。
また、$\mathcal{F}$ が $\mathcal{N}_x$ と両立するとき、$x$ を $\mathcal{F}$ の堆積点という。
$x$ が $\mathcal{F}$ の収束点であることを、$\mathcal{F}$ は $x$ に収束するといい、このことを、$\mathcal{F}\rightarrow x$ や、$\lim\mathcal{F} =x$ と表す。
&&&
&&&prop 堆積点と細分 [prop-t5f-2-2]
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとし、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $x$ は $\mathcal{F}$ の堆積点である。
- $(2)$ $\mathcal{F}$  の細分で $x$ に収束するものが存在する。
&&&
&&&prf
堆積点と収束点の定義及び[補題1](pszlkazYKDTujmoXTT8h#lem-t5f-1-7)から直ちに従う（注：[補題1](pszlkazYKDTujmoXTT8h#lem-t5f-1-7)の $\mathcal{G}$ に $\mathcal{N}_x$ を代入せよ）。
&&&
&&&prop 閉包のフィルターによる特徴付け [prop-t5f-2-3]
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $x\in\overline{A}$.
- $(2)$ $x$ に収束する $A$ 上のフィルターが存在する。
&&&
&&&prf
$(2)\Rightarrow(1)$
$\mathcal{F}$ を $x$ に収束する $A$ 上のフィルターとする。このとき、$\mathcal{N}_x\subseteq \mathcal{F}$ かつ $A\in \mathcal{F} $ なので、任意の $x$ の近傍 $V$ は $A$ と交わる。よって $x\in\overline{A}$。
$(1)\Rightarrow(2)$
$x\in\overline{A}$ を一つとる。このとき $\{B\subseteq X | $ ある $V\in\mathcal{N}_x$ が存在し、$A\cap V\subseteq B\}$ は $x$ に収束する $A$ 上のフィルターになる。
&&&
&&&prop 堆積点と閉包 [prop-t5f-2-4]
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとする。このとき $\mathcal{F}$ の堆積点全体は $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}$ と一致する。
&&&
&&&prf
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとする。$\mathcal{F}$ の堆積点 $x\in X$ と $F\in\mathcal{F}$ を固定。$x$ の近傍 $V\in\mathcal{N}_X$ を任意に取る。堆積点の定義から、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{N}_X$ は両立するので、$F\cap V\neq\emptyset$。$V$ は任意なので閉包の定義から、$x\in\overline{F}$。逆も同様。
&&&


フィルターによる位相空間論2：収束点と堆積点

# 6. 始位相、直積位相、Tychonoff の定理
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論7：始位相・直積位相・Tychonoffの定理](QLNhrK4MvH2t5BqAzY1W)を参照。
&&&def 始位相 [def-t5f-6-1]
$X, J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $(X_j,\mathcal{O}_j)_{j\in J}$ と写像 $f_j:X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。このとき、
$\{f_{j_0}^{-1}(U_0)\cap \ldots \cap f_{j_{n-1}}^{-1}(U_{n-1}):n\in\mathbb{N}, j_0,\cdots,j_{n-1}\in J, U_0\in\mathcal{O}_{j_0},\ldots,U_{n-1}\in \mathcal{O}_{j_{n-1}}\}$
の要素の合併で表される集合全体 $\mathcal{O}$ は $X$ の位相である。$\mathcal{O}$ は任意の $j\in J$ に対し $f_j:X\rightarrow X_j$ が連続となるような $X$ の位相のうち最弱のものとして特徴付けられる。$\mathcal{O}$ を $(f_j:X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相と言う。
&&&
&&&prop 始位相におけるフィルターの収束の特徴付け [prop-t5f-6-2]
$X$ に $(f_j:X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相を入れる。$X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ と $x\in X$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $\mathcal{F}\rightarrow x$.
- $(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $f_j[\mathcal{F}]\rightarrow f_j(x)$.
&&&
&&&prf
- $(1)\Rightarrow(2)$ 始位相の定義より各 $f_j:X\rightarrow X_j$ は連続なので、[命題1](H1JBB5ghcAeCDvb22mca#prop-t5f-3)より成り立つ。
- $(2)\Rightarrow(1)$
$(2)$ が成り立つとする。始位相の定義より $x$ の任意の近傍 $V$ に対し有限個の $j_0,\ldots,j_{n-1}\in J$ と開集合 $U_0\subset X_{j_0},\ldots,U_{n-1}\subset X_{j_{n-1}}$ で、
$x\in f_{j_0}^{-1}(U_0)\cap\ldots \cap f_{j_{n-1}}^{-1}(U_{n-1})\subset V$
なるものが取れる。各 $k\in \{0,\ldots,n-1\}$ に対し $U_k$ は $f_{j_k}(x)$ の開近傍であり、$(2)$ が成り立つので、$U_k\in f_{j_k}[\mathcal{F}]$、すなわち $f_{j_k}^{-1}(U_k)\in\mathcal{F}$。$\mathcal{F}$ は有限交叉について閉じているので、$f_{j_0}^{-1}(U_0)\cap\ldots \cap f_{j_{n-1}}^{-1}(U_{n-1})\in\mathcal{F}$ となり、$f_{j_0}^{-1}(U_0)\cap\ldots \cap f_{j_{n-1}}^{-1}(U_{n-1})\subset V$ だったので、$V\in\mathcal{F}$ である。よって $\mathcal{F}\rightarrow x$ が成り立つ。
&&&
&&&def 直積位相空間 [def-t5f-6-3]
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $X_j$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$ から $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j:X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。$(\pi_j:X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ が $X$ に誘導する始位相による位相空間 $X$ を、位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間と言う。
&&&
&&&prop 直積位相空間におけるフィルターの収束の特徴付け [prop-t5f-6-4]
位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j:X\rightarrow X_j$ とする。$X$ のフィルター$\mathcal{F}$ と $x\in X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$  $\mathcal{F}\rightarrow x$.
- $(2)$  任意の $j\in J$ に対し $\pi_j[\mathcal{F}]\rightarrow \pi_j(x)$.
&&&
&&&prf
直積位相の定義と[命題1](SIlfFHHjUAuIZOlg6Hy0#prop-t5f-6-2)による。
&&&
&&&thm Tychonoff の定理 [thm-t5f-6-5]
コンパクト空間の直積位相空間はコンパクト空間である。
&&&
&&&prf
$(X_j)_{j\in J}$ をコンパクト空間の族とし、$X=\prod_{j\in J}X_j$ をその直積位相空間、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j:X\rightarrow X_j$ とする。$X$ がコンパクト空間であることを示すには、[定理2](uqxYQpOwsbYRVdcLZYjp#thm-t5f-5-2)より、 $X$ の任意の超フィルター $\mathcal{F}$ が収束することを示せばよい。[命題4](pszlkazYKDTujmoXTT8h#prop-t5f-1-13)より各 $j\in J$ に対し $\pi_j[\mathcal{F}]$ は $X_j$ の超フィルターであり、各 $X_j$ はコンパクトであるから[定理2](uqxYQpOwsbYRVdcLZYjp#thm-t5f-5-2)よりある $y_j\in X_j$ に収束する。そこで $y=(y_j)_{j\in J}\in X$ とおけば、[命題2](SIlfFHHjUAuIZOlg6Hy0#prop-t5f-6-4)より $\mathcal{F}$ は $y$ に収束する。よって $X$ はコンパクトである。
&&&
# 関連項目
- [位相空間論](/textbooks/ltag4haZbIdgX3xx6m8h)
- [ネットによる位相空間論](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)


フィルターによる位相空間論6：始位相・直積位相・Tychonoffの定理

# 6.位相空間の可算性と点列
&&&def 基本近傍系 [def-t5n-6-1]
$X$ を位相空間とする。$x\in X$ に対し $x$ の近傍からなる集合 $\mathcal{B}(x)$ が $x$ の基本近傍系であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し $B\in \mathcal{B}(x)$ で $B\subset V$ なるものが存在することを言う。
&&&
&&&def 第一可算空間 [def-t5n-6-2]
位相空間が第一可算空間である（第一可算公理を満たす）とは、任意の $x\in X$ に対し $x$ の基本近傍系として可算なものが取れることを言う。
&&&
&&&lem 第一可算空間における基本補題 [lem-t5n-6-3]
$X$ を位相空間、$x\in X$ とし、$x$ が可算な基本近傍系を持つとする。このとき $x$ の近傍からなる列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で次の条件を満たすものが取れる。
- $x$ の任意の近傍 $V$ に対し $B_n\subset V$ なる $n\in\mathbb{N}$ が存在する。
- 任意の$n\in \mathbb{N}$ に対し $B_{n+1}\subset B_n$.
&&&
&&&prf
$\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $x$ の可算な基本近傍系として、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、$B_n:=U_1\cap\ldots \cap U_n$ とおけば、$(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は条件を満たす。
&&&
&&&prop 第一可算空間における点列の堆積点と部分列 [prop-t5n-6-4]
$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を第一可算空間 $X$ の点列、$x\in X$ とする。このとき次は互いに同値である。
- $(1)$ $x$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の堆積点である。
- $(2)$  $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列で $x$ に収束するものが存在する。
&&&
&&&prf
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし、$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で[補題1](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#lem-t5n-6-3)の条件を満たすものを取ると、 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ を、$x_{k(n)}\in B_{n}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ となるように取れる。このとき $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束するので、 $(2)$ が成り立つ。
&&&
&&&prop 第一可算空間における閉包の点の点列による特徴付け [prop-t5n-6-5]
$X$ を第一可算空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $x\in \overline{A}$.
- $(2)$ $x$ に収束する $A$ の点列が存在する。
&&&
&&&prf
$(2)\Rightarrow(1)$ は自明である。$x$ の近傍の列 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で[補題1](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#lem-t5n-6-3)の条件を満たすものを取る。$x\in \overline{A}$ ならば、[命題2](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-3)より任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $x_n\in A\cap B_n$ が取れる。こうしてできる $A$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束する。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
&&&
&&&prop 連続性の点列による特徴付け [prop-t5n-6-6]
$X$ を第一可算空間、$Y$ を位相空間、$x\in X$、$f:X\rightarrow Y$ とする。このとき次は互いに同値である。
- $(1)$  $f$ は $x$ において連続である。
- $(2)$  $x$ に収束する $X$ の任意の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、$Y$ の点列 $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(x)$ に収束する。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。 $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を[補題1](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#lem-t5n-6-3)における $x$ の近傍の列とする。$(2)\Rightarrow(1)$ の対偶を示す。 もし $(1)$ が成り立たたないならば、$f(x)$ の近傍 $V$ で、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $B_n\backslash f^{-1}(V)\neq\emptyset$ となるものが取れる。そこで任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $x_n\in B_n\backslash f^{-1}(V)$ を取ることで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義する。これは明らかに $x$ に収束する。しかし $f(x_n)\notin V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ より $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ は $f(x)$ に収束しない。よって $(2)$ は成り立たない。
&&&
&&&def 点列コンパクト [def-t5n-6-7]
位相空間 $X$ が点列コンパクトであるとは、$X$ の任意の点列が収束する部分列を持つことを言う。
&&&
&&&prop 第一可算なコンパクト空間は点列コンパクト [prop-t5n-6-8]
第一可算なコンパクト空間は点列コンパクトである。
&&&
&&&prf
$X$ を第一可算なコンパクト空間とし、$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の任意の点列とする。[定理1](yu3vnioWfLlqGxOQLQVM#thm-t5n-5)より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。[命題2](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#prop-t5n-6-4)より $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ のある部分列は  $x$ に収束する。よって $X$ は点列コンパクトである。
&&&
&&&prop 点列コンパクトなLindelöf空間はコンパクト [prop-t5n-6-9]
点列コンパクトな[Lindelöf空間](https://old.math.jp/wiki/Lindel%C3%B6f%E7%A9%BA%E9%96%93)はコンパクト空間である。
&&&
&&&prf
$X$ を点列コンパクトな[Lindelöf空間](https://old.math.jp/wiki/Lindel%C3%B6f%E7%A9%BA%E9%96%93)とする。$X$ がコンパクトではないと仮定すると、$X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。$X$ はLindelöf 空間であるので、$\{U_j\}_{j\in J}$ の可算部分開被覆 $\{U_{j_n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ を取り、$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を定義する。$X$ は点列コンパクトであるので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列を持つ。よって[命題2](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#prop-t5n-6-4)より $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_{n_0}}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ を取る。$U_{j_{n_0}}$ は $x$ の近傍であり、$x$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の堆積点であるから、$n\geq n_0$ かつ $x_n\in U_{j_{n_0}}$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れる。よって $x_n\in U_{j_{n_0}}\subset \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$ となり、$x_n\in X\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_{j_k}$  に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。
&&&
&&&cor 第二可算空間においてはコンパクトと点列コンパクトは同値 [cor-t5n-6-10]
[第二可算空間](https://old.math.jp/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%A9%BA%E9%96%93)においてはコンパクトと点列コンパクトは同値である。
&&&
&&&prf
第二可算空間が第一可算空間かつ[Lindelöf 空間](https://old.math.jp/wiki/Lindel%C3%B6f%20%E7%A9%BA%E9%96%93)であることと、[命題5](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#prop-t5n-6-8)、[命題6](bPdXlOqasHqlorkVKKCJ#prop-t5n-6-9)による。
&&&
&&&rem 距離空間の位相について [rem-t5n-6-11]
距離空間は第一可算空間であり（[距離空間の位相の基本的性質の命題2.2](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)）、距離空間が可分であることと第二可算であることは同値である（[距離空間の位相の基本的性質の命題3](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)）。また距離空間がコンパクトであることと点列コンパクトであることは同値である（[距離空間の位相の基本的性質の定理6.5](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)）。
&&&


ネットによる位相空間論6：可算性と点列

# 4. Hausdorffの分離公理とフィルターの収束点の一意性
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論4：Hausdorff性](uqIYtfict3RBQQg2YhzH)を参照。
&&&prop [prop-t5f-4]
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$  $X$ はHausdorff の分離公理を満たす。
- $(2)$  $X$ 上の任意の収束するフィルターの収束点は唯一つである。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$
$X$ をHausdorff 空間とし、 $x,y\in X$ を相異なる二点とする。このとき、ある $U\in \mathcal{N}_x, V\in\mathcal{N}_y$ が存在して、$U\cap V=\emptyset$。よって、$x,y$ の近傍系は両立せず、[補題1](pszlkazYKDTujmoXTT8h#lem-t5f-1-7)から共通の細分を持たない。以上から $x,y$ は共通のフィルターの収束先にならない。
$(2)\Rightarrow(1)$
対偶を示す。$x,y\in X$ を近傍で分離できない相異なる二点とする。このとき $\mathcal{N}_x, \mathcal{N}_y$ は両立する。[補題1](pszlkazYKDTujmoXTT8h#lem-t5f-1-7)より共通の細分を持ち、そのような細分は $x,y$ 両方を収束先に持つフィルターである。
&&&


フィルターによる位相空間論4：Hausdorff性

# 1. フィルターの定義
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論1：ネットの定義](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)を参照。
&&&def 有限交叉族 [def-t5f-1-1]
集合族 $\mathcal{F}$ が以下を満たすとき、有限交叉的であるといい、有限交叉的な集合族を[有限交叉族](https://old.math.jp/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BA%A4%E5%8F%89%E6%97%8F)という。
- 任意の有限個の  $F_0, \cdots , F_{n-1}\in\mathcal{F}$ について、 $F_0\cap F_1 \cdots \cap F_{n-1}\neq\emptyset$.
&&&
&&&def フィルター [def-t5f-1-2]
$X$ を集合とする。$\mathcal{F}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき、$\mathcal{F}$ を集合 $X$ 上の（真の）フィルターと呼ぶ。
- $(1)$ $X\in\mathcal{F}$ かつ $\emptyset \notin \mathcal{F}$.
- $(2)$ 任意の $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ に対し、$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
- $(3)$ 任意の $F\in \mathcal{F}$ と $F\subset G\subset X$ なる任意の $G$ に対し、$G\in \mathcal{F}$.
&&&
&&&ex [ex-t5f-1-3]
- 無限集合 $X$ の補有限（注：補集合が有限集合になること）部分集合全体はフィルターである、これを Fréchet フィルターという。
- 位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍全体 $\mathcal{N}_x$ はフィルターである（注：近傍系または近傍フィルターと呼ばれる）。
&&&
&&&def フィルターの細分と両立 [def-t5f-1-4]
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ について、包含関係 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ が成り立つとき、$\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の細分という。
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ について以下が成り立つとき、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立しているという。
- 任意の $F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}$ にたいして、 $F\cap G\neq \emptyset$.
&&&
&&&def フィルターの生成と単項フィルター [def-t5f-1-5]
集合 $X$ 上の空でない有限交叉族 $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ が与えられたとき、$\langle\mathcal{F}\rangle\colon =\{G\subseteq X | $ ある有限個の $F_0,\cdots ,F_{n-1}\in\mathcal{F}$ が存在して、$F_0\cap F_1\cap\cdots\cap F_{n-1}\subseteq G\}$ はフィルターになる。$\langle\mathcal{F}\rangle$ を $\mathcal{F}$ が生成するフィルターという。 $\langle\mathcal{F}\rangle$ は $\mathcal{F}$ の細分となる最小のフィルターである。
特に点 $x\in X$ について $\langle\{\{x\}\}\rangle$ を $x$ が生成する単項フィルターという。
&&&
&&&def フィルターの制限と拡張 [def-t5f-1-6]
$X$ を集合、$A$ を $X$ の部分集合、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルターとする。
このときもし、$A\in\mathcal{F}$ なら $\mathcal{F}$ の $A$ への制限 $\{F\cap A | F\in\mathcal{F}\}$ は $A$ 上のフィルターになる。さらに、$A$ 上のフィルター $\mathcal{G}$ のXへの拡張、$\{F\subseteq X | $ ある $G\in\mathcal{G}$ があって、$G\subseteq F\}$ は $X$ 上のフィルターとなる。制限と拡張は互いに逆写像であり、$A\in\mathcal{F}$ となる $X$ 上のフィルター全体と、$A$ 上のフィルター全体の間に全単射を定義している。以降 $A\in\mathcal{F}$ を単に「 $\mathcal{F}$ は $A$ 上のフィルター」といい、$\mathcal{F}$ とその制限を同一視する。
&&&
&&&lem 基本補題 [lem-t5f-1-7]
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ にたいし以下の (1)、(2) は同値。
- $(1)$ $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立している.
- $(2)$  $\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ は共通の細分を持つ.
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow (2)$
フィルター $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立しているとする。このとき $\mathcal{F}\cup\mathcal{G}$ は有限交叉的なので、フィルター $\langle\mathcal{F}\cup\mathcal{G}\rangle$ が存在（注：$\langle\mathcal{F}\cup\mathcal{G}\rangle =\{F\cap G | F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}\}$）。これは  $\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ の共通の細分である.
$(2)\Rightarrow (1)$
$\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ は共通の細分を持つとし、それを $\mathcal{H}$ とおく。このとき $F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}$ を任意に取ると、細分の定義から $F, G\in\mathcal{H} $ となる。$\mathcal{H}$ はフィルターなので、$F\cap G\in\mathcal{H} $  となり $F\cap G\neq\emptyset$.
&&&
&&&def [def-t5f-1-8]
両立するフィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subseteq 2^X$ にたいし、$\mathcal{F}\wedge\mathcal{G}$ を次のように定義する。
- $\mathcal{F}\wedge\mathcal{G}\colon =\{F\cap G | F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}\}$
これは $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ の共通するの最小の細分である。
&&&
&&&def 超フィルター [def-t5f-1-9]
自分自身以外の細分を持たないフィルターを超フィルターという。また単項フィルターでない超フィルターを非単項超フィルターまたは自由な超フィルターという.
&&&
&&&prop 超フィルターの特徴付け [prop-t5f-1-10]
フィルター $\mathcal{U}\subseteq 2^X$ について以下は同値。
- $(1)$ $\mathcal{U}$ は超フィルター.
- $(2)$ 任意の $F\cup G\in\mathcal{U}$ にたいし、$F\in\mathcal{U}$ または $G\in\mathcal{U}$.
- $(3)$ 任意の $A\subseteq X$ にたいし、$A\in\mathcal{U}$ または $(X\setminus A)\in\mathcal{U}$.
&&&
&&&prf
- $(1)\Rightarrow(2)$
$\mathcal{U}\subseteq 2^X$ を超フィルター とし、$(2)$の対偶を示す。$F\notin\mathcal{U}$ かつ $G\notin\mathcal{U}$ とする。$\mathcal{U}$ の細分は超フィルターの定義からそれ自身しかないが、$F\notin\mathcal{U}$ からそのようなものは $\langle\{F\}\rangle$ の細分となり得ない。[補題1](pszlkazYKDTujmoXTT8h#lem-t5f-1-7)から $\langle\{F\}\rangle$ と $\mathcal{U}$ は両立しない。このことより、ある $U\in\mathcal{U}$ が存在して、$F\cap U=\emptyset$。同様に、ある $V\in\mathcal{U}$ が存在して、$G\cap V=\emptyset$。このことから $(F\cup G)\cap(U\cap V)=\emptyset$ となる、もし $F\cup G\in\mathcal{U}$ なら $\emptyset\in\mathcal{U}$ となって矛盾。よって $F\cup G\notin\mathcal{U}$。
- $(2)\Rightarrow(3)$ $F=A, G=X\setminus A$ とすれば良い。
- $(3)\Rightarrow(1)$
$\mathcal{U}\subseteq 2^X$ を $(3)$ を満たすフィルターとする。 $\mathcal{F}$ を $\mathcal{U}$ の細分とする。$F\in\mathcal{F}$ につてフィルターの定義から $X\setminus F\notin\mathcal{F}$ が成り立つ。$\mathcal{F}$ は $\mathcal{U}$ の細分なので、$X\setminus F\notin\mathcal{U}$。仮定から、$F\in\mathcal{U}$ となり $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{U}$。以上から $\mathcal{U}$ は超フィルター。
&&&
&&&thm 超フィルターの存在 [thm-t5f-1-11]
任意のフィルターにたいし、その細分となる超フィルターが存在する。
&&&
&&&prf
$\mathcal{F}$ を $X$ の上のフィルターとする。$\mathcal{F}$ の細分全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。よってZornの補題より $\mathcal{F}$ の細分で、集合の包含関係による順序に関して極大なものが取れる。それを $\mathcal{U}$ とする。$\mathcal{G}$ を $\mathcal{U}$ の細分とする。このとき $\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ の細分でもある。よって  $\mathcal{U}$ の極大性から $\mathcal{G} =\mathcal{U}$ となり、$\mathcal{U}$ は $\mathcal{F}$  の細分となる超フィルター。
&&&
&&&def 写像によるフィルターの像 [def-t5f-1-12]
$X, Y$ を集合、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とするとき、$f[\mathcal{F}]\colon =\{G\subseteq Y | f^{-1}(G)\in\mathcal{F}\}$ は $Y$ 上のフィルターである。$f[\mathcal{F}]$ を $\mathcal{F}$ の $f$ による像という。
&&&
&&&prop 写像による超フィルターの像 [prop-t5f-1-13]
$X, Y$ を集合、$\mathcal{U}$ を $X$ 上の超フィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とするとき、$\mathcal{U}$ の $f$ による像 $f[\mathcal{U}]$ は $Y$ 上の超フィルター。
&&&
&&&prf
$\mathcal{U}$ を $X$ 上の超フィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とする。 $A\cup B\in f[\mathcal{U}]$ となる $A,B\subseteq Y$ をとる。このとき、 $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=f^{-1}(A\cup B)\in\mathcal{U}$ となる。[命題2](pszlkazYKDTujmoXTT8h#prop-t5f-1-10)より $f^{-1}(A)\in\mathcal{U}$ または、$ f^{-1}(B)\in \mathcal{U}$ となり、フィルターの像の定義から、$A\in f[\mathcal{U}]$ または、$B\in f[\mathcal{U}]$ となる。以上と[命題2](pszlkazYKDTujmoXTT8h#prop-t5f-1-10)より $f[\mathcal{U}]$ は超フィルター。
&&&


フィルターによる位相空間論1：フィルターの定義

# 3.連続性のネットによる特徴付け
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論3：連続性](H1JBB5ghcAeCDvb22mca)を参照。
&&&thm 連続性のネットによる特徴付け [thm-t5n-3]
$X,Y$ を位相空間、$x\in X$,  $f\colon X\rightarrow Y$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$  $f$ は任意の $x\in X$ において連続である。
- $(2)$  $x$ に収束する $X$ の任意のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  に対し、$Y$ のネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$を示す。$f$が$x$において連続であるとし、$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $x$ に収束する $X$ のネットとする。$f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍であるから $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し $\lambda\geq \lambda_0$ なる任意の $\lambda$ に対し $x_{\lambda}\in f^{-1}(V)$ となる。よって任意の　$\lambda\geq \lambda_0$　に対し　$f(x_{\lambda})\in V$　となるので、ネット $(f(x_{\lambda}))_{\lambda\in \Lambda}$ は $f(x)$ に収束する。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$が成り立つとする。もし$f$ が $x$ において連続ではないならば $f(x)$ の近傍 $V$ が存在し、
$$
U\backslash f^{-1}(V)\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x))
$$
となる。ただし ${\cal B}(x)$ は $x$ の近傍全体である。そして ${\cal B}(x)$ は集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるから、
$$
x_{U}\in U\backslash f^{-1}(V)\quad(\forall U\in {\cal B}(x))\quad\quad(*)
$$
なる $X$ のネット $(x_U)_{U\in {\cal B}(x)}$ が定義できる。これは $x$ に収束するので $Y$ のネット $(f(x_U))_{U\in {\cal B}(x)}$ は $f(x)$ に収束する。しかし $(*)$ より任意の $U\in {\cal B}(x)$ に対し $f(x_U)\notin V$ であるから矛盾する。よって $f$ は $x$ において連続である。
&&&


ネットによる位相空間論3：連続性

# 4.Hausdorffの分離公理とネットの収束点の一意性
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論4：Hausdorff性](iJB4Wt1nutrI19RjrwYM)を参照。
&&&thm Hausdorffの分離公理とネットの収束点の一意性 [thm-t5n-4]
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$  $X$ はHausdorff の分離公理を満たす。
- $(2)$  $X$ の任意の収束するネットに対しその収束点は唯一つである。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow (2)$を示す。対偶を示す。$(2)$ が成り立たないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ と $X$のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ で $x_{\lambda}\rightarrow x$ かつ $x_{\lambda}\rightarrow y$ なるものが存在する。$x,y$　の任意の近傍　$U,V$　を取る。$x_{\lambda}\rightarrow x$、$x_{\lambda}\rightarrow y$ より $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し、任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\in U$ かつ $x_{\lambda}\in V$ となる。よって $U\cap V\neq \emptyset$ である。これより $X$ はHausdorffの分離公理を満たさない。よって $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。対偶を示す。$X$ がHausdorffの分離公理を満たさないとすると $x\neq y$ なる $x,y\in X$ で、
$$
U\cap V\neq \emptyset\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x))
$$
を満たすものが存在する。ただし ${\cal B}(x),  {\cal B}(y)$ はそれぞれ$x,y$の近傍全体である。
$$
\Lambda:=\{U\cap V: U\in {\cal B}(x), V\in {\cal B}(y)\}
$$
は集合の逆包含関係による順序により有向集合であるから、
$$
z_{U\cap V}\in U\cap V\quad(\forall U\in {\cal B}(x),\forall V\in {\cal B}(x))
$$
としてネット $(z_{U\cap V})_{U\cap V\in \Lambda}$ が定義でき、これは $x,y$ のいずれにも収束する。よって$(2)$は成り立たない。ゆえに$(2)\Rightarrow(1)$ が成り立つ。
&&&


ネットによる位相空間論4：Hausdorff性

# 5. コンパクト性のフィルターによる特徴付け
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[ネットによる位相空間論5：コンパクト性](yu3vnioWfLlqGxOQLQVM)を参照。
&&&lem [lem-t5f-5-1]
位相空間 $X$ について以下は同値。
- $(1)$ $X$ はコンパクト.
- $(2)$ $X$ の閉集合からなる有限交叉族の共通部分は空でない.
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow (2)$
閉集合からなる有限交叉族 $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ について、$\mathcal{U}=\{X\setminus F|F \in \mathcal{F}\}$ とおく。このとき、$\mathcal{U}$ が開被覆ならば、$X$ のコンパクト性により $\mathcal{U}$ の有限個の要素 $X\setminus F_0,\cdots, X\setminus F_{n-1}$ について $X=(X\setminus F_0)\cup \cdots \cup (X\setminus F_{n-1})$ が成り立つが、ここから $F_0\cap \cdots \cap F_{n-1}=\emptyset $ がいえる、これは仮定に反する。よって$\mathcal{U}$ は開被覆でない。よって$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X\setminus (\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空でない。
$(2)\Rightarrow (1)$
開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{F}=\{X\setminus U|U \in \mathcal{U}\}$ とおく。このとき、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X\setminus (\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空集合であるため $(2)$ の対偶から、ある $\mathcal{F}$ の有限個の要素 $X\setminus U_0,\cdots, X\setminus U_{n-1}$ について $(X\setminus U_0)\cap \cdots \cap (X\setminus U_{n-1})=\emptyset$ が成り立つ。以上から $X=U_0\cup \cdots \cup U_{n-1}$ がいえた。
&&&
&&&thm [thm-t5f-5-2]
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$ $X$ は[コンパクト空間](https://old.math.jp/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93) である。
- $(2)$ $X$ の任意のフィルターは堆積点を持つ。
- $(3)$ $X$ の任意のフィルターは収束する細分を持つ。
- $(4)$ $X$ の任意の超フィルターは収束する。
&&&
&&&prf
- $(1)\Rightarrow(2)$
$X$ をコンパクト空間とする。$\mathcal{F}$ をフィルターとすると、$\{\overline{F} | F\in\mathcal{F}\}$ は閉集合からなる有限交叉族となる。[補題1](uqxYQpOwsbYRVdcLZYjp#lem-t5f-5-1)から、これの共通部分 $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}$ は空でない。[命題3](RZYqJvJKAsaYv7Z21W2r#prop-t5f-2-4)から $\mathcal{F}$ は集積点を持つ。
- $(2)\Leftrightarrow(3)$ は[命題1](RZYqJvJKAsaYv7Z21W2r#prop-t5f-2-2)による。
- $(3)\Leftrightarrow(4)$ は超フィルターの存在と超フィルターの細分は自分自身しか存在しないことによる。
- $(2)\Rightarrow(1)$
位相空間 $X$ 上のフィルターは常に堆積点を持つとする。
今 $\mathcal{K}$ を $X$ の閉集合からなる有限交叉的族とする。仮定よりフィルター $\mathcal{F}\colon =\langle \mathcal{K}\rangle$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}\subseteq\bigcap_{K\in\mathcal{K}}\overline{K}= \bigcap_{K\in\mathcal{K}}K$
以上より、[補題1](uqxYQpOwsbYRVdcLZYjp#lem-t5f-5-1)より $X$ はコンパクト。
&&&


フィルターによる位相空間論5：コンパクト性

# 1.ネットの定義
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論1：フィルターの定義](pszlkazYKDTujmoXTT8h)を参照。
&&&def 有向集合 [def-t5n-1-1]
$(\Lambda,\leq)$ を空でない前順序集合とする。任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$ に対し、$\lambda_3\in \Lambda$ で$\lambda_1\leq \lambda_3$ かつ $\lambda_2\leq \lambda_3$ を満たすものが存在するとき、$(\Lambda,\leq)$ を有向集合と言う。
&&&
&&&ex 有向集合の例 [ex-t5n-1-2]
- 自然数全体 $\mathbb{N}$ や整数全体 $\mathbb{Z}$ は通常の順序により有向集合である。
- 位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍全体は集合の逆包含関係による順序により有向集合である。
&&&
&&&def ネット [def-t5n-1-3]
$X$ を集合、$\Lambda$ を有向集合とする。$\Lambda$ 上で定義され、$X$ に値を取る写像 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\colon \Lambda\ni\lambda\mapsto x_{\lambda}\in X$ を、$\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットと言う。
&&&
&&&def 点列 [def-t5n-1-4]
自然数全体 $\mathbb{N}$ によって添字付けられたネットのことを点列と言う。
&&&
&&&def 部分ネット [def-t5n-1-5]
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットとする。有向集合 $M$ と写像 $\varphi\colon M\rightarrow \Lambda$ が、
$$
\forall \lambda_0\in \Lambda, \exists \mu_0\in M  \text{  s.t. } \forall \mu\geq\mu_0,\varphi(\mu)\geq \lambda_0
$$
を満たすとき、$X$ のネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットと言う。
&&&
&&&def 部分列 [def-t5n-1-6]
$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。$k\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ が $k(1)<k(2)<\ldots <k(n)<k(n+1)<\ldots$ を満たすとき、$X$ の点列 $(x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ を $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列と言う。
&&&
&&&rem 点列の部分ネットは部分列とは限らない [rem-t5n-1-7]
点列の部分列は部分ネットであるが、点列の部分ネットは部分列であるとは限らない。実際、点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、
$$
k(1)=k(2)<k(3)=k(4)<\ldots<k(2n-1)=k(2n)<\ldots
$$
となるように $k\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ を定義すると、 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分ネットであるが、$(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列ではない。
&&&
&&&def eventually in, frequently in [def-t5n-1-8]
集合 $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ と部分集合 $A\subset X$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$  is eventually in  $A$.    $\Leftrightarrow$    $\exists \lambda_0\in \Lambda$ s.t. $\forall \lambda\geq \lambda_0$,  $x_{\lambda}\in A$.
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$  is frequently in  $A$.    $\Leftrightarrow$    $\forall \lambda\in \Lambda$,  $\exists\lambda_0 \geq \lambda$ s.t. $x_{\lambda_0}\in A$.
&&&
&&&lem ネットの基本補題 [lem-t5n-1-9]
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネット、$\mathcal{B}\subset 2^X$ を集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるものとする。そして任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is frequently in $B$.
が成り立つとする。このとき $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ で任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
- $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ is eventually in $B$.
となるものが存在する。
&&&
&&&prf
$$
M:=\{(\lambda,B): x_{\lambda}\in B\}
$$
とおき、$M$における前順序$\leq$を、
$$
(\lambda_1,B_1)\leq (\lambda_2,B_2)\quad\overset{\text{定義}}{\Longleftrightarrow}\quad
\lambda_1\leq \lambda_2,\quad B_1\supset B_2
$$
として定義する。このとき$M$が有向集合であることを示す。任意の $(\lambda_1,B_1),(\lambda_2,B_2)\in M$ を取る。$\Lambda$,  $\mathcal{B}$は共に有向集合であるから、$\lambda_{2.5}\geq \lambda_1,\lambda_2$、$B_3\subset B_1\cap B_2$ なる $\lambda_{2.5}\in \Lambda$ と $B_3\in \mathcal{B}$ が取れる。$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ はfrequently in $B_3$ であるから、$\lambda_3\geq \lambda_{2.5}$ で$x_{\lambda_3}\in B_3$ なるものが取れる。よって $(\lambda_3,B_3)\in M$ であり、$(\lambda_3,B_3)\geq (\lambda_1,B_1), (\lambda_2,B_2)$ であるから $M$ は有向集合である。$\varphi:M\rightarrow \Lambda$ を $\varphi(\lambda,B)=\lambda$ として定義する。$(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットであることを示す。任意の $\lambda_0\in \Lambda$ と任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $\lambda_0'\geq \lambda_0$,  $x_{\lambda_0'}\in B_0$ なる $\lambda_0'\in \Lambda$ を取る。$\mu_0=(\lambda_0',B_0)\in M$ とおけば任意の $\mu\geq \mu_0$ に対し $\varphi(\mu)\geq \varphi(\mu_0)=\lambda_0'\geq \lambda_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$は$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットである。任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $x_{\lambda_0}\in B_0$ なる $\lambda_0\in \Lambda$を取り,  $\mu_0=(\lambda_0,B_0)\in M$ とおくと,  任意の$\mu=(\lambda,B)\geq \mu_0$ に対し $x_{\varphi(\mu)}=x_{\lambda}\in B\subset B_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ はeventually in $B_0$ である。
&&&
&&&def 普遍ネット [def-t5n-1-10]
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネットとする。任意の $A\subset X$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$  is eventually in  $A$.
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$  is eventually in  $X\backslash A$.
のうちのいずれかが成り立つとき、  $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の普遍ネットと言う。
&&&
&&&def 普遍部分ネット [def-t5n-1-11]
ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットで普遍ネットであるものを $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の普遍部分ネットと言う。
&&&
&&&thm 普遍部分ネットの存在 [thm-t5n-1-12]
任意のネットに対し普遍部分ネットが存在する。
&&&
&&&prf
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネットとする。$\mathcal{F}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき、$\mathcal{F}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターと呼ぶこととする。
- (1) $\mathcal{F}\neq \emptyset$.
- (2) 任意の $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ に対し、$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
- (3) 任意の $F\in \mathcal{F}$ と $F\subset G\subset X$ なる任意の $G$ に対し、$G\in \mathcal{F}$.
- (4) 任意の $F\in \mathcal{F}$ に対し、$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in  $F$.
$\{X\}$ は$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであるから $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターは少なくとも $1$ つは存在する。そして
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルター全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。実際、$\{\mathcal{F}_j\}_{j\in J}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターからなる全順序集合とすると、$\bigcup_{j\in J}\mathcal{F}_j$ も$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターである。よってZornの補題より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターで、集合の包含関係による順序に関して極大なものが取れる。それを ${\mathcal F}$ とする。[補題1](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac#lem-t5n-1-9)より任意の $A\subset X$ に対し、$A\in {\mathcal F}$ か $X\backslash A\in {\mathcal F}$ が成り立つことを示せば証明は終わる。${\mathcal F}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであることから次のいずれかが成り立つ。
- (a) $\forall F\in \mathcal{F}$,  $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  is frequently in $F\cap A$.
- (b) $\forall F\in \mathcal{F}$,  $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$  is frequently in $F\backslash A$.
実際、(a),(b)のいずれも成り立たないとすると $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ と $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\notin F_1\cap A$ かつ $x_{\lambda}\notin F_2\backslash A$ となる。しかし $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$ であるからフィルタの性質$(4)$ よりある $\lambda\geq \lambda_0$ に対し $x_{\lambda}\in F_1\cap F_2$ となる。よって $x_{\lambda}\in F_1\cap A$か$x_{\lambda}\in F_2\backslash A$となるので矛盾する。ゆえに(a),(b)のうちいずれかが成り立つ。
(a) が成り立つとき、
$$
\mathcal{F}_1=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{  s.t  }  F\cap A\subset E\}
$$
とおくと、${\mathcal F}_1$ は ${\mathcal F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$A\in {\mathcal F}_1$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より ${\mathcal F}_1={\mathcal F}$ であるから $A\in \mathcal{F}$ である。(b)が成り立つとき、
$$
{\mathcal F}_2=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{  s.t.  }  F\backslash A\subset E\}
$$
とおくと、$\mathcal{F}_2$ は $\mathcal{F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$X\backslash A\in \mathcal{F}_2$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より $\mathcal{F}_2=\mathcal{F}$ であるから $X\backslash A\in \mathcal{F}$ である。
&&&


ネットによる位相空間論1：ネットの定義

# 補節　ネットとフィルターの対応
ネットとフィルターは、位相空間における収束を記述する二つの等価な道具である。ただし、両者を機械的に同一視するのではなく、「ネットの尾部が生成するフィルター」と「フィルターから作る標準的なネット」を介して対応を理解すると見通しがよい。基本概念は[ネットによる位相空間論1：ネットの定義](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)と[フィルターによる位相空間論1：フィルターの定義](pszlkazYKDTujmoXTT8h)を参照。
&&&def ネットの尾部フィルター [def-t5b-1]
有向集合 $D$ 上のネット $(x_d)_{d\in D}$ に対し、
$$
T_{d_0}:=\{x_d\mid d\ge d_0\}
$$
を $d_0$ 以後の尾部とする。すべての尾部 $T_{d_0}$ を含む集合全体
$$
\mathcal F_x:=\{A\subseteq X\mid \text{ある }d_0\in D\text{ が存在して }T_{d_0}\subseteq A\}
$$
は $X$ 上のフィルターであり、ネットの尾部フィルターと呼ばれる。
&&&
&&&thm 収束の対応 [thm-t5b-2]
ネット $(x_d)$ が点 $p$ に収束することと、その尾部フィルター $\mathcal F_x$ が $p$ に収束することは同値である。
&&&
&&&prf
$p$ の任意の近傍 $U$ について、ネットが最終的に $U$ に入ることは、ある尾部 $T_{d_0}$ が $U$ に含まれることと同値である。これはちょうど $U\in\mathcal F_x$、すなわち近傍フィルター $\mathcal N_p$ が $\mathcal F_x$ に含まれることを意味する。
&&&
&&&thm フィルターから作るネット [thm-t5b-3]
フィルター $\mathcal F$ に対し
$$
D_{\mathcal F}:=\{(A,a)\mid A\in\mathcal F,\ a\in A\}
$$
とおき、
$$
(A,a)\le (B,b)\quad\Longleftrightarrow\quad B\subseteq A
$$
で順序を入れる。$A\cap B\in\mathcal F$ かつ空でないので、これは有向集合になる。$x_{(A,a)}:=a$ とおけば、$D_{\mathcal F}$ 上のネットが得られる。このネットは任意の $F\in\mathcal F$ に最終的に入る。特に、$\mathcal F$ が点 $p$ に収束すれば、このネットも $p$ に収束する。
&&&
&&&prf
$F\in\mathcal F$ を固定し、$(F,a_0)\in D_{\mathcal F}$ を一つ取る。$(F,a_0)\le(B,b)$ ならば $B\subseteq F$ なので、$x_{(B,b)}=b\in F$ である。したがってネットは最終的に $F$ に入る。$\mathcal F$ が $p$ に収束するときは、$p$ のすべての近傍が $\mathcal F$ に属するため、結論を得る。
&&&
&&&def 普遍ネット [def-t5b-4]
ネット $(x_d)$ が普遍ネットであるとは、任意の部分集合 $A\subseteq X$ に対して、ネットが最終的に $A$ に入るか、最終的に $X\setminus A$ に入るかのいずれかが成り立つことをいう。
&&&
&&&prop 超フィルターとの対応 [prop-t5b-5]
ネットの尾部フィルターが超フィルターであることと、そのネットが普遍ネットであることは同値である。また、超フィルターから[定理2](yHvjAuuCO76t4mfphQGs#thm-t5b-3)の方法で作ったネットは普遍ネットになる。
&&&
&&&prf
尾部フィルターが超フィルターなら、任意の $A\subseteq X$ について $A$ または $X\setminus A$ のいずれかを含むため、ネットはその集合に最終的に入る。逆にネットが普遍的なら、任意の $A$ について $A$ またはその補集合が尾部フィルターに属するので、尾部フィルターは超フィルターである。超フィルター $\mathcal U$ から作ったネットについても、任意の $A$ に対し $A\in\mathcal U$ または $X\setminus A\in\mathcal U$ であり、[定理2](yHvjAuuCO76t4mfphQGs#thm-t5b-3)から普遍性が従う。
&&&
## 読み替えの辞書
| ネットの言葉 | フィルターの言葉 |
|---|---|
| 最終的に集合 $A$ に入る | 尾部フィルターが $A$ を含む |
| 点 $p$ に収束する | 近傍フィルター $\mathcal N_p$ を含む |
| 普遍ネット | 超フィルター |
| 部分ネットを取る | より細かい収束情報へ移る |
| 収束部分ネットをもつ | 適切な細分フィルターが収束する |
最後の二行は、採用する部分ネットの定義によって細部に注意が必要である。個々の値を追う議論や関数解析ではネットが自然であり、集合族の極大性や選択原理を使う議論ではフィルターが簡潔になりやすい。本書では両方の証明を残し、同じ位相的事実がどのように別の言語で現れるかを比較できるようにした。


補節：ネットとフィルターの対応

# 5.コンパクト性のネットによる特徴付け
> **編集上の案内：** 対応する別の定式化は[フィルターによる位相空間論5：コンパクト性](uqxYQpOwsbYRVdcLZYjp)を参照。
&&&thm コンパクト性のネットによる特徴付け [thm-t5n-5]
位相空間 $X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$ $X$ は[コンパクト空間](https://old.math.jp/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93) である。
- $(2)$ $X$ の任意のネットは堆積点を持つ。
- $(3)$ $X$ の任意のネットは収束する部分ネットを持つ。
- $(4)$ $X$ の任意の普遍ネットは収束する。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとし $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の任意のネットとする。任意の $\lambda\in\Lambda$ に対し、$F_{\lambda}=\{x_{\mu}:\mu\geq\lambda\}$ とおく。このとき $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}\neq\emptyset$ である。実際、もし$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}=\emptyset$  ならばコンパクト性より有限個の $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \Lambda$ が取れて、$F_{\lambda_1}\cap\ldots\cap F_{\lambda_n}=\emptyset$ となるが、$\Lambda$ は有向集合なので $\mu\geq \lambda_1,\ldots,\mu\geq\lambda_n$ を満たす $\mu\in\Lambda$ が取れるので矛盾する。そこで $x\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\overline{F_{\lambda}}$ を取れば、[命題2](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-3)より $x$ の任意の近傍 $V$ と任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $V\cap F_{\lambda}\neq\emptyset$ であるから、 $x$ は $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の堆積点である。
$(2)\Leftrightarrow(3)$ は[命題1](oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-2)による。
$(2)\Rightarrow(4)$ は普遍ネットの堆積点は収束点であることによる。
$(4)\Rightarrow(3)$ は[定理2](vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac#thm-t5n-1-12)より任意のネットが普遍部分ネットを持つことによる。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。もし $X$ がコンパクトではないならば $X$ の開被覆 $\{U_j\}_{j\in J}$ で、そのいかなる有限部分族も $X$ の開被覆ではないものが取れる。よって $J$ の空でない有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合 $\mathcal{F}_J$ を考えると、任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し $x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ が取れ、$X$ のネット $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ ができる。$(2)$ が成り立つので $(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in U_{j_0}$ なる $j_0\in J$ を取る。$U_{j_0}$ は $x$ の開近傍であり、$x$ は$(x_F)_{F\in \mathcal{F}_J}$ の堆積点であるので、$\{j_0\}\in\mathcal{F}_J$ に対し、 $\{j_0\}\subset F$ なる $F\in \mathcal{F}_J$ で $x_F\in U_{j_0}$ なるものが取れる。よって、$x_F\in U_{j_0}\subset \bigcup_{j\in F}U_j$ となり、$x_F\in X\backslash \bigcup_{j\in F}U_j$ に矛盾する。ゆえに $X$ はコンパクトである。
&&&


ネットによる位相空間論5：コンパクト性

Analysis Now

旧Mathpediaの二つの完成稿を、原稿ごとの境界と番号体系を保って二部構成にした参考書である。第I部はネット、第II部はフィルターを用いて、閉包・連続性・Hausdorff性・コンパクト性・直積位相・Tychonoffの定理を並行して扱う。さらに、二つの定式化を往復するための編集補節を加えた。

【第I部・ネット】
本稿においては、ネットの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。ネットは単純に述べれば点列を一般化した概念である。位相空間論においてネットを用いるメリットは、位相的性質をネットの収束により直観的に扱うことが出来る点であり、複雑な関数空間の位相を取り扱う関数解析の議論においては頻繁に用いられる。点列は、距離空間に代表される第一可算空間における収束の問題を扱うのに十分有効であるが、関数解析学における弱位相、弱 $*$-位相のような第一可算性のない位相における収束の問題を扱う際、必ずしも十分ではない。しかし点列の収束をネットの収束に一般化することで、位相空間の可算性に関わらず点列による収束の議論と全く同様の議論が有効になる。また、ネットの概念を用いればある種の命題の証明がほとんど自明化されることもある。ネットはフィルターと同値な概念であり、同様にフィルターによる位相空間論も展開されるが、こちらは集合論の議論において用いられることが多い。本稿においてはネットによる閉性、連続性、Hausdorff 性、コンパクト性などの基本的な位相的性質の特徴付けを行う。また点列との対比のため可算性のある位相空間において、それらの点列による特徴付けを、実際に位相空間の可算性を用いて行う。そして最後にネットにより比較的容易な証明が可能であるTychonoff の定理を示す。

【第II部・フィルター】
本稿においては、フィルターの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。位相空間におけるフィルターは単純に述べれば点列を抽象化した概念である。位相空間論においてフィルターを用いるメリットは、位相的性質を収束を中心に扱うことと、超フィルターという強力な概念を駆使することで、収束に関わる性質（特に Hausdorff性 やコンパクト性）を上手く扱えることである。抽象的な位相空間を取り扱う一般位相の議論においては頻繁に用いられる。フィルターはネットと同値な概念であり、同様にネットによる位相空間論も展開されるが、こちらは関数解析の議論において用いられることが多い。本稿においてはフィルターによるコンパクト性やHausdorff 性などの基本的な位相的性質の特徴づけを行い、フィルターにより比較的容易な証明が可能であるTychonoff の定理を示すことを目標とする。