フィルターによる位相空間論5：コンパクト性

$(1)\Rightarrow (2)$
閉集合からなる有限交叉族 $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ について、$\mathcal{U}=\{X\setminus F|F \in \mathcal{F}\}$ とおく。このとき、$\mathcal{U}$ が開被覆ならば、$X$ のコンパクト性により $\mathcal{U}$ の有限個の要素 $X\setminus F_0,\cdots, X\setminus F_{n-1}$ について $X=(X\setminus F_0)\cup \cdots \cup (X\setminus F_{n-1})$ が成り立つが、ここから $F_0\cap \cdots \cap F_{n-1}=\emptyset $ がいえる、これは仮定に反する。よって$\mathcal{U}$ は開被覆でない。よって$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X\setminus (\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空でない。
$(2)\Rightarrow (1)$
開被覆 $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{F}=\{X\setminus U|U \in \mathcal{U}\}$ とおく。このとき、$\bigcap_{F\in \mathcal{F}} F=X\setminus (\bigcup_{U \in \mathcal{U}} U)$ は空集合であるため $(2)$ の対偶から、ある $\mathcal{F}$ の有限個の要素 $X\setminus U_0,\cdots, X\setminus U_{n-1}$ について $(X\setminus U_0)\cap \cdots \cap (X\setminus U_{n-1})=\emptyset$ が成り立つ。以上から $X=U_0\cup \cdots \cup U_{n-1}$ がいえた。

• $(1)\Rightarrow(2)$
  $X$ をコンパクト空間とする。$\mathcal{F}$ をフィルターとすると、$\{\overline{F} | F\in\mathcal{F}\}$ は閉集合からなる有限交叉族となる。 補題1 から、これの共通部分 $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}$ は空でない。 命題3 から $\mathcal{F}$ は集積点を持つ。
• $(2)\Leftrightarrow(3)$ は 命題1 による。
• $(3)\Leftrightarrow(4)$ は超フィルターの存在と超フィルターの細分は自分自身しか存在しないことによる。
• $(2)\Rightarrow(1)$
  位相空間 $X$ 上のフィルターは常に堆積点を持つとする。
  今 $\mathcal{K}$ を $X$ の閉集合からなる有限交叉的族とする。仮定よりフィルター $\mathcal{F}\colon =\langle \mathcal{K}\rangle$ は堆積点 $x$ を持つ。$x\in\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}\subseteq\bigcap_{K\in\mathcal{K}}\overline{K}= \bigcap_{K\in\mathcal{K}}K$
  以上より、 補題1 より $X$ はコンパクト。