ネットによる位相空間論7：始位相・直積位相・Tychonoffの定理
7.始位相、直積位相、Tychonoff の定理
編集上の案内： 対応する別の定式化は フィルターによる位相空間論6：始位相・直積位相・Tychonoffの定理 を参照。
$X, J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $(X_j,\mathcal{O}_j)_{j\in J}$ と写像 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。このとき、
$$
\{f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap \ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n):n\in\mathbb{N}, j_1,\cdots,j_n\in J, U_1\in\mathcal{O}_{j_1},\ldots,U_n\in \mathcal{O}_{j_n}\}
$$
の要素の合併で表される集合全体 $\mathcal{O}$ は $X$ の位相である。$\mathcal{O}$ は任意の $j\in J$ に対し $f_j:X\rightarrow X_j$ が連続となるような $X$ の位相のうち最弱のものとして特徴付けられる。$\mathcal{O}$ を $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相と言う。
$X$ に $(f_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ から誘導される始位相を入れる。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $x_{\lambda}\rightarrow x$.
- $(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $f_j(x_{\lambda})\rightarrow f_j(x)$.
始位相の定義より各 $f_j\colon X\rightarrow X_j$ は連続であるので、
定理1
より $(1)\Rightarrow(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$を示す。$(2)$ が成り立つとする。始位相の定義より $x$ の任意の近傍 $V$ に対し有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ と開集合 $U_1\subset X_{j_1},\ldots,U_n\subset X_{j_n}$ で、
$$
x\in f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V
$$
なるものが取れる。各 $k\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $U_k$ は $f_{j_k}(x)$ の開近傍であり、$(2)$ が成り立つので、$\lambda_k\in \Lambda$ が存在し、任意の$\lambda\geq\lambda_k$ に対し $f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k$ となる。$\Lambda$ は有向集合なので $\lambda_0\geq\lambda_1,\ldots,\lambda_0\geq \lambda_n$ なる $\lambda_0\in\Lambda$ が取れて、
$$
f_{j_k}(x_{\lambda})\in U_k\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0,\forall k\in \{1,\ldots,n\})
$$
であるから、
$$
x_{\lambda}\in f_{j_1}^{-1}(U_1)\cap\ldots \cap f_{j_n}^{-1}(U_n)\subset V\quad (\forall \lambda\geq\lambda_0)
$$
である。よって $x_{\lambda}\rightarrow x$ が成り立つ。
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し位相空間 $X_j$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$ から $X_j$ 上への自然な射影 $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ が与えられているとする。$(\pi_j\colon X\rightarrow X_j)_{j\in J}$ が $X$ に誘導する始位相による位相空間 $X$ を、位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間と言う。
位相空間の族 $(X_j)_{j\in J}$ の直積位相空間 $X=\prod_{j\in J}X_j$ を考え、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ とする。$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、次は互いに同値である。
- $(1)$ $x_{\lambda}\rightarrow x$.
- $(2)$ 任意の $j\in J$ に対し $\pi_j(x_{\lambda})\rightarrow \pi_j(x)$.
直積位相空間の定義と 命題1 による。
コンパクト空間の直積位相空間はコンパクト空間である。
$(X_j)_{j\in J}$ をコンパクト空間の族とし、$X=\prod_{j\in J}X_j$ をその直積位相空間、各 $j\in J$ に対し $X$から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j:X\rightarrow X_j$ とする。$X$ がコンパクト空間であることを示すには、 定理1 より、 $X$ の任意の普遍ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が収束することを示せばよい。各 $j\in J$ に対し $(\pi_j(x_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}$ は コンパクト空間 $X_j$ の普遍ネットである（容易に確かめられる）からある $y_j\in X_j$ に収束する。そこで $y=(y_j)_{j\in J}\in X$ とおけば、 命題2 より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $y$ に収束する。よって $X$ はコンパクトである。
参考文献
関連項目
参考文献
