フィルターによる位相空間論1：フィルターの定義
1. フィルターの定義
編集上の案内： 対応する別の定式化は ネットによる位相空間論1：ネットの定義 を参照。
集合族 $\mathcal{F}$ が以下を満たすとき、有限交叉的であるといい、有限交叉的な集合族を 有限交叉族 という。
- 任意の有限個の $F_0, \cdots , F_{n-1}\in\mathcal{F}$ について、 $F_0\cap F_1 \cdots \cap F_{n-1}\neq\emptyset$.
$X$ を集合とする。$\mathcal{F}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき、$\mathcal{F}$ を集合 $X$ 上の（真の）フィルターと呼ぶ。
- $(1)$ $X\in\mathcal{F}$ かつ $\emptyset \notin \mathcal{F}$.
- $(2)$ 任意の $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ に対し、$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
- $(3)$ 任意の $F\in \mathcal{F}$ と $F\subset G\subset X$ なる任意の $G$ に対し、$G\in \mathcal{F}$.
- 無限集合 $X$ の補有限（注：補集合が有限集合になること）部分集合全体はフィルターである、これを Fréchet フィルターという。
- 位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍全体 $\mathcal{N}_x$ はフィルターである（注：近傍系または近傍フィルターと呼ばれる）。
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ について、包含関係 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ が成り立つとき、$\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の細分という。
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ について以下が成り立つとき、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立しているという。
- 任意の $F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}$ にたいして、 $F\cap G\neq \emptyset$.
集合 $X$ 上の空でない有限交叉族 $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ が与えられたとき、$\langle\mathcal{F}\rangle\colon =\{G\subseteq X | $ ある有限個の $F_0,\cdots ,F_{n-1}\in\mathcal{F}$ が存在して、$F_0\cap F_1\cap\cdots\cap F_{n-1}\subseteq G\}$ はフィルターになる。$\langle\mathcal{F}\rangle$ を $\mathcal{F}$ が生成するフィルターという。 $\langle\mathcal{F}\rangle$ は $\mathcal{F}$ の細分となる最小のフィルターである。
特に点 $x\in X$ について $\langle\{\{x\}\}\rangle$ を $x$ が生成する単項フィルターという。
$X$ を集合、$A$ を $X$ の部分集合、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルターとする。
このときもし、$A\in\mathcal{F}$ なら $\mathcal{F}$ の $A$ への制限 $\{F\cap A | F\in\mathcal{F}\}$ は $A$ 上のフィルターになる。さらに、$A$ 上のフィルター $\mathcal{G}$ のXへの拡張、$\{F\subseteq X | $ ある $G\in\mathcal{G}$ があって、$G\subseteq F\}$ は $X$ 上のフィルターとなる。制限と拡張は互いに逆写像であり、$A\in\mathcal{F}$ となる $X$ 上のフィルター全体と、$A$ 上のフィルター全体の間に全単射を定義している。以降 $A\in\mathcal{F}$ を単に「 $\mathcal{F}$ は $A$ 上のフィルター」といい、$\mathcal{F}$ とその制限を同一視する。
フィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset 2^X$ にたいし以下の (1)、(2) は同値。
- $(1)$ $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立している.
- $(2)$ $\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ は共通の細分を持つ.
$(1)\Rightarrow (2)$
フィルター $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ は両立しているとする。このとき $\mathcal{F}\cup\mathcal{G}$ は有限交叉的なので、フィルター $\langle\mathcal{F}\cup\mathcal{G}\rangle$ が存在（注：$\langle\mathcal{F}\cup\mathcal{G}\rangle =\{F\cap G | F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}\}$）。これは $\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ の共通の細分である.
$(2)\Rightarrow (1)$
$\mathcal{F}$ 、$\mathcal{G}$ は共通の細分を持つとし、それを $\mathcal{H}$ とおく。このとき $F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}$ を任意に取ると、細分の定義から $F, G\in\mathcal{H} $ となる。$\mathcal{H}$ はフィルターなので、$F\cap G\in\mathcal{H} $ となり $F\cap G\neq\emptyset$.
両立するフィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}\subseteq 2^X$ にたいし、$\mathcal{F}\wedge\mathcal{G}$ を次のように定義する。
- $\mathcal{F}\wedge\mathcal{G}\colon =\{F\cap G | F\in\mathcal{F}, G\in\mathcal{G}\}$
これは $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ の共通するの最小の細分である。
自分自身以外の細分を持たないフィルターを超フィルターという。また単項フィルターでない超フィルターを非単項超フィルターまたは自由な超フィルターという.
フィルター $\mathcal{U}\subseteq 2^X$ について以下は同値。
- $(1)$ $\mathcal{U}$ は超フィルター.
- $(2)$ 任意の $F\cup G\in\mathcal{U}$ にたいし、$F\in\mathcal{U}$ または $G\in\mathcal{U}$.
- $(3)$ 任意の $A\subseteq X$ にたいし、$A\in\mathcal{U}$ または $(X\setminus A)\in\mathcal{U}$.
- $(1)\Rightarrow(2)$
$\mathcal{U}\subseteq 2^X$ を超フィルター とし、$(2)$の対偶を示す。$F\notin\mathcal{U}$ かつ $G\notin\mathcal{U}$ とする。$\mathcal{U}$ の細分は超フィルターの定義からそれ自身しかないが、$F\notin\mathcal{U}$ からそのようなものは $\langle\{F\}\rangle$ の細分となり得ない。 補題1 から $\langle\{F\}\rangle$ と $\mathcal{U}$ は両立しない。このことより、ある $U\in\mathcal{U}$ が存在して、$F\cap U=\emptyset$。同様に、ある $V\in\mathcal{U}$ が存在して、$G\cap V=\emptyset$。このことから $(F\cup G)\cap(U\cap V)=\emptyset$ となる、もし $F\cup G\in\mathcal{U}$ なら $\emptyset\in\mathcal{U}$ となって矛盾。よって $F\cup G\notin\mathcal{U}$。 - $(2)\Rightarrow(3)$ $F=A, G=X\setminus A$ とすれば良い。
- $(3)\Rightarrow(1)$
$\mathcal{U}\subseteq 2^X$ を $(3)$ を満たすフィルターとする。 $\mathcal{F}$ を $\mathcal{U}$ の細分とする。$F\in\mathcal{F}$ につてフィルターの定義から $X\setminus F\notin\mathcal{F}$ が成り立つ。$\mathcal{F}$ は $\mathcal{U}$ の細分なので、$X\setminus F\notin\mathcal{U}$。仮定から、$F\in\mathcal{U}$ となり $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{U}$。以上から $\mathcal{U}$ は超フィルター。
任意のフィルターにたいし、その細分となる超フィルターが存在する。
$\mathcal{F}$ を $X$ の上のフィルターとする。$\mathcal{F}$ の細分全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。よってZornの補題より $\mathcal{F}$ の細分で、集合の包含関係による順序に関して極大なものが取れる。それを $\mathcal{U}$ とする。$\mathcal{G}$ を $\mathcal{U}$ の細分とする。このとき $\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ の細分でもある。よって $\mathcal{U}$ の極大性から $\mathcal{G} =\mathcal{U}$ となり、$\mathcal{U}$ は $\mathcal{F}$ の細分となる超フィルター。
$X, Y$ を集合、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とするとき、$f[\mathcal{F}]\colon =\{G\subseteq Y | f^{-1}(G)\in\mathcal{F}\}$ は $Y$ 上のフィルターである。$f[\mathcal{F}]$ を $\mathcal{F}$ の $f$ による像という。
$X, Y$ を集合、$\mathcal{U}$ を $X$ 上の超フィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とするとき、$\mathcal{U}$ の $f$ による像 $f[\mathcal{U}]$ は $Y$ 上の超フィルター。
$\mathcal{U}$ を $X$ 上の超フィルター、$f\colon X\to Y$ を写像とする。 $A\cup B\in f[\mathcal{U}]$ となる $A,B\subseteq Y$ をとる。このとき、 $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=f^{-1}(A\cup B)\in\mathcal{U}$ となる。 命題2 より $f^{-1}(A)\in\mathcal{U}$ または、$ f^{-1}(B)\in \mathcal{U}$ となり、フィルターの像の定義から、$A\in f[\mathcal{U}]$ または、$B\in f[\mathcal{U}]$ となる。以上と 命題2 より $f[\mathcal{U}]$ は超フィルター。
参考文献
