ネットによる位相空間論1：ネットの定義
1.ネットの定義
編集上の案内： 対応する別の定式化は フィルターによる位相空間論1：フィルターの定義 を参照。
$(\Lambda,\leq)$ を空でない前順序集合とする。任意の $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$ に対し、$\lambda_3\in \Lambda$ で$\lambda_1\leq \lambda_3$ かつ $\lambda_2\leq \lambda_3$ を満たすものが存在するとき、$(\Lambda,\leq)$ を有向集合と言う。
- 自然数全体 $\mathbb{N}$ や整数全体 $\mathbb{Z}$ は通常の順序により有向集合である。
- 位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍全体は集合の逆包含関係による順序により有向集合である。
$X$ を集合、$\Lambda$ を有向集合とする。$\Lambda$ 上で定義され、$X$ に値を取る写像 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\colon \Lambda\ni\lambda\mapsto x_{\lambda}\in X$ を、$\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットと言う。
自然数全体 $\mathbb{N}$ によって添字付けられたネットのことを点列と言う。
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $\Lambda$ によって添字付けられた $X$ のネットとする。有向集合 $M$ と写像 $\varphi\colon M\rightarrow \Lambda$ が、
$$
\forall \lambda_0\in \Lambda, \exists \mu_0\in M \text{ s.t. } \forall \mu\geq\mu_0,\varphi(\mu)\geq \lambda_0
$$
を満たすとき、$X$ のネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットと言う。
$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。$k\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ が $k(1)< k(2)<\ldots < k(n)< k(n+1)<\ldots$ を満たすとき、$X$ の点列 $(x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ を $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ の部分列と言う。
点列の部分列は部分ネットであるが、点列の部分ネットは部分列であるとは限らない。実際、点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、
$$
k(1)=k(2)< k(3)=k(4)<\ldots< k(2n-1)=k(2n)<\ldots
$$
となるように $k\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ を定義すると、 $(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分ネットであるが、$(x_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の部分列ではない。
集合 $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ と部分集合 $A\subset X$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $A$. $\Leftrightarrow$ $\exists \lambda_0\in \Lambda$ s.t. $\forall \lambda\geq \lambda_0$, $x_{\lambda}\in A$.
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is frequently in $A$. $\Leftrightarrow$ $\forall \lambda\in \Lambda$, $\exists\lambda_0 \geq \lambda$ s.t. $x_{\lambda_0}\in A$.
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネット、$\mathcal{B}\subset 2^X$ を集合の逆包含関係による順序によって有向集合であるものとする。そして任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is frequently in $B$.
が成り立つとする。このとき $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ で任意の $B\in \mathcal{B}$ に対し、 - $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ is eventually in $B$.
となるものが存在する。
$$
M:=\{(\lambda,B): x_{\lambda}\in B\}
$$
とおき、$M$における前順序$\leq$を、
$$
(\lambda_1,B_1)\leq (\lambda_2,B_2)\quad\overset{\text{定義}}{\Longleftrightarrow}\quad
\lambda_1\leq \lambda_2,\quad B_1\supset B_2
$$
として定義する。このとき$M$が有向集合であることを示す。任意の $(\lambda_1,B_1),(\lambda_2,B_2)\in M$ を取る。$\Lambda$, $\mathcal{B}$は共に有向集合であるから、$\lambda_{2.5}\geq \lambda_1,\lambda_2$、$B_3\subset B_1\cap B_2$ なる $\lambda_{2.5}\in \Lambda$ と $B_3\in \mathcal{B}$ が取れる。$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ はfrequently in $B_3$ であるから、$\lambda_3\geq \lambda_{2.5}$ で$x_{\lambda_3}\in B_3$ なるものが取れる。よって $(\lambda_3,B_3)\in M$ であり、$(\lambda_3,B_3)\geq (\lambda_1,B_1), (\lambda_2,B_2)$ であるから $M$ は有向集合である。$\varphi:M\rightarrow \Lambda$ を $\varphi(\lambda,B)=\lambda$ として定義する。$(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットであることを示す。任意の $\lambda_0\in \Lambda$ と任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $\lambda_0'\geq \lambda_0$, $x_{\lambda_0'}\in B_0$ なる $\lambda_0'\in \Lambda$ を取る。$\mu_0=(\lambda_0',B_0)\in M$ とおけば任意の $\mu\geq \mu_0$ に対し $\varphi(\mu)\geq \varphi(\mu_0)=\lambda_0'\geq \lambda_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$は$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットである。任意の $B_0\in \mathcal{B}$ に対し $x_{\lambda_0}\in B_0$ なる $\lambda_0\in \Lambda$を取り, $\mu_0=(\lambda_0,B_0)\in M$ とおくと, 任意の$\mu=(\lambda,B)\geq \mu_0$ に対し $x_{\varphi(\mu)}=x_{\lambda}\in B\subset B_0$ であるから $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu\in M}$ はeventually in $B_0$ である。
$(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ を $X$ のネットとする。任意の $A\subset X$ に対し、
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $A$.
- $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ is eventually in $X\backslash A$.
のうちのいずれかが成り立つとき、 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の普遍ネットと言う。
ネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ の部分ネットで普遍ネットであるものを $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ の普遍部分ネットと言う。
任意のネットに対し普遍部分ネットが存在する。
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のネットとする。$\mathcal{F}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき、$\mathcal{F}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターと呼ぶこととする。
-
- $\mathcal{F}\neq \emptyset$.
-
- 任意の $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ に対し、$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
-
- 任意の $F\in \mathcal{F}$ と $F\subset G\subset X$ なる任意の $G$ に対し、$G\in \mathcal{F}$.
-
- 任意の $F\in \mathcal{F}$ に対し、$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F$.
$\{X\}$ は$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであるから $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターは少なくとも $1$ つは存在する。そして
$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルター全体は集合の包含関係による順序によって帰納的順序集合である。実際、$\{\mathcal{F}_j\}_{j\in J}$ を $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターからなる全順序集合とすると、$\bigcup_{j\in J}\mathcal{F}_j$ も$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターである。よってZornの補題より $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターで、集合の包含関係による順序に関して極大なものが取れる。それを ${\mathcal F}$ とする。 補題1 より任意の $A\subset X$ に対し、$A\in {\mathcal F}$ か $X\backslash A\in {\mathcal F}$ が成り立つことを示せば証明は終わる。${\mathcal F}$ が $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであることから次のいずれかが成り立つ。
- 任意の $F\in \mathcal{F}$ に対し、$(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F$.
- (a) $\forall F\in \mathcal{F}$, $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F\cap A$.
- (b) $\forall F\in \mathcal{F}$, $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ is frequently in $F\backslash A$.
実際、(a),(b)のいずれも成り立たないとすると $F_1,F_2\in \mathcal{F}$ と $\lambda_0\in \Lambda$ が存在し任意の $\lambda\geq \lambda_0$ に対し$x_{\lambda}\notin F_1\cap A$ かつ $x_{\lambda}\notin F_2\backslash A$ となる。しかし $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$ であるからフィルタの性質$(4)$ よりある $\lambda\geq \lambda_0$ に対し $x_{\lambda}\in F_1\cap F_2$ となる。よって $x_{\lambda}\in F_1\cap A$か$x_{\lambda}\in F_2\backslash A$となるので矛盾する。ゆえに(a),(b)のうちいずれかが成り立つ。
(a) が成り立つとき、
$$ \mathcal{F}_1=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{ s.t } F\cap A\subset E\} $$
とおくと、${\mathcal F}_1$ は ${\mathcal F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$A\in {\mathcal F}_1$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より ${\mathcal F}_1={\mathcal F}$ であるから $A\in \mathcal{F}$ である。(b)が成り立つとき、
$$ {\mathcal F}_2=\{E\subset X: \exists F\in \mathcal{F} \text{ s.t. } F\backslash A\subset E\} $$
とおくと、$\mathcal{F}_2$ は $\mathcal{F}$ を含む $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ に対するフィルターであり、$X\backslash A\in \mathcal{F}_2$ である。よって $\mathcal{F}$ の極大性より $\mathcal{F}_2=\mathcal{F}$ であるから $X\backslash A\in \mathcal{F}$ である。
参考文献
