解析学

Hilbert空間上の作用素論

Hilbert空間上の作用素論の表紙

概要

有界・非有界作用素、射影値測度、スペクトル定理、極分解、直和・テンソル積、コンパクト作用素、摂動論、作用素イデアル、von Neumann環、解析ベクトルを体系的に扱う。

目次

  1. 第1章 有界作用素と作用素位相

    Hilbert空間上の作用素論1：有界線形作用素の特徴付け、Hilbert空間上の作用素論2：WOT・SOTと射影作用素を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論1：有界線形作用素の特徴付け
    2. Hilbert空間上の作用素論2：WOT・SOTと射影作用素

  2. 第2章 非有界作用素とスペクトル

    Hilbert空間上の作用素論3：非有界線形作用素の基礎、Hilbert空間上の作用素論4：対称作用素・自己共役作用素・Cayley変換、Hilbert空間上の作用素論5：閉作用素のスペクトルとレゾルベントを扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論3：非有界線形作用素の基礎
    2. Hilbert空間上の作用素論4：対称作用素・自己共役作用素・Cayley変換
    3. Hilbert空間上の作用素論5：閉作用素のスペクトルとレゾルベント

  3. 第3章 射影値測度

    Hilbert空間上の作用素論6：射影値測度による積分、Hilbert空間上の作用素論7：Radon射影値測度と表現定理を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論6：射影値測度による積分
    2. Hilbert空間上の作用素論7：Radon射影値測度と表現定理

  4. 第4章 スペクトル測度と汎関数計算

    Hilbert空間上の作用素論8：スペクトル測度とBorel汎関数計算を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論8：スペクトル測度とBorel汎関数計算

  5. 第5章 極分解

    Hilbert空間上の作用素論9：閉作用素の極分解を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論9：閉作用素の極分解

  6. 第6章 掛け算作用素

    Hilbert空間上の作用素論10：掛け算作用素を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論10：掛け算作用素

  7. 第7章 直和

    Hilbert空間上の作用素論11：直和Hilbert空間上の作用素を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論11：直和Hilbert空間上の作用素

  8. 第8章 テンソル積

    Hilbert空間上の作用素論12：テンソル積Hilbert空間上の作用素を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論12：テンソル積Hilbert空間上の作用素

  9. 第9章 コンパクト作用素

    Hilbert空間上の作用素論13：コンパクト作用素を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論13：コンパクト作用素

  10. 第10章 自己共役作用素のスペクトルと摂動

    Hilbert空間上の作用素論14：離散・真性スペクトルとmin–max原理、Hilbert空間上の作用素論15：加藤–Rellichの定理と真性スペクトルを扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論14：離散・真性スペクトルとmin–max原理
    2. Hilbert空間上の作用素論15：加藤–Rellichの定理と真性スペクトル

  11. 第11章 作用素イデアルとSchrödinger作用素

    Hilbert空間上の作用素論16：トレースクラスとHilbert–Schmidtクラス、Hilbert空間上の作用素論17：Schrödinger作用素への応用を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論16：トレースクラスとHilbert–Schmidtクラス
    2. Hilbert空間上の作用素論17：Schrödinger作用素への応用

  12. 第12章 von Neumann環

    Hilbert空間上の作用素論18：作用素位相とvon Neumann環、Hilbert空間上の作用素論19：von Neumann環とBorel汎関数計算を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論18：作用素位相とvon Neumann環
    2. Hilbert空間上の作用素論19：von Neumann環とBorel汎関数計算

  13. 第13章 反線形作用素と解析ベクトル

    Hilbert空間上の作用素論20：反線形作用素、Hilbert空間上の作用素論21：解析ベクトルとNelsonの定理を扱う。

    $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
    1. Hilbert空間上の作用素論20：反線形作用素
    2. Hilbert空間上の作用素論21：解析ベクトルとNelsonの定理