Hilbert空間上の作用素論2：WOT・SOTと射影作用素

$T$ を $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のWOT閉包の元とすると、$\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）のネット $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ でWOTで $T$ に収束するものが取れる（ ネットによる位相空間論の命題2.4 ）。 命題2 より任意の $v\in \mathcal{H}$、任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し $(v\mid T_{\lambda}v)\in\mathbb{R}$（resp. $(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）であるから、$(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{R}$（resp. $(v\mid Tv)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\in [0,\infty)$）である。よって 命題2 より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（resp. $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）であるから $\mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$（rsep. $\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$）はWOTに関して閉である。SOTとノルム位相はWOTより強いので、WOTに関して閉であることは、SOTとノルム位相に関しても閉であることを意味する。

任意の $v\in\mathcal{H}$ に対し、$( (v\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットであるから上限に収束する。すなわち、
$$ \lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v) $$
が成り立つ。偏極恒等式より任意の $u,v\in\mathcal{H}$ に対し、
$$ (u\mid T_{\lambda}v)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^ku+v\mid T_{\lambda}(i^ku+v))\quad(\forall \lambda\in\Lambda) $$
であるから、$\mathbb{C}$ のネット $( (u\mid T_{\lambda}v))_{\lambda\in\Lambda}$ は収束する。そこで、
$$ \Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \lim_{\lambda\in\Lambda}(u\mid T_{\lambda}v)\in \mathbb{C} $$
とおくと、$\Phi$ は準双線形汎関数（ 定義3 ）であり、
$$ \lvert\Phi(u,v)\rvert=\lim_{\lambda\in\Lambda}\lvert (u\mid T_{\lambda}v)\rvert\leq M\| u\|\| v\|\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
より $\Phi$ は有界であり、そのノルムは $\|\Phi\|\leq M$ を満たす。よって 定理1 より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$ (u\mid Tv)=\Phi(u,v)\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}),\quad \| T\|=\|\Phi\|\leq M $$
を満たすものが定まる。
$$ (v\mid Tv)=\Phi(v,v)=\lim_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=\sup_{\lambda\in\Lambda}(v\mid T_{\lambda}v)\quad(\forall v\in\mathcal{H}) $$
であるから、 命題2 より $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ であり、$T\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ である。また $S\geq T_{\lambda}$ $(\forall \lambda\in\Lambda)$ なる任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_{\rm sa}$ に対し、
$$ (v\mid Sv)\geq\sup_{\lambda}(v\mid T_{\lambda}v)=(v\mid Tv)\quad(\forall v\in\mathcal{H}) $$
であるから、$S\geq T$ である。よって $T=\sup_{\lambda\in\Lambda}T_{\lambda}$ である。後は $(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が $T$ にSOTで収束することを示せばよい。 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題7.12 より、
$$ 0\leq T-T_{\lambda}\leq \| T-T_{\lambda}\|\leq 2M\quad(\forall\lambda\in\Lambda) $$
であり、
$$ 0\leq (T-T_{\lambda})^2\leq \sqrt{T-T_{\lambda}}(T-T_{\lambda})\sqrt{T-T_{\lambda}}\leq 2M(T-T_{\lambda})\quad(\forall \lambda\in\Lambda) $$
である。よって任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \| Tv-T_{\lambda}v\|^2=(v\mid(T-T_{\lambda})^2v)\leq 2M(v\mid(T-T_{\lambda})v)=2M( (v\mid Tv)-(v\mid T_{\lambda}v))\rightarrow0 $$
であるから、$(T_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $T$ にSOTで収束する。

$P^2=P$ が成り立つことを示せばよい。任意の $\lambda_0\in\Lambda$ を取り固定する。任意の $\lambda\geq\lambda_0$ に対し $P_{\lambda}\geq P_{\lambda_0}$ であるから、 Banach環とC*-環のスペクトル理論の命題8.2 の $(3)$ より、
$$ P_{\lambda_0}=P_{\lambda_0}P_{\lambda}\quad(\forall \lambda\geq\lambda_0) $$
である。$(P_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ は $P$ にSOT収束するから、
$$ P_{\lambda_0}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda_0}P_{\lambda}v=P_{\lambda_0}Pv\quad(\forall v\in\mathcal{H}) $$
である。$\lambda_0\in\Lambda$ は任意であるから $P_{\lambda}v=P_{\lambda}Pv$ $(\forall\lambda\in\Lambda,\forall v\in\mathcal{H})$ であるので、
$$ Pv=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}v=\lim_{\lambda\in\Lambda}P_{\lambda}Pv=P^2v\quad(\forall v\in\mathcal{H}) $$
である。ゆえに $P=P^2$ であるから $P$ は射影作用素である。