Hilbert空間上の作用素論7：Radon射影値測度と表現定理

Banach環とC*-環のスペクトル理論の定理10.1 より $\Phi$ はノルム減少であるから任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ C_0(X)\ni f\mapsto (u\mid \Phi(f)v)\in \mathbb{C} $$
はノルムが $\| u\|\| v\|$ 以下の有界線形汎関数である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理10 ）より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し複素数値Radon測度 $\nu_{u,v}\in M(X)$ で、
$$ \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)\quad(\forall f\in C_0(X))\quad\quad(*) $$
を満たすものが定まり、
$$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \nu_{u,v}\in M(X) $$
はノルムが $1$ 以下の有界準双線形写像である。今、$X\rightarrow\mathbb{C}$ の有界Borel関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れた可換 $C^*$-環を $\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ とおくと、任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)$ に対し、
$$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
はノルムが $f$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、 定理1 より $\Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$ \int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Psi(f)v)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(**) $$
を満たすものが定まり、$\| \Psi(f)\|\leq \| f\|$ が成り立つ。こうしてノルム減少な線形写像
$$ \Psi:\mathcal{L}_{\rm b}(X,{\cal B}_X)\ni f\mapsto \Psi(f)\in \mathbb{B}(\mathcal{H}) $$
が定義できる。$(*),(**)$ より、
$$ \Psi(f)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X)) $$
である。今、$\Psi$ が $*$-環準同型写像であることを示す。任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (v\mid \Phi(f)v)=(\Phi(\sqrt{f})v\mid \Phi(\sqrt{f})v)\geq0\quad(\forall f\in C_{c,+}(X)) $$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理15 ）より $\nu_{v,v}$ は非負値測度である。よって任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (v\mid \Psi(\overline{f})v)=\int_{X}\overline{f(x)}d\nu_{v,v}(x)=\overline{\int_{X}f(x)d\nu_{v,v}(x)}=\overline{(v\mid \Psi(f)v)}=(v\mid \Psi(f)^*v) $$
であるから、偏極恒等式より、
$$ \Psi(\overline{f})=\Psi(f)^*\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)) $$
が成り立つ。ゆえに $\Psi$ は対合を保存する。$\Psi$ が乗法を保存すること、すなわち、
$$ \Psi(fg)=\Psi(f)\Psi(g)\quad(\forall f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X))\quad\quad(***) $$
が成り立つことを示す。まず $\Phi\colon C_0(X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $*$-環準同型写像であるので任意の $f,g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(fg)v)=(u\mid \Phi(f)\Phi(g)v)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x) $$
である。よって任意の $g\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (\nu_{u,v})_g\colon \mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
なる $(\nu_{u,v})_g\in M(X)$（$(\nu_{u,v})_g$ が複素数値Radon測度であることについては 命題14 の $(3)$ を参照）を考えれば、任意の $f\in C_0(X)$ に対し、 命題12 より、
$$ \int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x) $$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理15 ）より、
$$ (\nu_{u,v})_g=\nu_{u,\Phi(g)v}\quad(\forall g\in C_0(X),\forall u,v\in \mathcal{H})\quad\quad(****) $$
が成り立つ。次に任意の $f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$, $u,v\in {\cal H}$ に対し、
$$ (\nu_{u,v})_f:\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}f(x)d\nu_{u,v}(x)\in \mathbb{C} $$
なる $(\nu_{u,v})_f\in M(X)$ を考えると、 命題12 と $(****)$ より、任意の $g\in C_0(X)$ に対し、
$$ \begin{aligned} \int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d(\nu_{u,v})_g(x) =\int_{X}f(x)d\nu_{u,\Phi(g)v}(x) =(u\mid \Psi(f)\Phi(g)v)\\ &=(\Psi(f)^*u\mid \Phi(g)v)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x) \end{aligned} $$
が成り立つ。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理15 ）より、
$$ (\nu_{u,v})_f=\nu_{\Psi(f)^*u,v}\quad(\forall f\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathfrak{M}),\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
が成り立つ。ゆえに任意の $f,g\in \mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)$、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、 命題12 より、
$$ \begin{aligned} (u\mid \Psi(fg)v)&=\int_{X}f(x)g(x)d\nu_{u,v}(x)=\int_{X}g(x)d(\nu_{u,v})_f(x)=\int_{X}g(x)d\nu_{\Psi(f)^*u,v}(x)\\ &=(\Psi(f)^*u\mid\Psi(g)v)=(u\mid\Psi(f)\Psi(g)v) \end{aligned} $$
が成り立つので $(***)$ が成り立つ。これより $\Psi\colon\mathcal{L}_{\rm b}(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow \mathbb{B}(\mathcal{H})$ は*-環準同型写像である。そして、
$$ \Psi(1)\Phi(f)v=\Psi(1)\Psi(f)v=\Psi(f)v=\Phi(f)v\quad(\forall f\in C_0(X),\forall v\in \mathcal{H}) $$
であり、$\Phi(C_0(X)){\cal H}$ は $\mathcal{H}$ で稠密であるので、$\Psi(1)=1$ である。 任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $E(B)\colon=\Psi(\chi_B)$ とおけば、
$$ E(B)=\Psi(\chi_B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})\quad(\forall B\in\mathcal{B}_X),\quad E(X)=1 $$
であり、
$$ (u\mid E(B)v)=(u\mid \Psi(\chi_B)v)=\nu_{u,v}(B)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_X,\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
であるから $E\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto E(B)\in \mathbb{P}(\mathcal{H})$ はRadon射影値測度であり、任意の $f\in C_0(X)$、$u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \left(u\mid \int_{X}f(x)dE(x)v\right)=\int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=\int_{X}f(x)d\nu_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v) $$
であるので、
$$ \int_{X}f(x)dE(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X)) $$
が成り立つ。これで存在が示せた。一意性を示す。$E'\colon\mathcal{B}_X\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ もRadon射影値測度であり、
$$ \int_{X}f(x)dE'(x)=\Phi(f)\quad(\forall f\in C_0(X)) $$
を満たすならば、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \int_{X}f(x)dE_{u,v}(x)=(u\mid \Phi(f)v)=\int_{X}f(x)dE'_{u,v}(x)\quad(\forall f\in C_0(X)) $$
であるから、Riesz-Markov-角谷の表現定理（ 定理15 ）より $E_{u,v}=E'_{u,v}$ である。よって $E=E'$ である。これで一意性が示せた。