Hilbert空間上の作用素論21：解析ベクトルとNelsonの定理

• $(1)$　$\lvert z\rvert<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、
  $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^n(u+v)\|\lvert z\rvert^n \leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^nu\| \lvert z\rvert^n+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^nv\|\lvert z\rvert^n<\infty $$
  であるから、 命題1 より $\lvert z\rvert\leq R_T(u+v)$ である。よって ${\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v)$ が成り立つ。
• $(2)$　$\lvert z\rvert< R_T(v)$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し 命題1 より、
  $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^n\alpha v\|\lvert z\rvert^n =\lvert \alpha\rvert\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^nv\| \lvert z\rvert^n<\infty $$
  であるから、$\lvert z\rvert\leq R_T(\alpha v)$ である。よって $R_T(v)\leq R_T(\alpha v)$ が成り立つ。またこれより $R_T(\alpha v)\leq R_T(\alpha^{-1}\alpha v)=R_T(v)$ も成り立つので $R_T(\alpha v)=R_T(v)$ が成り立つ。
• $(3)$　 命題3 より $\mathcal{H}$ の列 $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $((n+1)\frac{1}{(n+1)!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}=(\frac{1}{n!}T^{n+1}v)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(Tv)$ と等しい。よって $R_T(v)=R_T(Tv)=R_T(T^2v)=\cdots$ であるから任意の $k\in \mathbb{N}$ に対し $R_T(v)=R_T(T^kv)$ が成り立つ。
• $(4)$　$T$ の解析ベクトル全体を、
  $$ \mathcal{A}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)>0\right\} $$　
  とおく。任意の $u,v\in \mathcal{A}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
  $$ 0<{\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad 0< R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad 0< R_T(v)=R_T(Tv) $$
  であるから $u+v,\alpha v,Tv\in \mathcal{A}_T$ である。よって $\mathcal{A}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。また $T$ の全解析ベクトル全体を、
  $$ \mathcal{TA}_T\colon=\left\{v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n):R_T(v)=\infty\right\} $$
  とおくと、任意の $u,v\in \mathcal{TA}_T$ と任意の $\alpha\in\mathbb{C}$ に対し $(1),(2),(3)$ より、
  $$ \infty={\rm min}(R_T(u),R_T(v))\leq R_T(u+v),\quad \infty=R_T(v)\leq R_T(\alpha v),\quad \infty=R_T(v)=R_T(Tv) $$
  であるから $u+v,\alpha v, Tv\in \mathcal{TA}_T$ である。よって $\mathcal{TA}_T$ は $T$ の作用に対して不変な $\mathcal{H}$ の線形部分空間である。

$$ D\colon=\left\{v\in \mathcal{H}:\exists\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(e^{itT}-1)v\in \mathcal{H}\right\},\quad Sv\colon=\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow0}\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\quad(\forall v\in D) $$
とおく。このとき $S\colon D\ni v\mapsto Sv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の線形作用素である。$E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ を $T$ のスペクトル測度とすると、任意の $v\in D(T)$ に対し微積分学の基本定理とLebesgue優収束定理より、
$$ \begin{aligned} &\left\|\frac{1}{it}(e^{itT}-1)v-Tv\right\|^2 =\int_{\sigma(T)}\left\lvert \frac{1}{it}(e^{it\lambda}-1)-\lambda \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\\ &=\int_{\sigma(T)}\left\lvert \lambda\int_{0}^{1}(e^{i\theta t\lambda}-1)d\theta \right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(t\rightarrow0) \end{aligned} $$
であるから $v\in D$ であり、$Tv=Sv$ である。よって $T\subset S$である。Borel汎関数計算の基本性質（ 命題4 ）より $(e^{itT})^*=e^{-itT}$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ であるので、任意の $u,v\in D$ に対し、
$$ (u\mid Sv)=\lim_{t\in \mathbb{R}, t\rightarrow0}\left(u\mid \frac{1}{it}(e^{itT}-1)v\right) =\lim_{t\in\mathbb{R}, t\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{-it}(e^{-itT}-1)u\mid v\right) =(Su\mid v) $$
である。よって $S$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素である。$T$ が自己共役作用素で $S$ が対称作用素であるから、$T\subset S\subset S^*\subset T^*=T$ である。ゆえに $T=S$ が成り立つ。

• $(1)$　 命題1 より $T$ の全解析ベクトル全体は $D(T)$ の線形部分空間である。$T$ のスペクトル測度 $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow\mathbb{P}(\mathcal{H})$ と 任意の $v\in D(T)$ に対し、
  $$ v_m\colon =E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)\quad(\forall m\in \mathbb{N}) $$
  とおくと、任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\| T^nv_m\| \lvert z\rvert^n\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}m^n\| v\| \lvert z\rvert^n<\infty\quad(\forall z\in \mathbb{C}) $$
  であるから、 命題1 より $(\frac{1}{n!}\| T^nv_m)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径は $\infty$ なので、$v_m$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $v_m=E^T([-m,m]\cap \sigma(T))v\rightarrow v$ $(m\rightarrow\infty)$ であり、Lebesgue優収束定理より、
  $$ \| Tv-Tv_m\|^2=\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda-\lambda\chi_{\lvert {\rm id}\rvert\leq m}(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(m\rightarrow\infty) $$
  であるから、$(v,Tv)=\lim_{m\rightarrow\infty}(v_m,Tv_m)$ が成り立つ。よって $T$ の全解析ベクトル全体は $T$ の芯である。
• $(2)$　$\lvert z\rvert<\frac{R_T(v)}{2}$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対しHölderの不等式より、
  $$ \begin{aligned} &\int_{\sigma(T)}\lvert e^{z\lambda}\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\leq \int_{\sigma(T)}e^{2\lvert z\lambda\rvert}dE^T_{v,v}(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda\rvert^ndE^T_{v,v}(\lambda)\\ &\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\left(\int_{\sigma(T)}\lvert \lambda^n\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\sigma(T)}1dE^T_{v,v}(\lambda)\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(2\lvert z\rvert)^n}{n!}\| T^nv\|\| v\|<\infty \end{aligned} $$
  となるから $v\in D(e^{zT})$ であり、Lebesgue優収束定理より、
  $$ \begin{aligned} &\left\| e^{zT}v-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(zT)^nv\right\|^2 =\left\| \left(\int_{\sigma(T)}\left(e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right)dE^T_{v,v}(\lambda)\right)v\right\|^2\\ &=\int_{\sigma(T)}\left\lvert e^{z\lambda}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}(z\lambda)^n\right\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty) \end{aligned} $$
  であるから $(*)$ が成り立つ。
• $(3)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(2)$ より $e^{izT}v=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ であるから、冪級数関数の複素微分可能性（ 定理4 ）より $\mathbb{C}\ni z\mapsto e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間値整関数である。逆に $v\in \mathcal{H}$ に対し $\mathbb{R}\ni t\mapsto e^{itT}v\in \mathcal{H}$ がBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $U\colon \mathbb{C}\ni z\mapsto U(z)\in \mathcal{H}$ に拡張できるとし、$v$ が $T$ の全解析ベクトルであることを示す。
  $$ e^{isT}U(t)=e^{isT}e^{itT}v=e^{i(s+t)T}v=U(s+t)\quad(\forall s,t\in\mathbb{R}) $$
  であるから、任意の $s\in \mathbb{R}$ に対しBanach空間値整関数
  $$ \mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}U(z)\in \mathcal{H},\quad \mathbb{C}\ni z\mapsto U(s+z)\in \mathcal{H} $$
  は $\mathbb{R}$ 上で一致する。よって一致の定理（ 注意 、 定理4 ）より、
  $$ e^{isT}U(z)=U(s+z)\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C}) $$
  が成り立つ。任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し 補題2 より、
  $$ \frac{d}{dz}U(z)=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R},s\rightarrow0}\frac{1}{s}(e^{isT}-1)U(z)=iTU(z) $$
  が成り立つ。今、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \frac{d^n}{dz^n}U(z)=(iT)^nU(z)\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(**) $$
  が成り立つと仮定する。このとき任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $(iT)^n=\int_{\sigma(T)}(i\lambda)^ndE^T(\lambda)$ が閉線形作用素であることと 補題2 より、
  $$ \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}U(z)=\lim_{s\in \mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(U(s+z)-U(z))=\lim_{s\in\mathbb{R}, s\rightarrow0}\frac{1}{s}(iT)^n(e^{isT}-1)U(z)=(iT)^{n+1}U(z) $$
  となるので帰納法より $(**)$ は任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。よって 定理2 より、
  $$ U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}\left(\frac{d^n}{dz^n}U(z)\right)\big|_{z=0}z^n =\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv\quad(\forall z\in \mathbb{C})\quad\quad(***) $$
  が成り立つので、 命題1 より $(\frac{1}{n!}T^nv)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ を係数とする冪級数の収束半径 $R_T(v)$ は $\infty$ であるから $v$ は $T$ の全解析ベクトルである。そして $(***)$ と $(2)$ より、
  $$ U(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(izT)^nv=e^{izT}v\quad(\forall z\in\mathbb{C}) $$
  が成り立つ。
• $(4)$　$v$ が $T$ の全解析ベクトルならば $(3)$ より任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
  $$ \mathbb{C}\ni z\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H},\quad \mathbb{C}\ni z\mapsto e^{i(s+z)T}v\in \mathcal{H} $$
  はそれぞれBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数である。そしてこれらは $\mathbb{R}$ 上で一致するので一致の定理より、
  $$ e^{isT}e^{izT}v=e^{i(s+z)T}v\quad(\forall s\in\mathbb{R},\forall z\in \mathbb{C}) $$
  が成り立つ。よって任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し、$\mathbb{R}\ni s\mapsto e^{isT}e^{izT}v\in \mathcal{H}$ はBanach空間 $\mathcal{H}$ 値整関数 $\mathbb{C}\ni w\mapsto e^{i(w+z)T}v\in \mathcal{H}$ に拡張できるので $(3)$ より $e^{izT}v$ は $T$ の全解析ベクトルであり、任意の $w\in \mathbb{C}$ に対し $e^{iwT}e^{izT}v=e^{i(w+z)T}v$ が成り立つ。

$T$ は対称作用素で $v\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}D(T^n)$ であるから、
$$ (T^nv\mid T^mv)=(T^mv\mid T^nv)\quad(\forall n,m\in\mathbb{Z}_+) $$
が成り立つ。よって、
$$ J_0\colon D_T(v)\ni \sum_{n=0}^{N}\alpha_nT^nv\mapsto \sum_{n=0}^{N}\overline{\alpha_n}T_nv\in \mathcal{H}_T(v) $$
はwell-definedな等長反線形作用素であり、
$$ (J_0u\mid J_0w)=(w\mid u),\quad (u\mid J_0w)=(w\mid J_0u)\quad(\forall u,w\in D_T(v)) $$
が成り立つ。$J_0$ の $\mathcal{H}_T(v)=\overline{D_T(v)}$ 上の等長反線形作用素への拡張を $J\colon \mathcal{H}_T(v)\rightarrow\mathcal{H}_T(v)$ とおくと、
$$ (Ju\mid Jw)=(w\mid u),\quad (u\mid Jw)=(w\mid Ju)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}_T(v)) $$
より $J^*=J, J^2=1$ であるから、$J$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の共役子（ 定義11 ）である。$T_v$ は明らかに $J$ に関して実（ 定義12 ）であるから 定理9 より $T_v$ は自己共役拡張を持つ。$T_v$ が本質的に自己共役であることを示すには、 系 より $T_v$ の自己共役拡張が唯一つであることを示せばよい。そこで $S_1,S_2$ をそれぞれ $T_v$ の自己共役拡張とし、$S_1=S_2$ が成り立つことを示す。任意の $u\in D_T(v)=D(T_v)\subset D(S_1)\cap D(S_2)$ に対し、
$$ S_j^nu=T_v^nu=T^nu\quad(\forall n\in\mathbb{Z}_+,j=1,2) $$
であることと 命題1 より、
$$ R_{S_j}(u)=R_T(u)\geq R_T(v)>0\quad(j=1,2) $$
であるから、 定理3 の $(2)$ より、
$$ e^{itS_j}u=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itS_j)^nu=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{1}{n!}(itT)^nu\quad(\forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)), j=1,2), $$
よって、
$$ e^{itS_1}u=e^{itS_2}u\quad(\forall u\in D_T(v), \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v)))\quad\quad(*) $$
が成り立つ。$t\in \mathbb{R}$ に対し $e^{itS_1}, e^{itS_2}$ はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上のユニタリ作用素であり、$D_T(v)$ は $\mathcal{H}_T(v)$ の稠密部分空間であるから $(*)$ より、
$$ e^{itS_1}=e^{itS_2}\quad( \forall t\in (-2^{-1}R_T(v),2^{-1}R_T(v))) $$
が成り立つ。よって 補題2 より $S_1=S_2$ が成り立つ。ゆえに $T_v$ は本質的に自己共役である。

命題2 と 定理4 より ${\rm Ran}(T\pm i)$ が $\mathcal{H}$ で稠密であることを示せばよい。$0$ ではない任意の $u\in \mathcal{H}$ と任意の $\epsilon\in (0,2\| u\|)$ を取る。仮定より $T$ の解析ベクトル $v$ で、
$$ \| u-v\|<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(*) $$
なるものが取れる。$\epsilon<2\| u\|$ より $v\neq0$ である。よって 補題4 より、
$$ T_v\colon D_T(v)\ni w\mapsto Tw\in \mathcal{H}_T(v) $$
はHilbert空間 $\mathcal{H}_T(v)$ 上の本質的に自己共役な対称作用素である。ゆえに 命題2 と 定理4 より、
$$ \mathcal{H}_T(v)={\rm Ran}(\overline{T_v}\pm i)=\overline{{\rm Ran}(T_v\pm i)} $$
であるから、$v\in \mathcal{H}_T(v)$ に対し $w_{\pm}\in D_T(v)$ で、
$$ \| v-(T_v\pm i)w_{\pm}\|<\frac{\epsilon}{2}\quad\quad(**) $$
を満たすものが取れる。よって $(*),(**)$ より、
$$ \| u-(T\pm i)w_{\pm}\|\leq \| u-v\|+\| v-(T_v\pm i)w_{\pm}\|<\epsilon $$
であるから、${\rm Ran}(T\pm i)$ は $\mathcal{H}$ で稠密である。

$(1)$ より $T|_D\colon D\ni v\mapsto Tv\in \mathcal{H}$ は $\mathcal{H}$ 上の対称作用素であり、$(2)$ より、
$$ (T|_D)^nv=T^nv\quad(\forall v\in D,\forall n\in \mathbb{Z}_+)\quad\quad(*) $$
である。$(*)$ と $(3)$ より、
$$ R_{T|_D}(v)=R_T(v)>0\quad(\forall v\in D) $$
であるから、$D$ の任意の元は対称作用素 $T|_D$ の解析ベクトルである。よってNelsonの解析ベクトル定理（ 定理5 ）より $T|_D$ は本質的に自己共役である。ゆえに、
$$ \overline{T|_D}\subset \overline{T}\subset (\overline{T})^*\subset (\overline{T|_D})^*=\overline{T|_D} $$
であるから $\overline{T}=\overline{T|_D}$ である。よって $T$ は本質的に自己共役であり、$D$ は $\overline{T}$ の芯である。