複素解析の初歩9：複素Banach空間値正則関数
9. 複素Banach空間値正則関数の特徴付け
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とし、曲線 $c_k\colon I_k\rightarrow \mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ の和、$c=c_1+\ldots+c_n$ と、その跡 $c^*=c_1(I_1)\cup\ldots\cup c_n(I_n)$（
定義1
）上で定義された $B$ 値連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ を考える。このとき $I_c(f)\in B$ で、
$$
\varphi\left(I_c(f)\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
を満たすものが唯一つ存在する。そして、
$$
I_c(f)=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\quad\quad(*)
$$
であり（注：ただし $\int_{I_k}f(c_k(t) )c_k'(t)dt$ は連続関数 $I_k\ni t\mapsto f(c_k(t) )c_k'(t)dt\in B$ のRiemann積分（
合成積とFourier変換
の21を参照）であり、Lebesgue測度に関するBochner積分（
定義9
）である。）、
$$
\| I_c(f)\|\leq \ell(c)\underset{z\in c^*}{\rm max}\| f(z)\|\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。ただし $\ell(c)$ は $c$ の長さ（
定義3
）である。
一意性はノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（
定義1
を参照）による。存在と $(*)$ は
注意
より、
$$
\begin{aligned}
\int_c\varphi(f(z))dz=
\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\varphi(f(c_k(t)))c_k'(t)dt=\varphi\left(\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right)\quad(\forall \varphi\in B^*)
\end{aligned}
$$
であることによる。
$$
\left\| I_c(f)\right\|=\left\| \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\|
\leq \sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}\| f(c_k(t))\lvert c_k'(t)\rvert dt
\leq {\rm max}_{z\in c^*}\| f(z)\| \ell(c)
$$
であるから $(**)$ が成り立つ。
$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f\colon c^*\rightarrow B$ に対し、
命題1
における $I_c(f)\in B$ を $f$ の $c$ 上での複素線積分と言い、
$$
I_c(f)\colon=\int_{c}f(z)dz
$$
と表す。
命題1
より、
$$
\varphi\left(\int_{c}f(z)dz\right)=\int_{c}\varphi(f(z))dz\quad(\forall \varphi\in B^*)
$$
であり、
$$
C(c^*,B)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in B
$$
は、作用素ノルムが $\ell(c)$ 以下の有界線形作用素である。ここで $C(c^*,B)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上で定義された $B$ 値連続関数全体に $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とし、$B$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。連続関数 $f\colon\Omega\rightarrow B$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $f$ はBanach空間値正則関数（ 定義2 ）である、
- $(2)$ 任意の $\varphi\in B^*$ に対し $\varphi\circ f\colon\Omega\ni z\mapsto \varphi(f(z))\in \mathbb{C}$ は正則関数である。
- $(3)$ $\Omega$ に含まれるサイクル $c$（
定義1
）で ${\rm Ind}_c(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C}\backslash \Omega)$ を満たすものに対し、
$$ {\rm Ind}_c(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*)\quad\quad(*) $$
が成り立つ。 - $(4)$ $f$ は（$B$ のノルムに関して）何回でも複素微分可能である。そして $\Omega$ に含まれる任意の $\mathbb{C}$ の開球 $B(a,R)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert< R\}\subset \Omega$ に対し、
$$ f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,R))\quad\quad(**) $$
が成り立つ。
$(1)\Rightarrow(2)$、$(4)\Rightarrow(1)$ は自明である。
$(2)$ が成り立つとするとCauchyの積分公式（
定理4
）より、
$$
{\rm Ind}_c(z)\varphi(f(z))=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{\varphi(f(w))}{w-z}dw
=\varphi\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\right)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*,\forall \varphi\in B^*)
$$
であるからノルム空間の第二双対空間への埋め込みの単射性（
定義1
を参照）よ
り $(*)$ が成り立つ。よって $(2)\Rightarrow(3)$ が成り立つ。
$(3)$ が成り立つとして $(4)$ が成り立つことを示す。任意の $r\in (0,R)$ を取る。$f\colon\Omega\rightarrow B$ が何回でも複素微分可能であることを示すには $B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-a\rvert< r\}\subset\Omega$ 上で $f$ が何回でも複素微分可能であることを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ に対し反時計周りの円周閉路 $\partial B(a,r)$ に対し、
$$
f(z)={\rm Ind}_{\partial B(a,r)}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
$$
であり、
$$
\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
であるから、
$$
\frac{f(w)}{w-z}=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}(z-a)^n\quad(\forall w\in \partial B(a,r))
$$
である。そして右辺は一様収束するから
注意
より、
$$
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{w-z}dw
=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,r)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n
$$
が成り立つ。
定理4
より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるから $f$ は何回でも複素微分可能であり、
$$
f(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(\forall z\in B(a,r))
$$
が成り立つ。$r\in (0,R)$ は任意であるから $(**)$ が成り立つ。よって $(3)\Rightarrow(4)$ が成り立つ。
定理2
より複素Banach空間値正則関数は普通の正則関数と同様に解析性（
定理1
に相当）を持つ。したがって複素Banach空間値整関数（$\mathbb{C}$ 上で定義された複素Banach空間値正則関数）に対するLiouvilleの定理（
定理2
に相当）、連結開集合上で定義された複素Banach空間値正則関数に対する一致の定理（
定理4
に相当）が成り立つ。
また
定理2
より複素Banach空間値正則関数に対してCauchyの積分公式（
定理4
に相当）が成り立つことから、Cauchyの積分定理（
系
に相当）も成り立ち、Laurant展開（
定理1
に相当）、留数定理（
定理3
に相当）も成り立つ。
関連項目
