複素解析の初歩1：複素微分と正則関数
1. 複素微分、正則関数
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能であるとは、ある $b\in X$ が存在し、
$$
\Omega\ni z\mapsto \left\{\begin{array}{cl}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}&(z\neq z_0)\\b&(z=z_0)\end{array}\right\}\in X \text{ が } z_0\text{ において連続。}\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを言う。 $f$ が $z_0$ において複素微分可能であるとき $(*)$ を満たす $b\in X$ は唯一つである（次の
命題1
を参照）。そこでこの $b$ を $f'(z_0)\in X$ と表し、$f$ の $z_0$ における複素微分と言う。
各 $z\in \Omega$ に対し $f'(z)\in X$ が存在するとき $f'\colon\Omega\ni z\mapsto f'(z)\in X$ なる関数が定義できる。これを $f$ の複素導関数、または $1$ 階複素導関数と言う。$f'=f^{(1)}$ とも表す。ある $n\in \mathbb{N}$ に対し $f$ の $n$ 階複素導関数 $f^{(n)}:\Omega\rightarrow X$ が定義されており、$f^{(n)}$ が複素導関数 ${f^{(n)}}'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つときそれを $f$ の $n+1$ 階複素導関数と言い、$f^{(n+1)}$ と表す。便宜上、$f$ 自体を $f$ の $0$ 階導関数と呼び、$f^{(0)}$と表す。
定義1 における $(*)$ を満たす $b\in X$ は存在するならば唯一つである。
$b_1,b_2\in X$ が共に
定義1
の $(*)$ を満たすとすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\delta\in (0,\infty)$ が存在し、
$$
\left\| \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_1\right\|<\frac{\epsilon}{2},\quad
\left\| \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-b_2\right\|<\frac{\epsilon}{2}
\quad(\forall h\in \mathbb{C}:0<\lvert h\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって三角不等式より $\| b_1-b_2\|<\epsilon$ であり、$\epsilon\in (0,\infty)$ は任意であるから $b_1=b_2$ が成り立つ。
$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間、$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合とする。$f\colon\Omega\rightarrow X$ が $z_0\in \Omega$ において複素微分可能ならば $f$ は $z_0$ において連続である。
十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$
\left\| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right\|\leq1\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
が成り立つ。よって、
$$
\| f(z)-f(z_0)\|\leq(1+\| f'(z_0)\|)\lvert z-z_0\rvert\quad(\forall z\in \mathbb{C}:0<\lvert z-z_0\rvert<\delta)
$$
であるので、$f$ は $z_0$ において連続である。
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$X$ を $\mathbb{C}$ 上のBanach空間とする。関数 $f:\Omega\rightarrow X$ がBanach空間 $X$ 値正則関数であるとは $f$ が連続な複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow X$ を持つことを言う。$X=\mathbb{C}$ の場合は単に正則関数と言う。
正則関数は、複素導関数が存在することとして定義されることが多い。本稿においては便宜上、複素導関数が存在し、さらにその複素導関数が連続であることにより正則関数を定義した。このような定義は小平邦彦著の複素解析などに見られる。
$\Omega\subset\mathbb{C}$を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とする。同一視
$$
x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad\mathbb{C}=\mathbb{R}^2
$$
のもと、次は互いに同値である。
- $(1)$ $f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。
- $(2)$ $f\colon\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2$ は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$ \partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad \partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2) $$
（これをCauchy-Riemannの関係式と言う）が成り立つ。
そして $(1),(2)$ が成り立つとき、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とおくと 、任意の $x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$ \begin{aligned} &{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad\quad(*)\\ &{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(**) \end{aligned} $$
が成り立つ。
$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$(1)$ が成り立つとする。$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ の複素導関数を $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ とすると、任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2),\\
&f'(z)=\lim_{h\in\mathbb{R},h\rightarrow0}\frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}=\partial_2f_2(x_1,x_2)-i\partial_2f_1(x_1,x_2)
\end{aligned}
$$
であるから $(*),(**)$ が成り立つ。そして正則関数の定義（
定義2
）より複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるので、各 $i,j\in \{1,2\}$ に対し $\partial_if_j:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ は連続である。よって $f$ は $C^1$ 級であるので $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),\text{ }f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(***)
$$
は $C^1$ 級であるので、
命題10
より、$(***)$ は各点で微分可能である。そして任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ に対し、$(x_1,x_2)$ における $(***)$ の微分（Euclid空間における微積分1の定義1.1）を $m(x_1,x_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと 、
命題2
と
定理3
より、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\partial_1f_1(x_1,x_2)&\partial_2f_1(x_1,x_2)\\\partial_1f_2(x_1,x_2)&\partial_2f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}
$$
と表される。任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ を取り固定する。
$$
a\colon=\partial_1f_1(x_1,x_2)=\partial_2f_2(x_1,x_2),\quad
b\colon=\partial_1f_2(x_1,x_2)=-\partial_2f_1(x_1,x_2)\quad\quad(****)
$$
とおくと、
$$
m(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}
$$
であるから、$h\colon=h_1+ih_2\in \mathbb{C}$ に対し、
$$
m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ah_1-bh_2\\ah_2+bh_1\end{pmatrix}=(a+ib)(h_1+ih_2)=(a+ib)h
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
&\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-(a+ib)\right\rvert
=\left\lvert\frac{f(z+h)-f(z)-(a+ib)h}{h}\right\rvert\\
&=\frac{1}{\lvert h\rvert}
\left\lvert\begin{pmatrix}f_1(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_1(x_1,x_2)\\f_2(x_1+h_1,x_2+h_2)-f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}-m(x_1,x_2)\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}\right\rvert\\
&\rightarrow0\quad(\lvert h\rvert\rightarrow0)
\end{aligned}
$$
であるから、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は $z=x_1+ix_2\in \Omega$ において複素微分可能であり、その複素微分は $f'(z)=a+ib$ である。$(****)$ より、
$$
f'(z)=\partial_1f_1(x_1,x_2)+i\partial_1f_2(x_1,x_2)
$$
であり、これが任意の $z=x_1+ix_2=(x_1,x_2)\in \Omega$ に対して成り立つ。$f$ は $C^1$ 級なので $\partial_1f_1,\partial_1f_2:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続であるから、$f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。ゆえに $f$ は正則関数なので $(1)$ が成り立つ。
$\Omega\subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を正則関数とし、ある $a\in \Omega$ に対し $f'(a)\neq0$ が成り立つとする。
このとき $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で次を満たすものが存在する。
- $(1)$ $f(U)\subset \mathbb{C}$ は開集合。
- $(2)$ $U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ は全単射であり、この逆関数は正則関数である。
そして $U\ni z\mapsto f(z)\in f(U)$ の逆関数を $g\colon f(U)\rightarrow \mathbb{C}$ とおくと 、
$$ g'(w)=f'(g(w))^{-1}\quad(\forall w\in f(U)) $$
が成り立つ。
定理3
より同一視
$$
\mathbb{C}=\mathbb{R}^2,\quad x_1+ix_2=(x_1,x_2),\quad
f(x_1+ix_2)=(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))
$$
によって、
$$
\Omega\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in \mathbb{R}^2\quad\quad(*)
$$
は $C^1$ 級であり、任意の $(x_1,x_2)\in \Omega$ における $(*)$ の微分を $m_f(x_1,x_2)\in\mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと、
$$
m_f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。よって $a=a_1+ia_2=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$ と表すと、
$$
0<\lvert f'(a)\rvert={\rm Re}(f'(a))^2+{\rm Im}(f'(a))^2={\rm det}(m_f(a_1,a_2))
$$
が成り立つので、逆関数定理（
定理11
）より $a\in \Omega$ の開近傍 $U\subset \Omega$ で、$f(U)$ が $\mathbb{C}$ の開集合であり、
$$
U\ni (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\in f(U)\quad\quad(***)
$$
が全単射で、$(***)$ の逆関数
$$
g\colon f(U)\rightarrow U
$$
が $C^1$ 級であるようなものが取れる。そして任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ における $g$ の微分を $m_g(y_1,y_2)\in \mathbb{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ とおくと 、逆行列の余因子行列による表示（
速習「線形空間論」の命題5.10
）と $(**)$ より、
$$
\begin{aligned}
m_g(y_1,y_2)&=m_f(x_1,x_2)^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(m_f(x_1,x_2))}{\rm Cof}(m_f(x_1,x_2))\\
&=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}\begin{pmatrix}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))\\-{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))&{\rm Re}(f'(x_1+ix_2))\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
となる。よって任意の $(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)\in f(U)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\partial_1g_1(y_1,y_2)=\partial_2g_2(y_1,y_2)=\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Re}(f'(x_1+ix_2)),\\
&\partial_1g_2(y_1,y_2)=-\partial_2g_1(y_1,y_2)=-\frac{1}{\lvert f'(x_1+ix_2)\rvert^2}{\rm Im}(f'(x_1+ix_2))
\end{aligned}
$$
であるから、
定理3
より $g:f(U)\ni f(z)\mapsto z\in \mathbb{C}$ は正則関数であり、任意の $w=f(z)\in f(U)$ における $g$ の複素微分は、
$$
g'(w)=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}({\rm Re}(f('z))-i{\rm Im}(f'(z)))=\frac{1}{\lvert f'(z)\rvert^2}\overline{f'(z)}=f'(z)^{-1}=f'(g(w))^{-1}
$$
である。
