複素解析の初歩2：冪級数関数

• $(1)$　
  $$ \lvert \lambda\rvert< R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}}\quad\iff\quad \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}<\frac{1}{\lvert \lambda\rvert} $$
  より、$\lvert \lambda\rvert< R$ ならばある$\beta\in (0,1)$ に対し、
  $$ \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}<\frac{\beta}{\lvert\lambda\rvert} $$
  が成り立つ。よって下限の定義より、
  $$ \sup_{k\geq n_0}\sqrt[k]{\| c_k\|}<\frac{\beta}{\lvert \lambda\rvert}\quad(\forall k\geq n_0) $$
  を満たす $n_0\in \mathbb{N}$ が存在する。これより、
  $$ \| c_k\lambda^k\|<\beta^k\quad(\forall k\geq n_0) $$
  であり、$\beta\in (0,1)$ より、
  $$ \sum_{k\geq n_0}\| c_k\lambda^k\|\leq\sum_{k\geq n_0}\beta^k<\infty $$
  である。ゆえに $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は絶対収束する。
• $(2)$
  $$ \lvert \lambda\rvert>R=\frac{1}{\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}}\quad\iff\quad \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}>\frac{1}{\lvert \lambda\rvert} $$
  より、$\lvert \lambda\rvert>R$ ならば、
  $$ \sup_{k\geq n}\sqrt[k]{\| c_k\|}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  であるから、上限の定義より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $k\geq n$ で、
  $$ \sqrt[k]{\| c_{k}\|}>\frac{1}{\lvert\lambda\rvert}, $$
  すなわち、
  $$ \| c_k\lambda^k\|>1 $$
  を満たすものが取れる。よって $(c_n\lambda^n)_{n\in\mathbb{Z}_+}$ は $0$ に収束しない。

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha<1 $$
なる $\alpha$ を取る。十分大きい $n_0\in \mathbb{N}$ を取れば、
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}<\alpha\quad(\forall n\geq n_0) $$
となるから、
$$ a_{n}<\alpha^{n-n_0}a_{n_0}\quad(\forall n\geq n_0) $$
である。
$$ \sum_{n\geq n_0}a_n\leq \sum_{n\geq n_0}\alpha^{n-n_0}a_{n_0}<\infty $$
であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n$ は収束する。

$\lvert \lambda\rvert< R'$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ に対し、
$$ \| c_{n+1}\lambda^{n+1}\|\leq \lvert\lambda\rvert\| (n+1)c_{n+1}\lambda^n\| $$
であり 命題2 より右辺を第 $n$ 項とする級数は収束するので、$\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_n\lambda^n$ は（絶対）収束する。よって 命題1 より $\lvert\lambda\rvert\leq R$ である。$\lambda$ の任意性より $R'\leq R$ が成り立つ。$\lvert\lambda\rvert< R$ なる任意の $\lambda\in \mathbb{C}$ を取り、$\lvert\lambda\rvert< r< R$ なる $r$ を取る。 命題2 より $(c_nr^n)_{n\in \mathbb{Z}_+}$ は収束するので、ある $M\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \| c_n\| r^n\leq M\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+) $$
となる。よって、
$$ \| (n+1)c_{n+1}\lambda^n\| \leq M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n\quad(\forall n\in \mathbb{Z}_+) $$
であり、 命題2 より $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}M\frac{n+1}{r}\left(\frac{\lvert\lambda\rvert}{r}\right)^n<\infty$ であるから $\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda^n$ は絶対収束する。ゆえに $\lvert\lambda\rvert\leq R'$ であるから $\lambda$ の任意性より $R\leq R'$ が成り立つ。

$f$ が任意の点 $\lambda_0\in B(0,R)$ において複素微分可能であり、
$$ f'(\lambda_0)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n $$
が成り立つことを示せば十分である。$\lvert\lambda_0\rvert< r< R$ なる $r$ を取り、
$$ U\colon=B(\lambda_0,\text{ } r-\lvert \lambda_0\rvert)=\{\lambda\in \mathbb{C}: \lvert\lambda-\lambda_0\rvert< r-\lvert\lambda_0\rvert\}\subset B(0,r) $$
とおき、$F\colon U\rightarrow X$ を、
$$ F(\lambda)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(\lambda)-f(\lambda_0)}{\lambda-\lambda_0}&(\lambda\neq\lambda_0)\\ \sum_{n\in \mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}\lambda_0^n&(\lambda=\lambda_0)\end{array}\right. $$
として定義する。$F$ が連続であることを示せばよい。$\lambda\neq\lambda_0$ のとき、
$$ F(\lambda)=\frac{1}{\lambda-\lambda_0}\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}(\lambda^{n+1}-\lambda_0^{n+1})=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k} $$
であるから、
$$ F(\lambda)=\sum_{n\in \mathbb{Z}_+}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U) $$
である。そこで任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し連続関数 $F_N\colon U\rightarrow X$ を、
$$ F_N(\lambda)\colon=\sum_{n=0}^{N}c_{n+1}\sum_{k=0}^{n}\lambda^k\lambda_0^{n-k}\quad(\forall \lambda\in U) $$
として定義する。$N< M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ と任意の $\lambda\in U$ に対し $\lvert\lambda\rvert\leq \lvert\lambda-\lambda_0\rvert+\lvert\lambda_0\rvert< r$ より、
$$ \begin{aligned} \sup_{\lambda\in U}\lvert F_M(\lambda)-F_N(\lambda)\rvert \leq \sum_{n=N+1}^{M}(n+1)\| c_{n+1}\| r^n \end{aligned} $$
であり、 命題3 より $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}(n+1)c_{n+1}r^n$ は絶対収束するので $(F_N)_{N\in\mathbb{N}}$ は一様Cauchy条件を満たす。よって 距離空間の位相の基本的性質の命題8.5 より $(F_N)_{N\in \mathbb{N}}$ は $F$ に一様収束するので、 距離空間の位相の基本的性質の命題8.3 より $F$ は連続である。